LUẬN văn sư PHẠM TOÁN rèn LUYỆN các THAO tác tư DUY CHO học SINH THÔNG QUA các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN

Theo kiến thức đã biết, các em đi tìm xem có thể xác định được đường thẳng nào nằm trong   để từ đó tìm giao điểm với các cạnh của tứ diện.. Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Lớp: Sư Phạm Toán K34 MSSV: 1080050

PHẦN MỞ ĐẦU 1 

Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY 3 

1.1 Khái niệm về tư duy 3 

1.2 Đặc điểm của tư duy 3 

1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy 3 

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy 4 

1.2.3 Tính khái quát của tư duy 4 

1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ 5 

1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính 5 

1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy 5 

1.3.1 Các giai đoạn của tư duy 5 

1.3.2 Các thao tác tư duy 8 

1.4 Vai trò của tư duy 10 

1.5 Tư duy trong học tập toán học 10 

Chương 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG  DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 12 

2.1. Đường thẳng và mặt phẳng 12 

2.2 Đường thẳng song song 13 

2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng 14 

2.4 Mặt phẳng song song 14 

2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 15 

2.6 Đường vuông góc và đường xiên 16 

2.7 Mặt phẳng vuông góc 18 

2.8 Thể tích khối đa diện 20 

Chương 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG  QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 21 

3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán 21 

3.1.1. Phát triển năng lực phân tích bài toán 21 

3.1.2 Phát triển năng lực so sánh 28 

3.1.3. Phát triển khả năng trừu tượng và khái quát 29 

3.2 Áp dụng các thao tác tư duy vào bài toán cụ thể 33 

Chương 4: MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHỌN LỌC 40 

Chương 5: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 64 

5.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm 64 

5.1.1 Mục đích thực nghiệm 64 

5.1.2 Nội dung thực nghiệm 64 

5.2 Tường thuật các hoạt động phát triển tư duy cho học sinh thông qua các tiết  dạy thực nghiệm: 64 

5.3 Kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm 70 

5.3.1 Bài kiểm tra 1 70 

5.3.2 Bài kiểm tra 2 70 

PHẦN KẾT LUẬN 71 

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

  Hình học không gian là một mảng kiến thức rất khó. Với học sinh, khi đứng trước  những  khái  niệm  mới,  những  dạng  Toán  hoàn  toàn  xa  lạ  các  em  không  thể tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài gặp vô vàng những khó khăn. Còn đối với giáo viên, việc tìm ra cách dạy phù hợp với dạng kiến thức này cũng là một vấn đề lớn. 

  Toán học gắn liền với tư duy, việc giải một bài toán hay ghi nhớ những kiến thức mới không nằm ngoài những thao tác tư duy. Để học tốt được môn Toán, không cách nào khác là phải nắm vững và vận dụng các thao tác này một cách hợp lý. 

  Trong  đề  thi đại  học những  năm  vừa qua, luôn  có mặt một  bài  thuộc dạng toán  hình  không  gian.  Hơn  nữa,  dạng  toán  về  thể  tích  của  khối  đa  diện  thường xuyên được đưa vào. 

  Đứng  trước  những  lý  do  trên,  tôi  quyết  định  chọn  đề  tài  cho  luận  văn  của 

mình là “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG

QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Thông qua đề tài này tôi 

muốn thống kê lại một số phương pháp để giải các dạng toán hình học không gian 

cơ bản. Bên cạnh đó luận văn sẽ phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư duy, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới. Ngoài ra tôi  cũng  đưa  vào  luận  văn  một  số  bài  tập  chọn  lọc  thuộc  chủ  đề  thể  tích  khối đa diện. Hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh phổ thông.  

2 Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

  Nhắc lại kiến thức về tư duy, các thao tác của tư duy. 

  Trình bày các phương pháp thường dùng để giải toán hình không gian.   Phân tích tìm cách giải theo các thao tác tư duy và tím ra cách giảng dạy phù hợp theo hệ thống này.  

  Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề thể tích khối đa diện. 

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết:

+ Nội dung của khái niệm tư duy trong giáo trình lí luận dạy học toán. + Nội dung những kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12. + Các phương pháp dạy toán hiệu quả. 

 Chương 3: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian. 

 Chương 4: Một số bài toán hình học không gian chọn lọc. 

 Chương 5: Thực nghiệm sư phạm. 

  Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về chất  so với cảm  giác, tri giác. Hay nói cách khác tư duy là  nhận thức lý tính phản ánh những  thuộc  tính bản  chất bên  trong, những mối quan hệ  liên hệ  có  tính  chất quy luật của sự vật, hiện tượng. 

  Ví dụ: Khi gặp hình lập phương thì nhận  thức cảm tính cho ta  biết ngay đó là hình có dạng hộp có đáy và các mặt xung quanh đều là hình vuông, … đó là nhận thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học. Còn tư duy sẽ cho ta biết tính chất mặt chéo của nó, hay thể tích của nó tính thế nào?   đó là những cái bản chất bên trong của hình lập phương. 

  Tuy  rằng  tư  duy  phản  ánh  thuộc  tính  bản  chất  bên  trong  của  sự  vật  hiện tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng đi đến cái đúng mà nó còn phụ thuộc vào chiến thuật và phương pháp tư duy. 

1.2 Đặc điểm của tư duy

1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy

  Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhưng không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy. 

  Hoàn  cảnh  có  vấn đề  là những  tình huống mà  bằng  vốn  kiến  thức, phương pháp cũ không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy. Nhưng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân. Vậy để kích thích được tư duy thì hoàn cảnh 

có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và có nhu cầu chuyển thành nhiệm 

vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó. 

Ví dụ: Khi dạy bài “Đường thẳng và mặt phẳng song song” trong chương trình 

toán hình học 10 cơ bản, ta hướng dẫn học sinh giải bài sau: “Cho tứ diện ABCD. 

Lấy M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi    là mặt phẳng đi qua M và song  song  với  các  đường  thẳng  AB  và  CD.  Xác  định  thiết  diện  tạo bởi   và  tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?” 

(Ví dụ trang 61 SGK hình học 10 cơ bản) 

M

H

G F

E

D

C B

A

   Khi gặp bài toán này học sinh sẽ lúng túng. Theo kiến thức đã biết, các em đi tìm  xem  có  thể  xác định được đường  thẳng nào nằm  trong     để từ đó  tìm  giao điểm với các cạnh của tứ diện. Nhưng theo giả thuyết bài toán, không thể tìm được cạnh nào thuộc vào    theo cách thông thường   Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề.   Như vậy học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, mà ở đây là định lý 2 các em vừa học. 

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy

  Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ, … tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận thức thế giới khách quan sâu sắc,  đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của  con người, của chủ thể tư duy. 

Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập về tứ diện đều, ta có thể gợi ý cho 

các em tìm hiểu cách tính vừa tìm ra có còn đúng khi áp dụng vào tứ diện bất kỳ hay không. 

1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

  Đặc  điểm này  nói  lên mối quan hệ  giữa nội dung và hình  thức của  tư  duy. Trong đó ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy. Nhờ đó người khác và chủ thể tư duy tiếp nhận kết quả tư duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác ngôn ngữ là phương tiện tư duy. 

1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

  Trong  học  tập  toán  học  đặc  điểm  này  thể  hiện  để  tìm  hiểu  nội  dung  hay chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả thuyết  (thử  hướng  này,  hướng  khác)  đi  đến  nhận  xét,  kiểm  tra  bằng  những  hoạt động tư duy đi đến kết quả. 

Ví  dụ:  Cho  tứ  diện  ABCD.  Gọi  M,  N  lần  lượt  là  trung  điểm  của  BC  và  BD; 

CD ,  ABa 2a. Mặt phẳng    cắt AD, AC lần lượt tại P, Q. Thiết diện của ( ) với tứ diện là hình gì? 

  Với các dữ liệu của bài toán: M, N là trung điểm của BC & BD. 

 MN // CD, (  ) qua MN // AB. (Các dữ liệu đều nói đến quan hệ song song) 

 Ta có thể đoán được rằng thiết diện là hình bình hành. 

1.3 Các giai đoạn và thao tác của tư duy

1.3.1 Các giai đoạn của tư duy

* Giải quyết nhiệm vụ 

  Khi giả thiết đã được  kiểm tra  và khẳng định thì nó sẽ  thực hiện giải quyết nhiệm  vụ,  tức là đi đến  câu  trả  lời  cho  vấn đề  đặt  ra.  Quá  trình tư  duy  giải  quyết nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do 3 nguyên nhân thường gặp sau: 

- Tình khuôn sáo, cứng nhắc của tư duy. 

  Trong giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác định giả thuyết 

và kết luận. 

Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là hai tam giác cân, có chung đáy BC. Chứng minh rằng  BCAD.    

D

E

C B

A

* Nhận thức vấn đề 

  Với giả thuyết được kiểm tra, bước cuối cùng là ta trình bày lại với lời giải.   Giai đoạn  sàng lọc và liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt động  tư  duy  tích  cực  nhất,  chủ  đề  tư  duy  phải  tiến  hành,  phân  tích  tổng  hợp,  so sánh,   còn là các thao tác của tư duy. 

1.3.2 Các thao tác tư duy

  Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. 

* Phân tích và tổng hợp 

  Khi một đối tượng chứa nhiều thành phần, bộ phận trong đó mỗi bộ phận có một mối quan hệ khác. Để nhận thức được toàn diện bộ phận đó, ta tiến hành nhận thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đối hoàn thiện hơn, quá trình 

đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chính thể. 

  Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem 

có gì giống nhau và khác nhau. 

* Trừu tượng hóa và khái quát hóa 

  Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa, trừu tượng là gạt bỏ đối tượng những bộ phận, thuộc tính không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy. 

Ví dụ: Khi nói đến tam diện vuông ta phải liên tưởng ngay đến hình ảnh thực tế 

như: góc tường, đỉnh của một hình hộp, … 

  Khái quát hóa trên cơ sở thuộc tính chung giống nhau về bản chất của nhiều đối tượng mà ta hợp nhất các đối tượng thành một nhóm. 

Ví dụ:  Sau  khi  tìm  đoạn  vuông  góc  chung  của  hai  đường  thẳng  a, b  trong  các 

trường hợp 

(c) (b)

(a)

b

b b

a' a

1.4 Vai trò của tư duy

  Mở rộng giới hạn của nhận thức, tư duy giúp con người khái quát được một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau. 

1.5 Tư duy trong học tập toán học 

  Học tập toán học không nằm ngoài mục đích đó là rèn luyện các thao tác của 

tư duy. 

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

1.1.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

  Phương pháp: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P). 

  Chú ý: Nếu c chưa có sẵn  thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là  giao tuyến của (P) và (Q). 

1.1.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

  Phương pháp: 

- Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. 

- Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. 

2.1.4 Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động

  Phương pháp: M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d'. Tìm tập hợp các điểm M. 

- Phần thuận: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di động trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó. 

- Giới hạn (nếu có). 

- Phần đảo. 

- Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt trung gian). 

- Cho  giao  tuyến  này  cắt  các  cạnh  của  mặt đó  của  hình  chóp  ta  sẽ được  các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này. 

- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.  

2.2 Đường thẳng song song

2.2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song

2.2.3 Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng

2.3.1 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P

   Phương pháp:  Ta  chứng minh  d  không nằm  trong  (P)  và  song song  với đường thẳng a chứa trong (P). 

  Ghi chú: Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q). 

2.3.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (Cách 2 / dạng 2)

  Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước. 

  Phương pháp: 

- Nhắc lại một hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d. 

- Từ  đây  xác  định  thiết diện  của  hình  chóp cắt bởi mặt phẳng  song  song  với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết.  

2.4 Mặt phẳng song song

2.4.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song

   Phương  pháp:  Chứng  minh  mặt  phẳng  này  chứa  hai  đường  thẳng  cắt  nhau  lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia. 

  Phương pháp: 

- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến: 

“Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba  thì hai giao tuyến song song với nhau”. 

- Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết. 

2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

2.5.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học.  

2.6 Đường vuông góc và đường xiên

2.6.1 Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước

  Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 

  Phương pháp: Thực hiện các bước sau: 

- Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng). 

- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì Ax  P  

- Nếu  O  là  tâm đường  tròn ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  và  M  là  một điểm  cách đều 3 điểm A, B, C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)). 

- Nếu  MAMBMC  và  NA NBNC  trong  đó  A,  B,  C  là  ba  điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A, B, C khi 

đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A, 

B, C. 

2.6.3 Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động

  Ta thường gặp bài toán: Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O. 

2.6.6 Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau

  Để  xác  định  Khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  a,  b  chéo  nhau  và  đoạn vuông góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau: 

+ Bước 2: Trên b lấy điểm K, dựng KH vuông góc (P) tại H. 

+ Bước 3: Từ H kẻ đường thẳng // b và đường thẳng này cắt a tại I. + Bước 4: Từ I kẻ IJ / /KH  cắt b tại J. 

2.7.1 Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng

  Khi  giải  các  bài  toán  liên  quan  đến  số  đo  nhị  diện  hay  góc  giữa  hai  mặt phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên hình ta có thể dựng nó theo phương pháp dưới đây. 

  Phương pháp: 

- Tìm  cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai mặt của nhị diện) 

- Dựng  một  đoạn  thẳng  AB  có  hai  đầu  mút  ở  trên  hai  mặt  của  nhị  diện  và vuông góc với một mặt của nhị diện . 

- Chiếu vuông góc A (hay B) trên c thành H, ta được  AHB là góc phẳng của nhị diện. 

  Chú ý: 

- Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau: Chiếu vuông góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H. Khi đó  AHB là góc phẳng của nhị diện. 

  Cách 1: 

+ Tìm một góc phẳng 

xOy của nhị diện   P ,c, Q  

 . + Mặt  phân  giác  của  nhị diện  là  mặt qua  cạnh c  của  nhị  diện  và  phân giác Ot của góc phẳng xOy. 

+ Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện   P ,c, Q  

. + Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện. 

2.7.3 Mặt phẳng vuông góc

*  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 

+ Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. 

+ Cách 2: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 90  0

*  Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

+ Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P). 

+ Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P). + Cách 3: Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với 

A, B, C thuộc (P). 

+ Cách 4: Sử dụng định lý: "Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P)". 

+ Cách 5: Sử dụng định lý: "Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a vuông góc với (P)". 

2.7.4 Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

  Cho  trước  mặt  phẳng  (P)  và  đường  thẳng  a  không  vuông  góc  với  (P).  Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P). 

  Phương pháp: từ một điểm trên đường thẳng a dựng đường thẳng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b). 

  Chú ý: Nếu có đường thẳng d P  thì (Q) // d hay (Q) chứa d. 

2.8 Thể tích khối đa diện

Chương 3 RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN



3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán

3.1.1 Phát triển năng lực phân tích bài toán

  Phân tích bài toán là xem xét, khai thác các đặc điểm khía cạnh của bài toán 

để tìm hướng giải quyết. Trong khi giải quyết bài tập ta có thể xem đây là bước tiếp cận để tìm lời giải. Để học sinh có thể làm tốt bước phân tích này, người giáo viên cần chú ý các kỹ năng sau: 

 Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể 

  Thông  thường đường lối giải cho một dạng toán đã được xác lập khi học về những  nội  dung  và  những  tri  thức  về  dạng  đó.  Khi  nghiên  cứu  lại  các  dạng  toán trong phần kiến thức HHKG lớp 11, tôi phát hiện nội dung tri thức thường được cho dưới dạng mệnh đề hay định lý. Vì vậy, ta có thể tóm tắt đường lối giải quyết các dạng này dưới hình thức sơ đồ. 

Ví dụ:  ta  có  thể  sơ  đồ  hóa  cách  chứng  minh  đường  thẳng  d  vuông  góc  với 

mp   như sau: 

 

1 2

dd

Bước 2: Trong mệnh đề đó, ta cần tìm xem giả thiết gồm mấy ý, có ý nào đã cho sẵn trong bài  toán thì nêu ra. Những ý còn lại, ta xem nó là  kết luận của một mệnh đề  khác.  Hoàn toàn tương tự như  thao tác  trên,  ta sẽ lần lượt kiểm tra được đầy đủ tất cả các ý trong phần giả thiết. 

Bài toán 1:  Cho  hình  chóp  S.ABC có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông  tại  B.  Cho 

BCa và SA ABC. Tính khoảng cách từ C đến ABC. 

2a

C

B A

S

   Dựa vào sơ đồ trên ta cần xác định đường thẳng qua C và vuông góc với SAB. 

a 'b'

  Theo hình vẽ ta có ba đường thẳng thỏa điều kiện là CA, CB và CS. Ta chọn 

CB vì CBABSAB. 

  Vậy với ba điều kiện trên, điều kiện 2 và 3 xác định được. Vấn đề còn lại là chứng minh CBSAB. Và CBSAB dễ dàng chứng minh được. 

  Xét bài toán 1 ở phần trên, ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán theo hướng của sơ đồ sau: 

  Bên cạnh việc tìm được lời giải tối ưu, phân tích theo nhiều hướng còn giúp người giải huy động được nhiều kiến thức. Trong quá trình tìm hiểu người giải còn 

có cơ hội củng cố kiến thức đã học, góp phần bồi dưỡng tư duy linh hoạt, vận dụng tốt kiến thức, khai thác kiến thức với vai trò là công cụ để kiến tạo kiến thức mới. 

 Giới hạn, loại trừ các yếu tố không cần thiết

  Theo hướng này ta sẽ loại đi những yếu tố không cần theo đuổi mà chỉ phân tích dựa vào các yếu tố liên quan tới yêu cầu tính toán, chứng minh. 

Ví dụ: Xét bài toán cơ bản “Chứng minh mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với 

nhau”.  Thông  thường,  ta  sẽ  chứng  minh  trong  mặt  phẳng  này  chứa  đường  thẳng vuông góc với đường thẳng kia. Cách làm này được minh họa bằng sơ đồ sau:   a) Xác định đường thẳng d với d P  

  b) Chứng minh d  Q  

  Vấn đề ở đây là trong bài toán cụ thể thì ta xác định đường thẳng d như thế nào? Ta xét bài toán sau: 

Bài toán 2:  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  là  hình  vuông  cạnh  a  và 

D C

B A

S

  Ta phân tích theo hướng loại trừ như sau: 

  Xét  SBC  giả sử vuông tại C (đặt nghi vấn) SCD vuông tại C (vai trò hai tam giác này như nhau). 

  Từ (1) và (2) suy ra SC // SA (vô lý). 

  Theo cách làm trên ta đã loại được hai đỉnh, giờ ta chỉ cần chứng minh tam giác SBC vuông tại B. Và tương tự tam giác SCD vuông tại D. 

  Rèn  luyện  khả  năng  loại  trừ,  giới  hạn  các  yếu  tố  không  cần  thiết  cũng  có nghĩa là rèn luyện khả năng định hướng cho quá trình giải toán. 

  Tuy nhiên, khi định hướng đường lối giải ta phải biết xác định rõ trọng tâm, xác định xem dữ liệu rơi vào giả thuyết nào là nhiều nhất. Điều này còn phụ thuộc vào  kinh nghiệm  giải  toán  cũng  như  khả  năng  trừu  tượng  hình  vẽ  của  người  giải toán. 

  Bên cạnh đó, khi rèn luyện khả năng giới hạn, loại trừ các yếu tố không cần thiết còn giúp cho người làm rèn luyện khả năng suy luận logic và cách đặt nghi vấn phân tích, hạn chế thấp nhất khả năng phân tích sai đường. 

 Khả năng tạo thêm các yếu tố phụ

  Trong khi giải toán, đôi lúc ta gặp những bài toán cần thêm các  yếu tố mới thì mới có khả năng giải quyết được. Việc tìm ra các yếu tố này đã được rèn luyện trong  xuyên  suốt  chương  trình  toán  phổ  thông.  Vài  phương  pháp  hay  dùng  trong hình học như: Vẽ đường cao của tam giác, lấy trung điểm, kẻ đường song song, tạo góc bằng, kẻ đường trung bình, … 

Ví dụ:  Cho hình  chóp  S.ABCD có SA ABCD  và  đáy  ABCD  là  hình  thoi. Chứng minh rằng BDSAC. 

  Ở ví dụ là bài toán đơn giản này, để chứng minh BDSAC, theo phương pháp  thường  làm  của  dạng  toán  ta  cần  tìm  hai  đường  thẳng  trong mặt SAC sao 

cho BD vuông góc với chúng. Theo giả thuyết ta đã có  SABD cho nên cần phải tìm thêm 1 đường nữa vuông góc với BD. Vì không còn yếu tố nào sử dụng được nên  theo  yếu  tố mà đề  bài  cho,  ta  xác định  tâm  O  của đáy. Từ  đây  theo  tính  chất hình thoi, ta dễ dàng chứng minh được bài toán. 

  Để rèn luyện khả năng tạo yếu tố phụ ta có thể chú ý đến các bước sau: 

+ Bước 1: Tập hợp tất cả các giả thiết, thông tin đã có. 

+ Bước 2: Cố gắng liên tưởng, tìm các mối quan hệ và kiến thức có liên quan. + Bước 3: Tạo các yếu tố đã liên tưởng. 

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD, gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB, CD. 

Lấy  R  là  điểm  thuộc  cạnh  BC sao  cho  BR =  2RC  và S là  điểm  của  cạnh AD  với (PQR). Chứng minh rằng: AS = 2SD. 

I

S

R

Q P

C

A

   Sau khi đã chứng minh C là trung điểm của AI (bằng cách chứng minh R là trọng tâm tam giác ABI), để tiếp tục chứng minh, ta phải dựa vào đường trung bình của tam giác SAI (kẻ thêm đường trung bình). 

Dựa  vào  các  từ  khóa  và  tỉ  số  1

2và  trung  điểm,  ta  sẽ  liên  tưởng  đến  đường trung bình. 

AS2SD 

CJ là đường trung bình của tam 

giác AIS 

  Một điều cấn chú ý là để tìm các yếu tố phụ ta chỉ sẽ tập trung vào các tính chất đặc biệt: Trung điểm, đường cao, đường trung bình, vuông góc, song song,   

3.1.2 Phát triển năng lực so sánh

  Trong hình học không gian, một đại lượng có thể có nhiều tên gọi, một định 

lí, một định nghĩa, mệnh đề  có nhiều cách phát biểu.  Vì vậy ta thường gặp những bài toán tuy có khác nhau về cách phát biểu nhưng về bản chất lại giống nhau nên đường lối giải giống nhau. 

Bài toán 6: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. 

Chứng minh rằng  (ABJ)(CDI). 

- Bài toán 4: Là chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. 

- Bài toán 5: Là chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay ta chứng minh đường  thẳng  vuông  góc với hai  đường thẳng  cắt nhau  thuộc một mặt phẳng suy ra bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. 

- Bài toán 6: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng, hay chứng minh đường  thẳng  nằm  trong  mặt  phẳng  này  vuông  góc  với  mặt  phẳng  kia,  hay  chứng 

minh  đường  thẳng  này  vuông góc  với hai đường thẳng  cắt  nhau  thuộc mặt phẳng kia, suy ra bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. 

  Để thấy được đặc điểm giống nhau, khác nhau trên ta đã tiến hành so sánh. Công việc so sánh giúp người giải toán xác định ra những bài toán cùng loại và sau 

đó là khái quát hóa thành bài toán tổng quát đồng thời xây dựng đường lối giải bài toán đó. Công việc này đòi hỏi trình độ hiểu biết các loại bài toán để đủ khả năng hình thành được các loại bài toán tổng quát và đường lối giải chúng. 

S

l d

D

C B

A

S

       Hình 1       Hình 2 

  Ta thấy hình 2 là hình thành phần của hình 1. 

  Muốn phát triển năng lực so sánh, sau mỗi bài toán cần yêu cầu học sinh phải trả lời được bài toán này là khác gì so với bài toán nào? Nghĩa là tiến hành phân tích các đặc điểm cơ bản, chung cho mọi bài toán và các đặc điểm phụ, riêng của từng bài  toán để dựa  vào các đặc điểm  chung  giống  nhau  trong  các bài  toán  mà  ta  xếp vào cùng loại. 

3.1.3 Phát triển khả năng trừu tượng và khái quát

 Khả năng trừu tượng

  Trong giải bài toán hình học không gian, ngoài khả năng suy luận logic công 

cụ hỗ trợ đắt lực cho giải toán là hình vẽ. Tuy nhiên, hình vẽ là mô phỏng các mối 

quan hệ  giữa  các đối  tượng  trong  không  gian  nên người  giải  toán  sẽ  gặp  không  ít khó khăn trong tri giác hình ảnh chưa kể hình vẽ không chính xác. 

A

   Hay hình hộp say đây mặt nào là mặt thấy, mặt nào là khuất? 

D'

D

C B

A' A

   Bên cạnh biểu diễn hình học không gian ta dùng đến phiếu chiếu song song nên một số đặc điểm như góc, độ dài,  … không được bảo tồn nên rất khó tri giác đúng. 

  Khả năng trừu tượng hình vẽ thể hiện ở sự nhận biết được hình vẽ ở nhiều góc độ khác nhau về : 

+ Quan hệ liên thuộc. 

+ Các đối tượng thấy, khuất. 

  Ta cần chú ý các vấn đề sau khi vẽ hình: 

+ Quan hệ song song được bảo tồn trong không gian: Do đó, các đường, đoạn  song  song  được  vẽ  như  trong  hình  học  phẳng.  Đặc  biệt  các  đoạn  thẳng 

+ Tỷ  số  đơn  được  bảo  tồn  trong  không  gian:  Tức  là  trung  điểm  phải được vẽ ngay trung điểm, tỉ số các đoạn thẳng phải được vẽ đúng như thế. + Sự  tiếp  xúc  của  đường  thẳng  và  đường  tròn  được  bảo  toàn  trong không gian: Do đó, đường tròn nội tiếp tam giác, hình vuông,… phải được vẽ tiếp xúc với các cạnh tại các điểm chính giữa. 

 Khả năng khái quát

  Rèn luyện khả năng khái quát là tập cho học sinh khái quát hóa một quá trình diễn  ra  trên  đối  tượng  riêng  lẻ  thành  những  hoạt  động  trên  một  lớp  đối  tượng.  Xét bài toán sau 

Bài toán 7: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có 

chung đáy BC. Chứng minh rằng  BCAD. 

D

C B

A

   Sau khi giải bài toán trên giáo viên mở rộng với câu hỏi: Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc khi nào? 

  Với  câu hỏi  này  đòi  hỏi học  sinh  sẽ phân  tích  như  sau:  Theo  bài  toán  trên 

BCAD  khi  ABAC  và  BDCD(1).  Vậy  BDAC  khi  ABAD  và 

CBCD  (2).  Tương  tự  ABCD  khi  BDBC  và  ADAC  (3).  Kết  hợp  (1), (2)  và  (3)  ta  suy  ra  được  tứ  diện  ABCD  có  các  cạnh  đối  vuông  góc  khi  tứ  diện ABCD là tứ diện đều. 

  Để khái quát được cần tiến hành phân tích, so sánh để thấy được cái chung, bản chất, quy trình của nhóm đối tượng cần khái quát. Ta xét một ví dụ khác. 

Bài toán 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều, SA 

vuông góc với đáy ABCD. Xác định mặt cầu qua các đỉnh của hình chóp. 

l d

D

C B

A S

Q

   Với bài toán 9 giáo viên giúp học sinh nhận ra rằng tâm của mặt cầu đều là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và đường thẳng trung trực của một cạnh hình chóp. 

  Thật vậy, với I là tâm của mặt cầu suy ra I thuộc mặt phẳng trung trực SD. Gọi I là giao điểm của (Q) và SD khi đó SD   IK và SK = KD tức là chứng minh được IK là đường thẳng trung trực của SD. 

  Tương tự bài toán 8, tâm của mặt cầu cũng là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và đường thẳng trung trực của một cạnh hình chóp. 

  Vậy  đến  đây  ta  khái  quát  thành  thuật  toán  chung  để  tìm  tâm  của  mặt  cầu bằng phường pháp giao của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực như sau: 

+ Bước 1: Tìm trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 

+ Bước 2: Trong mặt phẳng tạo bởi trục d và một cạnh của hình chóp ta xác định đường trung trực I của cạnh hình chóp. 

+ Bước 3: Xác định giao điểm của d và I. 

         Giao điểm đó chình là tâm của mặt cầu cần tìm. 

  Ngoài ra khái quát bài toán còn gặp nhiều trong giảng dạy lý thuyết, chẳng hạn  sau  khi chứng  minh công  thức diện  tích hình chiếu đúng  cho  các  trường hợp riêng ta tiến hành khái quát và phát biểu thành định lý. 

  Để phát triển khả năng khái quát cho học sinh qua dạy học giải bài tập, trong quá trình dạy giáo viên cần chú ý: 

+ Thay đổi giả thuyết, kết luận (ngoại viên), giữ lại bản chất (nội hàm) của đối tượng hay bài toán. 

+ Đưa ra câu hỏi khái quát cho học sinh. Với câu hỏi khái quát học sinh 

sẽ hợp nhất những cái chung đã phân tích và so sánh được. 

  Tóm lại: Để rèn luyện khả năng khái quát ta phải phân tích, so sánh để thấy được  cái  chung cái  bản  chất quy  trình  của nhóm  đối  tượng cần  khái  quát  và  cuối cùng hợp nhất các thuộc tình chung lại. 

3.2 Áp dụng các thao tác tư duy vào bài toán cụ thể

C D

A'

C D

A

B D'

N

Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho HS qua bài toán trên: 

(2) Trừu tượng hóa

  Từ  kết  quả  MN //A ' B' C  A ' B' CDcố  định,  suy  ra  kết  luận MN   luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định  //A ' B' CD là một cách trừu tượng 

hóa. Bởi lẽ, có vô số mặt phẳng  cố định song song với mặt phẳngA ' B' CD.  

(3) Tổng hợp  

  Để trình bày thành lời giải bài toán ta phải sử dụng thao tác tổng hợp để viết lại thành lời giải chi tiết của bài toán.  

(4) Tương tự hóa

  Yêu  cầu  HS nhận  xét  về  hai  cạnh  AA ' và BC     Đó là  hai  đoạn  thẳng nằm trên hai đường thẳng chéo nhau.  Từ đó có thể nêu lên một bài toán tương tự. “Cho hình  hộp  ABCD.A ' B' C ' D ' và  hai  điểm  thay  đổi  MBB', NCD  thỏa  mãn 

AA ' CD . CMR  MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định”. Thay hai đường thẳng chéo nhau AA ' và BC  bởi  BB' và CD   

(5) Tổng quát hóa

  Bằng cách tổng quát hóa yêu cầu HS nêu một bài toán tổng quát hơn.   

“Cho hai  tia  Ax  và By  nằm  trên hai đường  thẳng  chéo nhau.    Hai điểm  C, D thay 

đổi.  trên  Ax  và  hai  điểm  E, F thay  đổi  trên  By  thỏa  mãn  AC BE

AD BF.  CMR  các đường thẳng CE và EFluôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.”  

y x

F E

D C

B A

D

C B

A

 Gọi M, N  lần lượt là trung điểm  AB, CD    

Ta  chứng  minh  MN   là  đường  vuông  góc  chung  của  hai  đường thẳng AB và CD  

Thật vậy: Xét hai tam giác vuông AMD và BMC  ta có