LUẬN văn sư PHẠM TOÁN các ÁNH xạ KHẢ VI TRONG KHÔNG GIAN BANACH

PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Toán học trên các không gian trừu tượng ít nhiều làm cho sinh viên học toán tỏ ra lúng túng và không nắm được vấn đề.. Với mong muốn: + tập nghiên cứu kho

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Khoa Sư Phạm

Bộ môn SP Toán

Luận văn toán học

CÁC ÁNH XẠ KHẢ VI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

GVHD: Sinh viên thực hiện:

ThS Lê Hồng Đức Nguyễn Minh Thiện

MSSV: 1070094 Lớp: Sư phạm Toán học K33

(TL0701A2)

Cần Thơ, 5/ 2011

Lời nói đầu

Sau hơn ba tháng nhận đề tài và nghiên cứu, em đã hoàn thành luận văn cuối khóa này Em xin gửi lời cám ơn chân thành: đến quý thầy cô ở bộ môn sư phạm Toán trong bốn năm qua đã tận tình dạy bảo, đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức (người hướng dẫn đề tài này); đến gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và khích lệ em trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Đó là những hành trang rất quý giá để

em bước vào đời Xin chúc sức khỏe và thành công đến thầy cô, gia đình và bạn

bè của em

Người thực hiện Nguyễn Minh Thiện

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 Không gian L(E1, …, En; F) ……….9

Chương 2 Các ánh xạ khả vi ……… 19

1 Khái niệm đạo hàm ………19

2 Các quy tắc tính đạo hàm ……… 37

3 Đạo hàm riêng ………42

4 Công thức số gia giới nội Mối liên hệ giữa tính liên tục của đạo hàm và đạo hàm riêng……….48

5 Một số định lý của phép tính vi phân đối với hàm vô hướng ……….59

A PHẦN MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài

Toán học trên các không gian trừu tượng ít nhiều làm cho sinh viên học toán tỏ ra lúng túng và không nắm được vấn đề Với mong muốn:

+ tập nghiên cứu khoa học,

+ nhận ra một số mối liên hệ giữa các vấn đề cổ điển và hiện đại, + học hỏi phương pháp phát triển toán học,

+ và góp một phần nhỏ giúp sinh viên toán tham khảo và làm quen với toán học trừu tượng bằng một trong những khái niệm cổ

điển và quan trọng nhất (phép tính vi phân)

nên em quyết định chọn đề tài Các ánh xạ khả vi trong không gian

Banach

Em mong rằng khi một học sinh, sinh viên nào đó cầm trên tay đề tài này, họ đọc và tự tìm ra một phương pháp học tập hiệu quả mà em rất tâm quyết và gọi là “sóng ngắn đi xa”

2) Lịch sử vấn đề

Vào thời cổ Hy Lạp, nhà khoa học lỗi lạc Archimedes (287 – 212

BC) đã dùng phép cùng kiệt (phương pháp xấp xỉ) để giải rất nhiều bài

toán hình học có liên quan đến diện tích, thể tích bên trong các đường cong

và mặt cong, tương tự như việc tìm tích phân bằng giới hạn Ông tiên đoán

có một vấn đề toán học, nếu được phát hiện, sẽ phát triển rất mạnh mẽ Cho

nên xét về mặt nào đó thì Archimedes được xem như là thủy tổ của phép tính vi tích phân

Đặt nền móng cho khái niệm vi phân và tích phân là nhà toán học,

vật lý học Anh Newton (1642 – 1727), và nhà khoa học toàn năng người Đức Leibnitz (1646 – 1716) ở thế kỷ thứ 17 Tuy nhiên, cách diễn đạt của hai ông khác nhau:

+ Phương pháp thông lượng (hay thuật lưu suất) của Newton được

xây dựng bằng hình học (đồ thị), nó được sinh ra từ các bài toán cơ học và

dùng để giải quyết các bài toán cơ học thời bấy giờ của Newton, ông đã đưa

ra các kí hiệu: f’, f(1), …, f(n), '

k

g , ''

j x i x

j

i x x

f





2, … ta dùng ngày nay do Leibnitz đưa ra, ông đã trình

bày chúng bằng đại số một cách sáng sủa và gọn gàng Kí hiệu  dựa theo chữ d là viết tắt của differential (tiếng Anh – nghĩa là khác biệt), còn kí hiệu

 được sinh ra từ chữ s trong sum (tiếng Latin – nghĩa là tổng)

Hai ông đã tìm ra mối liên hệ sâu sắc giữa nguyên hàm và tích phân, thể hiện qua công thức:



b a

dx x

f( ) = F(b) – F(a) (*)

(*) còn được viết dưới dạng:

)()

(

/

x f dt t f

x a

và sau Leibnitz, nên đã xảy cuộc tranh cãi không hay trong giới khoa học

Đó là lý do tại sao công thức trên đây mang tên Newton – Leibnitz

Cần nói thêm rằng, nhà toán học Seki Kowa đã phát triển phép tính

vi tích phân của Nhật Bản, nó được gọi là yenri (nguyên lý hình tròn)

Người ta còn lưu lại một hình vẽ bởi một học trò của ông vào năm 1670,

thể hiện cách đo diện tích hình tròn bằng cách cộng một chuỗi các hình chữ nhật lại với nhau

Cách định nghĩa đạo hàm của Newton bằng giới hạn

h

a f h a f

h

)()(lim

xấp xỉ tuyến tính của Fréchet và Gateaux làm rỏ mối liên hệ giữa đạo hàm

và các ánh xạ tuyến tính, cho phép chúng ta đưa các bài toán phi tuyến

trong cơ lý về các bài toán tuyến tính

Cho đến nay, cùng với sự phát triển của các ngành toán học khác, khái niệm vi phân đã được xây dựng trên không gian Banach tổng quát hơn

trên không gian các số thực R và ngành giải tích hàm đang được nghiên

cứu để ứng dụng, nhất là cho vật lý lượng tử và hóa học lượng tử Newton

(cùng phép tính vi tích phân) được xem là có tầm ảnh hưởng lớn nhất trong

lịch sử khoa học của nhân loại

Nhân đây tôi xin phép được nêu một trong số những câu hỏi nổi

tiếng nhất của Zénon (một nhà thông thái thời cổ Hy Lạp), mang tên Không thể có chuyển động: Cho hai điểm P và Q, không thể nào các bạn có thể di

chuyển từ P đến Q được! Chắc các bạn không tin

Hãy nghe ông ấy giải thích: Giả sử bạn đi trên đường nối hai điểm P

và Q, gọi t0 là thời điểm bạn khởi hành tại P và t1 là thời điểm bạn về tới đích Gọi f(t) là vị trí của bạn tại thời điểm t trong khoảng [t0, t1] Ta cố

định một thời điểm t, ở thời điểm này bạn chỉ ở tại một địa điểm duy nhất

A mà thôi, nói khác là bạn không di chuyển tại thời điểm này, bạn hoàn

toàn đứng yên một chổ tại mỗi thời điểm bất kỳ t trong khoảng [t0, t1] Vậy thì làm sao bạn di chuyển được từ P đến Q? Tức là không thể có di chuyển!

Có người đưa ra giải pháp thô bạo cho câu hỏi này: Họ lấy một cây cung lắp tên sẵn và nói với ông Zénon là: thử xem đầu mũi tên là điểm P và thân hình ông là điểm Q, và họ sẽ chứng minh mũi tên di chuyển được từ P

đến Q bằng cách bắn một phát tên! Ông Zénon đồng ý cho họ làm việc đó nếu họ chứng minh được bằng lý luận là mũi tên có thể bay đến người ông Vào thời cổ và trung đại, chưa có ai trả lời được, và ông tiếp tục làm mệt óc thiên hạ bằng những câu hỏi loại kỳ quặc này (trong đó có câu nổi tiếng

hơn, đó là Thần Achille không đuổi kịp rùa)

Kể từ thế kỷ 17, người ta đã giải thích được điều này thông qua khái

niệm đạo hàm (tức vi phân) Thực ra bạn không đứng yên tại thời điểm t,

mà tại thời điểm t bạn có vận tốc f’(t), cho nên bạn di chuyển

3) Mục đích nghiên cứu

Em nghiên cứu đề tài này với mục đích:

+ Tập nghiên cứu khoa học và tìm hiểu khả năng bản thân

+ Nhận ra mối liên hệ giữa cụ thể (cổ điển, sơ cấp) và trừu tượng (hiện đại, cao cấp) trong toán học

+ Tìm hiểu sâu hơn toán hiện đại để có bước chuẩn bị cho tương lai

+ Góp phần cho các sinh viên toán tham khảo quá trình phát triển của toán học

+ Đọc hiểu và phân tích các kiến thức cần thiết

+ Trao đổi thông tin từ Internet và bạn bè

+ Chọn lọc và hệ thống các kết quả

B NỘI DUNG

Chương 1 KHÔNG GIAN L(E1, …,En; F)

Trước tiên chúng ta nêu lên một số kiến thức về không gian L(E1, …, En; F),

các ánh xạ n - tuyến tính liên tục từ tích Descarte của các không gian định chuẩn

E1, E2, …, En vào không gian định chuẩn F trên trường K Trong toàn bộ luận văn

này ta hiểu K là trường số thực hay phức

1.1 Định nghĩa Giả sử E1, …, En và F là các không gian định chuẩn Ánh xạ f: E1 x … x En → F được gọi là n - tuyến tính nếu với mọi k {1, 2, …, n} và với

hệ tùy ý các phần tử ai  Ei , i ≠ k, ánh xạ riêng xk → f(a1, …, ak-1, xk, ak+1, …, an)

từ không gian Ek vào không gian F là tuyến tính

Nghĩa là nếu cố định n–1 biến, ánh xạ f tuyến tính theo một biến còn lại

(Nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho với mọi (x 1, …, x n )  E 1 x … x E n ta đều có:

(a)(b) Hiển nhiên

(b)(c) Giả sử f liên tục tại gốc tọa độ Khi đó nghịch ảnh của hình cầu đơn vị trong F là một lân cận của gốc tọa độ trong không gian E1x xEn

f(x1,…,xn) – f(a1,…,an) = f(x1-a1,x2,…,xn) + f(a1,x2-a2,x3,…,xn)

+ … + f(a1,…,an-1,xn-an)

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

) a , , f(a )

Suy ra A > 0: x  i a i  ε i  x i  Ai

Do vậy f(x1, , x n ) f(a1, , a n )  n.M.An-1 ε (3)

* Xét tập L(E1, …, En; F) tất cả các ánh xạ n-tuyến tính liên tục từ tích

E1x xEn của các không gian định chuẩn E1, E2, …, En vào không gian định chuẩn

F Ta thấy L(E1, …, En; F) là một không gian tuyến tính với các phép cộng hai ánh

xạ và phép nhân ánh xạ với một vô hướng theo nghĩa thông thường

* Ta xác định trên nó một chuẩn dạng:

f = f(x , , x n )

n i i x

sup 1

, 1

Trường hợp E1= … = En = E ta viết Ln(E; F) thay cho L(E,…, E; F) (n lần E)

1.4 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Ánh xạ f  Ln(E; F) được gọi là đối xứng nếu:

) ,,() ,

,(x (1) x (n) f x1 x n

với mọix1,…,xn  E, và với mọi hoán vị  của {1, …, n} Kí hiệu L (E; F) là tập s n

tất cả các ánh xạ đối xứng của Ln(E; F)

Ta thấy rằngL (E; F ) là không gian con đóng của không gian định chuẩn s n

f

n! (  , ,  )

1

) ( )

1 (

xác định ánh xạ tuyến tính liên tục S từ Ln(E; F) lên L (E; F) Hơn nữa s n

Sf = f  f L (E; F) và S = 1 s n

(Xem thêm vd mục 2.2 chương 2)

* Với mỗi x  E, kí hiệu ( ) (, ,)

Suy ra

f(x, y) =

2

)()()(x y 2 f x 2 f y 2

* Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại thế nào là một đẳng cấu, một đẳng cự

1.6 Định nghĩa: Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn

Ánh xạ f: E → F được gọi là đẳng cấu nếu:

(a) f liên tục tuyến tính

(b) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g: F → E sao cho

g°f = idE (ánh xạ đồng nhất từ E vào E)

và f°g = idF

1.7 Nhận xét:

a) f và g trong định nghĩa 1.6 là các song ánh

b) Định nghĩa 1.6 có thể phát biểu lại là:

Ánh xạ f: E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là phép đồng phôi tuyến tính

a) Giả sử E = Kn, F = Km và giả sử cơ sở của Kn, của Km đã được xác định

Khi đó không L(Kn; Km) sẽ trùng với không gian các ma trận m dòng, n cột (các

phần tử của ma trận thuộc trường cơ sở) Số chiều của L(Kn; Km) bằng n.m

b) Phép đẳng cự tự nhiên giữa L(K; F) và F:

* Ta xác định ánh xạ : F → L(K; F)

y  (λ  λy)

Với mỗi y  F ta cho ứng với một ánh xạ tuyến tính (λ  λy) từ K vào F

(ánh xạ này liên tục, vì λy =  λ y )

Ta có (y)() = λy = y. λ suy ra  (y) = y (4)

Dễ thấy là ánh xạ tuyến tính

* Ngược lại, ánh xạ ψ: L(K; F) → F

f  f(1)

là tuyến tính

Ngoài ra  và ψ là ngược của nhau, do đó cũng là các song ánh

Theo đẳng thức (4) mỗi một trong hai ánh xạ  và ψ là một đẳng cự

Như vậy ψ là đẳng cự giữa L(K; F) và F Ta viết L(K; F)  F

1.11 Định lý

Giả sử E 1 , E 2 , …, E n và F là các không gian Banach Khi đó tồn tại đẳng cự chính tắc giữa L(E 1 , ,E n ; F) và L(E 1 ; L(E 2 ; …; L(E n ; F)…))

Chứng minh

Do tính quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2

Giả sử ta có các không gian Banach E1, E2, F Ta chứng minh

L(E1, E2; F)  L(E1; L(E2; F))

* Trước tiên ta xác định ánh xạ : L(E1, E2; F) → L(E1; L(E2; F)) cho bởi

(f)(x1)(x2) = f(x1, x2)

Ta thấy  tuyến tính, ngoài ra nó bảo toàn chuẩn vì:

) x , f(x

= (f)

x x

2 1 1 2 1, 1

Vậy L(E1, E2; F)  L(E1; L(E2; F)).■

* Hệ quả Nếu F là không gian Banach thì L(E 1 , …, E n ; F) là không gian Banach

Thật vậy, vì F là không gian Banach nên L(En; F) là không gian Banach

Vì L(En; F) là không gian Banach nên L(En–1; L(En; F)) là không gian Banach Tiếp tục quá trình trên ta được L(E1; L(E2; …; L(En; F)…)) là không gian Banach, theo định lý 1.11 thì L(E1, ,En; F)  L(E1; L(E2; …; L(En; F)…)) do đó chúng đẳng cấu nhau

Vậy L(E1, ,En; F) là không gian Banach.■

= S) (T,

= S) , bT

T

x x

.supsup

1 1

= ) T , , Φ(T1 n 1  n T iE Chứng minh ánh xạ Φ là n-tuyến tính liên tục và Φ = 1

Chứng minh

Ta kiểm tra được tính chất n-tuyến tính của Φ, tương tự 1.12.1 Tính liên tục của Φ được suy ra từ bất đẳng thức:

n ) T T T

, , Φ(T1  1

Đồng thời cũng từ đây ta có Φ  1 Chọn T1 = … = Tn = I (ánh xạ đồng nhất) Ta có: Φ(I, , I) = I =1 Vậy Φ =1 ■

i y x

= y) Φ(x,

y x

1

2 1

2 1

=

Chứng minh

Vì fi là phiếm hàm tuyến tính, i =1, , nên F là ánh xạ n-tuyến tính Do các n

phiếm hàm fi , i =1,n, liên tục nên ta có bất đẳng thức:

n

n x x f

f F(x)  1 1 , với x = (x1,…,xn)

Suy ra F  f1 f n Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta hãy chú ý rằng:

Theo định nghĩa của chẩn f i , ε > 0 đủ bé, xi  Ei với x i =1 sao cho:

) (x

= i i

i y x

= y) Φ(x,

Hãy chứng minh rằng: ánh xạ Φ song tuyến tính không liên tục, tuy nó liên tục đối với từng biến

Chứng minh

Hiển nhiên ánh xạ Φ là song tuyến tính Ta thấy với mỗi y0  M0 , ánh xạ

x  Φ(x, y0) là tuyến tính liên tục trên M0

i

1

0 , ở đây y0 = (y01,y02,…) Ta có

x M

= x M

y x

= ) y

= i i

chứng tỏ rằng ánh xạ x  Φ (x, y0) liên tục

Tính chất liên tục của ánh xạ y  Φ (x0, y) được chứng minh tương tự

Vậy Φ song tuyến tính, và đối với từng biến thì nó liên tục

* Xét dãy xn = (1,1,…,1,0,0,…) (có đúng n phần tử đơn vị ở n vị trí đầu tiên) Khi đó xn  M0 và x n =1

Ta có Φ(x , y ) = x y = n

= i

n i

n i n

n



 1

1

y) Φ(x,

y x

Vậy Φ không liên tục ■

Chương 2 CÁC ÁNH XẠ KHẢ VI

1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Giả sử E và F là các không gian Banach, f: U → F là ánh xạ từ tập con U

mở của E vào F

1.1 Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là khả vi (hay khả vi Frechet) tại a  U nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g: E → F sao cho

) g(x ) f(

f(x) a  a = o xa (*) Điều này tương đương ε > 0 cho trước, δ > 0 sao cho

) g(x ) f(

f(x) a  a < ε xa x  U, xa < δ

Hay là  ε > 0, δ > 0:

)()a()a( z f g z

f    <  z z  U, z < δ

1.2 Nhận xét

(a) Tính khả vi và giá trị đạo hàm của f tại a không thay đổi nếu chuẩn của

E được thay bởi chuẩn khác tương đương

(b) Ánh xạ tuyến tính liên tục g thõa (*) là duy nhất Thật vậy, giả sử h 

L(E; F) cũng thõa (*) Tức là ε > 0, δ1 > 0 và δ2 > 0 để

) g(x ) f(

(c) Nếu f khả vi tại a, từ (*) và do tính liên tục của g, suy ra f liên tục tại a

(d) Do g là duy nhất nên g sẽ được gọi là đạo hàm (hay đạo ánh, hay vi phân) của f tại a Kí hiệu là Df(a) hay f’(a)

Như vậy (*) có thể được viết dưới dạng

) )(x ( f ) f(

a 



 x

) f(

a 



 x

) f(

Ánh xạ f: U → F gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm của U

* Như vậy ta có ánh xạ f’: U → L(E; F) với

(f’)(x) = f’(x), x U

Nếu E = R, ta coi

f’: U → F

qua đồng nhất tự nhiên 

* Nếu f: U → F khả vi thì f’: U → L(E; F) có thể xét như ánh xạ

f’: UE → F cho bởi (x, h)  f’(x, h) = f’(x)(h)

Khi một trong hai biến cố định thì ánh xạ này liên tục theo biến còn lại

1.4 Đạo hàm của một số ánh xạ đặc biệt

1.4.1 Nếu f : U → F là ánh xạ hằng thì (*) đúng a  U với g = 0 Vậy f khả vi tại mọi a  U và

f’(a) = 0

Ở phần 4 chương 2, ta sẽ thấy điều ngược lại cững đúng nếu U là tập lồi

mở Tức là nếu f: U → F là ánh xạ khả vi tại mọi a  U lồi mở và f’(a) = 0 thì f là ánh xạ hằng

1.4.2 Giả sử f = S|U là hạn chế trên U của ánh xạ tuyến tính liên tục S từ E vào F Khi đó (*) với g = S trở thành

) S(x ) S(

S(x)

= ) S(x ) f(

1.4.3 Giả sử f = S|U với S: E1E2 → F là song tuyến tính liên tục

Vì E1E2 là không gian hai chiều nên các chuẩn tương đương nhau, ở đây ta sử dụng chuẩn

,()a,a

[( 1 2 z1 z2 f 1 2 S 1 z2 S z1 2

= S(a1z1,a2 z2)S(a1,a2)S(a1,z2)S(z1,a2)

= S(z1,z2)

2

1 z z S



2

1 2 z z S



2 2

1 ).( z z

1.4.4 Kí hiệu Isom(E; F) là tập các phép đẳng cấu từ E lên F Hiển nhiên

Isom(E; F)  L(E; F) Ta sẽ tìm đạo hàm của ánh xạ nghịch đảo : u  u – 1 từ Isom(E; F) vào L(F; E), bằng cách xét:

* Định lý Giả sử E và F là các không gian Banach Khi đó:

(a) Isom(E; F) là tập mở trong L(E; F)

(b) Ánh xạ  : u  u – 1 từ Isom(E; F) vào L(F; E) liên tục

(c)  khả vi liên tục (thuộc lớp C 1 ) và đạo hàm của nó được xác định bởi đẳng thức:

 ’(u)h = – u –1hu –1 , với h  L(E; F)

Chứng minh

(a) Trường hợp Isom(E; F) rổng (nếu các không gian E và F không đẳng cấu nhau) thì khẳng định đúng Giả sử Isom(E; F) khác rổng, gọi u0  Isom(E; F)

Ta chứng minh mọi u  Isom(E; F) đủ gần u0 là một đẳng cấu Ánh xạ u: E → F là đẳng cấu, khi và chỉ khi ánh xạ:

u0 –1

1 0





 1

=

v

v u





1

1 0

 u01 2

v

u u



1

u  u0

Cho nên khi u  u0 thì u1 u01 Vậy  là ánh xạ liên tục

(c) Ta thấy – u–1hu–1  L(F; E)

Cho biến u gia lượng h, khi đó gia lượng của  là:

(u + h) – (u) = (u + h)–1 – u–1

= (u + h) –1[ I – (u + h)u –1 ] = (u + h) –1[ u – (u + h)]u –1 = – (u + h) –1hu –1

Vậy  khả vi trên Isom(E; F) và ’(u)h = – u–1hu–1

* Ta còn phải chứng minh  thuộc lớp C1, tức là ánh xạ

’: Isom(E; F)  L(L(E; F); L(F; E)) liên tục

Giả sử v, w  L(F; E) Nhờ có ánh xạ tuyến tính

 (v, w): L(E; F)  L(F; E)

h  – v h  w

mà ánh xạ

 : L(F; E) L(F; E)  L(L(E; F); L(F; E)) (v, w)   (v, w)

song tuyến tính

Ngoài ra: (v,w)h = vhw  v h w

Suy ra (u,w)  v w hay  liên tục

Không khó thấy rằng ánh xạ u ’(u) =  ( u–1, u–1) là hợp thành của hai ánh xạ liên tục:

u  ( u–1

, u–1)

và (u, w)   (v, w) nghĩa là ’ liên tục ■

sẽ đồng nhất

với đạo hàm của hàm số x 

x

1 , như ta đã biết nó bằng

t

)a()a(lim

0







Giới hạn trên nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm theo hướng h của f tại a, ta viết:

Df(a; h) hay f’(a; h)

1.6 Nhận xét

(a) f’(a; h) thuần nhất theo h, tức là:

f’(a; sh) = sf’(a; h) Thật vậy, ta có

f’(a; sh) =

t

f sh t f

t

)a()a

(lim

ts

)a()a(lim

0







= sf’(a; h)

Tuy nhiên, nói chung f’(a; h) không khả tổng theo h:

f’(a; h1 + h2)  f’(a; h1) + f’(a; h2)

(b) Trường hợp f khả vi theo mọi hướng h  E tại a  U và f’(a; h) tuyến tính theo h, ta nói f khả vi Gateaux tại a

Chẳng hạn, mọi ánh xạ tuyến tính giữa các không gian Banach là khả vi Gateaux tại mọi điểm

t

)a()a(lim

f(a + th) – f(a) = f’(a)(th) + o(th)

= tf’(a)h + o(th), o(th)  0 khi t  0

* Lưu ý Chiều ngược lại của định lý trên nói chung không đúng

Ví dụ trong mặt phẳng R2 ta xét tập  2 2

0,0:)

,(x y R x  yx

),(,1

2

R y x

y x

Vì hàm f không liên tục tại (0, 0) nên nó không khả vi tại (0, 0) Nhưng f có đạo hàm theo mọi hướng tại (0, 0) Thật vậy:

+ Nếu hướng h = (h1, h2) không thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì

Vậy một hàm có thể có đạo hàm theo mọi hướng tại một điểm vẫn không khả vi tại điểm đó (xem thêm bài toán 1.10.6 cùng chương)

a) Đặt f(x) = x x Ta có:

x x

x x x

f x f





 (0))

(

Do đó

x

f x f

x

)0()(lim

h t t

f th f

t t

0()(lim

và

h t

h t t

f th f

t t

0()(lim

nên f không có đạo hàm theo hướng h  0

Vậy f không khả vi tại x = 0 ■

1.10.2 Cho trước các điểm t 1 , t 2 , …, t n  [0; 1] Chứng minh rằng f(u) = 



n i i

t u

1

)(

u t

u u f

t i



)(sup)

()(

] 1

; 0 [

Do đó f cũng là phiếm hàm tuyến tính liên tục Vậy f khả vi và f’(u)(x) = f(x),  u  C[0; 1], tức là:

f’(u)(x) = 



n i i

t x

1

)( ,  u  C[0; 1] ■

1.10.3 Hãy xét tính khả vi của các hàm dưới đây trên không gian C[0; 1]:

Tu  2 (0)

)0()

0()0(2)0()

0()0()

()

0

= 0

Suy ra f khả vi tại x và f’(x)u = Tu

b) f khả vi tại mọi điểm x mà x(0)  0 và không khả vi tại x mà x(0) = 0 Thật vậy, nếu x(0)  0 chẳng hạn x(0) > 0, chọn  > 0 sao cho (x + u)(0) > 0 với

mọi u <  Đặt Tu = u(0) là ánh xạ tuyến tính liên tục Ta có

0)0()0()0()0(lim)

()(lim

0 0

u x

u

Tu x f u x f

u u

Vậy f khả vi tại x và f’(x) = T Hoàn toàn tương tự, f khả vi tại x mà x(0) < 0 và f’(x) = –T

Cuối cùng nếu x(0) = 0, chọn u  C[0; 1], u(0)  0 Ta có:

)()(

lim

0 0

u x

f u x

lim

0 0

u x

f u x

1)

(x f0 x f1 x f0 x f1 x

f     Khi đó f khả vi tại x0 khi và chỉ khi x  | f0(x) – f1(x) | khả vi tại x0 Từ đó suy ra, f khả vi tại x mà x(0)  x(1) và không khả vi tại x mà x(0) = x(1) ■

1.10.4 Chứng minh rằng ánh xạ  : C[0; 1]  C[0; 1] cho bởi công thức

f

u

2)()(

u f

u

2)

(lim

2 2 0

lim



= 0

Để chứng minh  là ánh xạ khả vi tại f, ta còn phải chứng minh ánh xạ Tu = 2fu

là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính tuyến tính của T là hiển nhiên, còn tính liên tục được suy ra từ bất đẳng thức sau:

u f u

Ta sẽ chứng tỏ rằng  là ánh xạ khả vi tại mọi điểm f  C[0; 1] và

 ’(f) = T, trong đó Tu(x) = ’(f(x))u(x)

Hiển nhiên T tuyến tính T liên tục do:

u M

Tu 

trong đó M = sup '( ( ))

] 1

; 0 [

x f

2 1

, 1

f u

Vậy  khả vi tại f và  ’(f ) = T ■

1.10.6 Trên không gian tuyến tính định chuẩn M 0 tất cả các dãy số chỉ có hữu hạn

số khác 0 (với chuẩn sup), cho phiếm hàm:

n

y n

x n y

x n x

f y

)()(

lim

n

n

y n x

f y x f

x 

> A

nếu k được chọn đủ lớn Suy ra f không bị chặn

Cho nên f là phiếm hàm tuyến tính nhưng không liên tục

Vậy f không khả vi ■