LUẬN văn sư PHẠM TOÁN TOÁN tử TUYẾN TÍNH bị CHẶN TRONG các KHÔNG GIAN

Vậy toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian trên có những đặc trưng, tính chất gì riêng biệt hay không, đó là vấn đề có thể tìm hiểu sâu, đồng thời được sự gợi ý của Thầy hướng d

Cần Thơ, 2013

LỜI CẢM TẠ

L uận văn là một công trình nghiên cứu của sinh viên với một đề tài khoa học cụ thể Và với những kiến thức đã tích lũy được trong những năm đại học, em đã chọn đề tài luận văn của mình thuộc

mảng Giải tích hàm do Thạc sĩ Lê Hồng Đức hướng dẫn

Người ta thường nói “vạn sự khởi đầu nan”, quả thật là như vậy, khi bắt tay vào thực hiện đề tài luận văn em đã gặp không ít khó khăn trở ngại, một phần do thời gian hạn hẹp, hơn nữa đây là lần đầu tiên em nghiên cứu một đề tài lớn nên chưa có nhiều kinh nghiệm Nhưng nhờ vào những kiến thức mà Thầy Cô trong Bộ môn Toán đã trang bị cho em,

đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy Lê Hồng Đức cùng với sự

cố gắng nổ lực của bản thân và sự giúp đỡ của bạn bè, cuối cùng luận văn của em cũng đã hoàn thành

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn cùng với các Thầy Cô trong Bộ môn Toán và các bạn sinh viên lớp Sư Phạm Toán – Tin K35 đã giúp đỡ và ủng hộ tinh thần cho em

Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện đề tài và rất cẩn thận trong việc trình bày luận văn nhưng chắc sẽ có chỗ sơ sót, rất mong nhận được sự đóng góp quý báu từ quý Thầy Cô và độc giả

Cần Thơ, 05/2013

SVTH: Lê Thị Tuyết Nhân

Trang

Chương I:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1: Không gian định chuẩn 1

§2: Không gian Hilbert 4

Chương II: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN §1: Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 8

§2: Toán tử compact và toán tử hữu hạn chiều 15

§3: Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn 21

§4: Phổ của toán tử tuyến tính 22

§5: Bài tập 24

Chương II: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT §1: Phép đẳng cấu trong không gian Hilbert 36

§2: Phiếm hàm tuyến tính liên tục và song tuyến tính trong không gian Hilbert 38

§3: Toán tử bị chặn trong không gian Hilbert 42

§4: Bài tập 62

PHẦN KẾT LUẬN 85

- -

1 Lý do chọn đề tài

Nếu các không gian tuyến tính đơn thuần (không gian vectơ, không gian các

ma trận…) là đối tượng nghiên cứu của Đại Số Tuyến Tính thì trong Giải Tích Hàm, người ta chú ý đến những không gian tuyến tính nào đồng thời cũng là không gian mêtric Vì vậy, để có một kiến thức phong phú, mà các sự kiện kết hợp chặt chẽ các khái niệm đại số với các khái niệm mêtric, người ta đưa ra một lớp không gian vừa mêtric vừa tuyến tính, đó là không gian định chuẩn; hơn nữa khi đưa tích vô hướng vào không gian định chuẩn thì ta được một không gian mới – không gian Hilbert Do đó, nội dung kiến thức về không gian định chuẩn

và không gian Hilbert là hai vấn đề trọng tâm của lý thuyết Giải tích hàm

Khi nghiên cứu về hai không gian trên, người ta có đưa ra mảng kiến thức về toán tử tuyến tính bị chặn Vậy toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian trên có những đặc trưng, tính chất gì riêng biệt hay không, đó là vấn đề có thể tìm hiểu sâu, đồng thời được sự gợi ý của Thầy hướng dẫn, em đã chọn đề tài:

“Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian” làm nội dung nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài “Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian” giúp ta

hiểu sâu hơn những đặc trưng của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert Qua đó, có thể thấy được sự giống nhau và khác nhau của toán tử tuyến tính bị chặn trong hai không gian trên Ngoài ra, việc đưa ra một số bài tập liên quan có trình bày lời giải giúp ta vận dụng lý thuyết và củng cố thêm kiến thức

3 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài của mình, bước đầu tiên là tìm tài liệu tham khảo, sau khi

đã có tài liệu, em tiến hành nghiên cứu, phân loại lý thuyết và bài tập Trên cơ sở phân tích, phân loại em tiến hành so sánh, đối chiếu để tìm ra những đặc trưng, những tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong hai không gian Từ việc phân tích, so sánh này em tổng hợp lại các kiến thức và trình bày lại theo một trình tự phù hợp

tính bị chặn trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert Vì vậy, luận văn là sự hệ thống hóa có tổ chức, có chọn lọc những kiến thức về toán tử tuyến tính bị chặn trong hai không gian trên Cụ thể luận văn trình bày những nội dung sau:

Chương I: Trình bày một số định nghĩa và định lý cơ bản về không gian

định chuẩn và không gian Hilbert là cơ sở bước đầu chuẩn bị cho việc nghiên

cứu những đặc trưng của “Toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian” Ở

chương này, đa số các định lý không được chứng minh vì các định lý này được trình bày chi tiết trong các tài liệu giải tích hàm

Chương II: Chương này thể hiện những đặc trưng của toán tử tuyến tính bị

chặn trong không gian định chuẩn Đầu tiên là trình bày định nghĩa toán tử tuyến

tính làm cơ sở để trình bày các định nghĩa, định lý và tính chất của toán tử bị chặn, toán tử ngược, toán tử song tuyến tính, toán tử liên hợp, toán tử compact, toán tử hữu hạn chiều …Đồng thời, chương này cũng đề cập đến phiếm hàm

tuyến tính và phổ của tuyến tính trong không gian định chuẩn Hơn nữa, ở cuối chương có đưa ra một số bài tập liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn nhằm củng cố lại các kiến thức đã trình bày trong chương

Chương III: Chương này thể hiện cụ thể sự ảnh hưởng của tích vô hướng đến

toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Sự ảnh hưởng này được thể hiện chi tiết qua phép đẳng cấu, phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert Đồng thời, chương này còn cho ta thấy những tính chất đặc trưng mà chỉ có toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert mới

có Ngoài ra, ở cuối chương có trình bày một số bài tập liên quan đến toán tử bị chặn trong không gian Hilbert với mục đích là củng cố lý thuyết Đồng thời, thông qua các bài tập ta sẽ thấy rõ hơn sự ảnh hưởng của tích vô hướng đối với toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

PHẦN NỘI DUNG



CHƯƠNG I – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

1 2

1 2

x

x ( 1, 2, , ) 

(b) Ta định nghĩa B(T){x:T K| với x là hàm số, x t

T t





 ( )sup }

B(T) là không gian định chuẩn với chuẩn x sup |x(t) |

1

2 , , , , , , :

n n n

1

1

2 2

n n

2 2

1 2

1 2

1 2

2 2

k k n

k k n

k k n

k

n

k k



Cho n, ta được: xy  x  y x,yl2 Như vậy:

2 1

x  x n l2 là một chuẩn trên l2 Vậy l2 là một không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa

Dãy  x n trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến xX nếu :

0 lim  

1.3 KHÔNG GIAN BANACH

1.3.1 Định nghĩa

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

1.3.2 Ví dụ

a) Mọi dãy Cauchy trong n

R đều hội tụ nên n

R là không gian Banach

b) B(T) là không gian Banach Thật vậy:

 B(T) đã là không gian định chuẩn

 Lấy dãy Cauchy  x n của B(T), khi đó:

x N m n

T t m

, , 0 ,



 x n x

Vậy B(T) là không gian Banach

x Chuỗi 

 1

n n

x hội tụ thì 

 1

n n

là một chuẩn trên L Khi đó, không gian tuyến tính định chuẩn L , L được gọi là không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X, 

1.5.2 Nhận xét

- Không gian con đóng của không gian Banach là không gian Banach

- Không gian con đầy đủ của không gian định chuẩn X là một không gian con đóng của X

1.6 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN HỮU HẠN CHIỀU

0 , 0 , 1 , 0 ( );

§2: KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 KHÔNG GIAN HILBERT

Trong đó  x, y là số phức liên hợp của số  x, y

2.1.2 Không gian tiền Hilbert

a Định nghĩa

Không gian tuyến tính X cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert

Nhận xét:

Không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn với chuẩn :

2 1

2 x y y

x y

x     x,yX

Nhận xét :

- Tích vô hướng  ,  là hàm liên tục xác định trên XX

- Vì không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn nên nó có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ

2.1.3 Không gian Hilbert

- Vectơ xđược gọi là trực giao với tập M nếu x y,yM Ký hiệu: xM

- Tập M được gọi là trực giao với tập N nếu xy, xM,yN Ký hiệu:

N

- Hệ S X được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao với nhau từng đôi một

1 2

j i e

e i j ij

, 0

, 1 ,  với i, j 1 ,n

2.2.4 Cơ sở trực chuẩn

a Định nghĩa

Hệ trực chuẩn e n :nN của không gian Hilbert X được gọi là một cơ sở trực chuẩn đếm được, hay một hệ trực chuẩn đếm được và đầy đủ của không gian Hilbert X nếu không gian con sinh bởi hệ e n :nN trù mật trong X Tức là

,

n

n

e x

j i e

e i j ij

, 0

, 1 ,  nên e n:nN là một hệ trực chuẩn trong l2

n n

i

n

e e x e

Theo định lý trên ta có e n :nN là cơ sở trực chuẩn của l2

d Định lý

Giả sử X là không gian Hilbert Khi đó, X có một cơ sở trực chuẩn đếm được khi

và chỉ khi X vô hạn chiều và khả ly

CHƯƠNG II – TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

§1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Cho X , Y là hai không gian định chuẩn

a) Toán tử biến mỗi phần tử xX thành phần tử 0(toán tử không) và toán tử

biến phần tử xX thành chính nó (toán tử đồng nhất) là những toán tử

tuyến tính

b) Trong không gian định chuẩn n

R R

A: 

x Axx

trong đó  0 là một toán tử tuyến tính

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục

Do đó A liên tục tại x Vậy A liên tục trên X

1.2.4 Các tính chất của toán tử tuyến tính liên tục

Cho X và Y là các không gian Banach, A:X Y là một toán tử tuyến tính Toán

tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi đồ thị GrA x,Ax:xX là một tập đóng trong X Y.

A

x x

supsup

Ax 



b) Từ bất đẳng thức trong câu a) ta suy ra :

Ax  A ,xX mà x 1(hoặc x 1) (1.1) Mặt khác từ định nghĩa chuẩn của toán tử ta suy ra rằng với một số dương  bất

kỳ,uX sao cho : Au  A u

x A Ax

x x

sup sup

+ Một dãy toán tử  A n LX,Y hội tụ đều tới toán tử ALX,Y thì dãy  A n hội

tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y

n n

e f x x

f R R

x X

b) Dãy toán tử  A n LX,Y được gọi là hội tụ đơn giản hay hội tụ từng điểm đến toán tử ALX,Y nếu xX thì A n x Ax

1 1

Vậy  A n không hội tụ theo chuẩn đến I

1 liên tục thì  1

A được gọi là toán tử ngược của A

Ví dụ:

R R

A: 

x Axx   0

Theo ví dụ ở mục 1.2.2 thì A là toán tử tuyến tính liên tục

Dễ dàng chứng minh được A là một song ánh

Vậy A là song ánh tuyến tính liên tục nên tồn tại :

n n

R R

Ví dụ:

R R

A: 

x Axx   0 là một phép đồng phôi tuyến tính

1.7 TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ TÍCH

Nếu ta đưa vào đó một chuẩn bằng cách quy định :  x,y  x  y thì ta được một

không gian định chuẩn gọi là tích trực tiếp của hai không gian định chuẩn X và Y

Ký hiệu là X Y

Nhận xét:

+ Mỗi cặp có dạng  x, 0 với xX,0Y có thể đồng nhất với xX cho nên X có

thể xem là không gian con của XY Tương tự, Y có thể xem là không gian con

của X Y

+ Mỗi phần tử  x, y của không gian tích được biểu diễn một cách duy nhất dưới

dạng :     x,y  x, 0  0 ,y (1.4)

1.7.2 Định lý

Cho hai không gian tuyến tính X , Y Mỗi toán tử tuyến tính A từ X Yvào không

gian tuyến tính Z, đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

 x y A x A  y

trong đó, A1, A2 là các toán tử từ X ( Y tương ứng) vào Z

Nếu X , Y là không gian định chuẩn thì toán tử A liên tục khi và chỉ khi cả A1 và A2

A0 ,  2 Vậy cách biểu diễn trên là duy nhất

+ Nếu X , Y là không gian định chuẩn và A liên tục (do đó bị chặn) thì ta có với

1.8.2 Một số tính chất của toán tử liên hợp

Cho X,Y,Z là các không gian định chuẩn Khi đó, A,BLX,Y,

b) A E là compact tương đối, với mọi tập EX bị chặn

c) Với mọi dãy bị chặn  x n  X tồn tại dãy con  x n k để  Ax n k hội tụ

Nhận xét:

A là toán tử compact thì A liên tục

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ COMPACT

2.2.1 Định lý

Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A:X Y Nếu A compact thì A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành dãy hội tụ (mạnh) trong Y

Chứng minh

Vì dãy  Ax n compact tương đối nên  y n compact tương đối

Do đó, tồn tại dãy con  y n của  y n sao cho y n z0 nên

Giả sử A không là toán tử compact

Gọi B X là hình cầu đơn vị trong X Khi đó, A B X không compact tương đối trong

Y

 x n B X  Ax n  A B X



X phản xạ nên B X compact yếu theo dãy  x n  x n

Giả sử X , Y là hai không gian Banach A:X Y là toán tử compact Khi đó, ImA

là không gian khả ly của Y

2.2.4 Định lý

Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, A,D:X Y là toán tử compact Khi đó, với mọi số , toán tử AD là compact

Chứng minh

Lấy dãy  x n của hình cầu đơn vị B X  X

Vì A compact nên tồn tại dãy con    x ni  x n sao cho dãy  Ax ni hội tụ

 tồn tại dãy con  x mj  x ni sao cho các dãy    Ax mj và Dx mj hội tụ (do D

Cho X là các không gian định chuẩn, Y là không gian Banach,A nLX,Y

n 1 , 2 ,  là dãy các toán tử compact, hội tụ trong LX,Y đến toán tử ALX,Y, tức là lim   0



 A n A

n Khi đó, A là toán tử compact

Chứng minh

Lấy dãy  x n trong hình cầu đơn vị B X  X Ta xét dãy  Ax n  A B X

Vì A1 compact nên A1 B X compact tương đối x n1  x n

sao cho dãy  1

n

x của  k 1

n

x sao cho  k

m m m m n m m n n n n n n n n n m

0 0

m m n

m m n n n n n n

A

0 0

a) Giả sử A compact Khi đó, A B X compact trong Y

 các hàm f B Y* đồng liên tục đều trên A B X

 B Y* là tập compact tương đối trong không gian CA B X  gồm các hàm liên tục trên A B X

Bây giờ lấy dãy    *

f A f

B x j nj ni j

i nj ni

A compact tương đối trong Y 

Vì X và Y có thể đồng nhất với các không gian con của X và  Y , nên có thể coi

compact tương đối)

 y ni Y là dãy Cauchy  y ni hội tụ trong Y (vì Y đầy đủ)

 tập A B X compact tương đối trong Y

Gọi B X S 0 , 1 là hình cầu đơn vị trong X

Khi đó, A liên tục nên xB X S 0 , 1 , ta có: Ax  A.x  A (vì x 1)

Mà mọi dãy  x n  AS 0 , 1 đều là dãy bị chặn trong không gian n-chiều A X

Mọi dãy  x n  AS 0 , 1 đều trích được được một dãy con hội tụ

Với BxC a,b : x 1 Do A liên tục nên A B bị chặn

Mặt khác, cho 0, vì K liên tục đều trên Q, tồn tại  sao cho:

§3:PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH TRONG

KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chẳng hạn như, cho X là không gian định chuẩn Khi đó :

+ Phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị chặn nếu M  0 sao cho xX thì

f x M x (1.6) + Số M  0 nhỏ nhất thỏa (1.6) gọi là chuẩn của phiếm hàm f Ký hiệu là f Khi

x f x

x f f

x

supsup

3.2 Không gian liên hợp

Tập hợp các phiếm hàm liên tục trên không gian định chuẩn X được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X Ký hiệu là 

X Vậy X LX,K

x a

1

,  Khi đó, f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên n

R

3.4 Phiếm hàm song tuyến tính

Giả sử X là không gian định chuẩn Hàm số f x,y xác định trên XX được gọi

là phiếm hàm song tuyến tính, nếu với mỗi x cố định nó tuyến tính theo y và mỗi

y cố định nó tuyến tính theo x

Tức là: fx1x2,y fx1,y fx2,yfx1,yfx2,y

fx,y1y2 fx,y1 fx,y2fx,y1fx,y2

Nhận xét:

+ Phiếm hàm song tuyến tính là một trường hợp riêng của toán tử song tuyến tính + Phiếm hàm song tuyến tính liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, tức là M  0 sao cho x,yX thì f x,y M.x y (1.7) + Số M  0 nhỏ nhất thỏa (1.7) gọi là chuẩn của phiếm hàm f và

 

 , : 1, 1

 f x y x y f

y x

 N là không gian con đóng của X

 Nếu  là giá trị riêng của A thì không tồn tại toán tử AI 1

4.2 Định nghĩa

a) Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn X Số 

được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trị phổ của A, nếu không tồn tại toán tử AI 1 liên tục

b) Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A Ký hiệu là  A

Không gian C 0 , 1 là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức) liên tục trên

 0 , 1 C 0 , 1 trở thành không gian định chuẩn với chuẩn: x x t

Trong C 0 , 1 ta xét toán tử A:C 0 , 1 C 0 , 1 được xác định bởi:

  1  

0

ds s x t

u t Ce y s e ds

s t

s t

ds s y e t

y t

u t

())0(())0((

))0()0(()0)(

()))(

((

2 2

2 2

t Ay t

Ax y

t x t

y x

t y

x t t y x A

2 1 , 0

())(

(

)()()

()()

()()()())(

)(

()))(

(

(

t Ay t

Ax

t y t t

x t t

y t t

x t t

y x t t

y x

Trong đó max  ( )

1 ,

( ) 0 )(

( ) ))(

(

(Axy t  xy t xy t  x tx t  y ty t

(Ax)(t)(Ay)(t)

với mỗi t    0 , 1 Suy ra A (  x   y )   Ax   Ay

VậyA là toán tử tuyến tính

())(

()))(

(

(Axy t  xy t  xy t  x t x t  y t  y t

(Ax)(t)(Ay)(t)

với mỗi t    0 , 1 Suy ra A (  x   y )   Ax   Ay

VậyAlà toán tử tuyến tính

Ta chứng minh A liên tục Ta có:

Ax

t t

t ( ) ( 1 ) max ( ) max ( 1 ) 2

max

1 , 0 1

, 0 1

Lấy bất kỳ x  X Giả sử xn  x Khi đó: xn  x  0

Do A liên tục tại 0 nên A(x n  x) A(0)0 hay Ax n  Ax0

Suy ra Ax n  Ax

Vậy A liên tục trên X

Bài 4: Cho X , Ylà các không gian tuyến tính định chuẩn thực và A: X Y là một toán tử cộng tính Chứng minh rằng nếu  

 Ax

x 1

sup thì A là toán tử tuyến tính liên tục trên X

Giải

Ta dễ dàng chứng minh được rằng A(qx)qA(x) với mọi qQ,xX

Tiếp theo ta chứng minh A liên tục trên X

Cách 1( Gián tiếp)

Giả sử A không liên tục tại 0 Khi đó:

2

* 0

1 :

, ,

0

n y X y N

n n y n

N n n N n x

(mâu thuẫn giả thiết)

Do đó A liên tục tại 0 Theo bài tập 3 thì A liên tục

Vì kx n kx nên n0N sao cho kx nkx 1,nn0

Suy ra: A(kx n kx) M hay k A(x n)A(x) M

Do đó: , n n0.

k

M Ax

Vậy A(x n) Ax

Cuối cùng,rR, lấy dãy  r n Q sao cho r n r

Khi đó: A(rx) A(limr x) lim A(r x) lim(r n Ax)

n n n

Bài 5: Giả sử E , F là hai không gian định chuẩn trên R và u:EF là ánh xạ thỏa mãn u(xy)u(x)u(y) và u bị chặn trên hình cầu đơn vị B(0,1)E, Chứng minh rằng u tuyến tính và liên tục

Do đó: u(r n x) u(x)

Như vậy: u(x)u(x)

Do đó u tuyến tính và liên tục

Bài 6: Cho X , Y là các không gian tuyến tính định chuẩn thực và A: X Y là một toán tử cộng tính Giả sử mọi dãy  x n trong X mà x n  0 thì dãy  Ax n bị chặn trong Y. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục trên X

Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục trên X

Bài 7: Giả sử X là không gian định chuẩn, E0 là không gian con trù mật của

X và A0 :E0 Y là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E0 vào không gian Banach Y Chứng minh rằng tồn tại duy nhất toán tử tuyến tính liên tục A:X Y sao cho:

Giả sử x là một phần tử bất kỳ của X Vì E0 X nên tồn tại dãy  x n những phần

tử của E0 sao cho x n x

0

' 0 0

0xn A x n  A xn x n 

n n

Ax x A Bx

n n

Sau đây là một số bài tập chứng minh f liên tục liên quan đến tập đóng, với f là phiếm hàm tuyến tính trên X hay *

X

Bài 8: Cho không gian định chuẩn X , f là phiếm hàm tuyến tính trên X

Chứng minh rằng f liên tục khi và chỉ khi Kerf đóng

Giải

Giả sử f liên tục, khi đó Kerf đóng vì nó là ảnh ngược của tập đóng  0

Ngược lại, giả sử Kerf đóng ta cần chứng minh f liên tục

Nếu f 0 thì f liên tục

Nếu f 0 và f không liên tục, ta có: 

 ( )

sup1

x f

n n

x f

x a

y  

Ta có:

011)(

)()()

n

n n

x f

x f a f y f

f

x x

f

x

n

n n

)()

(

Giải

Nếu f liên tục thì hiển nhiên f 1(a) là tập đóng

Ngược lại, giả sử f1(a) là tập đóng và f không liên tục tại 0

Khi đó 0  0 sao cho:

n x X x N

0 ,

1

x f

x x

f x

a x

f

x a y

n n n n

n

Khi đó y n  f1(a), với mọi n Tuy nhiên, dãy  y n hội tụ về y f 1(a) Điều này mâu thuẫn với f1(a) là tập đóng

Vậy f liên tục trên X

Bài 10: Cho X là không gian định chuẩn và f X* ,a là một số thực bất kỳ Chứng minh f liên tục trên X khi và chỉ khi

a x X f x a

f    

)()

,(

a

f là tập đóng và f không liên tục tại 0

Khi đó 0  0 sao cho:

n x X x N

 và f(x n) 0

Đặt

)()()1(

1 1

n

n n

x f

x x

f

x a

Ta có f(y n) a nên  1( ,  ))

a f

)()1

x a

Bài 11: Cho X , Y là hai không gian Banach, A:X Y là ánh xạ tuyến tính sao

Lấy dãy x n,Ax n   x,y Giả sử y Ax

Khi đó theo hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại *

Y

g sao cho:

0)(Axy 

Mặt khác, ta có:

0)(

lim))(

lim()lim(

g

Điều này mâu thuẫn

Vậy y Ax Suy ra đồ thị GrA đóng

Vì x n,Ax n   x,y X Y nên x n x 0, lúc đó giả thiết g(A(x n x))  0 hay

) (

Vậy y Ax hay A liên tục

II- TOÁN TỬ BỊ CHẶN – TOÁN TỬ NGƢỢC

x

0

)())(

()

(Ax)(t)(Ay)(t)

Vậy A là toán tử tuyến tính

Dễ thấy Ax là một hàm số liên tục trên đoạn [0;1], tức là AxC 0 ; 1

Với mọi xC 0 ; 1 , ta có:

 x s ds x

ds s x ds s x t Ax

VậyA bị chặn

Bài 14: Giả sử  n là một dãy số bị chặn Chứng minh rằng ánh xạ:

2 2

n

y x

n n n

1 2

1

1

2 2





Vậy A là toán tử tuyến tính bị chặn và A M

Nếu M  0 thì A 0 và A 0

Giả sử M  0 và   0 là một số cho trước bất kỳ

Khi đó, tồn tại n0 sao cho |n | M 

Bài 15: Cho toàn ánh tuyến tính A: X Y , X , Y là các không gian định chuẩn Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A có toán tử ngƣợc  1

A bị chặn là tồn tại số m 0 sao cho với mọi xX ta có: Ax m x

y

A 1  với mọi yY (1) Với mọi xX , đặt y  Ax, ta được x A1y Thay vào (1) ta có :

X

x , trong đó m là một hằng số dương

Nếu Ax  0 thì từ bất đẳng thức trên suy ra x 0 Vậy A là một đơn ánh

Do đó A là một song ánh tuyến tính và A có toán tử ngược A Y X

:

1

Với mọi yY , đặt x A1y, ta được y Ax Thay vào (2) ta được :

y A m

y  1

m y

A1  1 , với mọi yY

Vậy  1

A là một toán tử tuyến tính bị chặn

III- TOÁN TỬ COMPACT

Để chứng minh A compact ta chứng minh A (B) là tập compact tương đối với B là hình cầu đơn vị đóng hoặc sử dụng định lý A là toán tử liên tục hữu hạn chiều thì

Vì K liên tục đều trên    0 , 1  0 , 1 nên với  0, 0 sao cho xx0  thì

Mặt khác, tồn tại L 0 sao cho K(x,y) L với mọi (x,y)    0 , 1  0 , 1 Do vậy

L dt t f t x

)

Do đó A (B) là tập compact tương đối

Vậy A là toán tử compact

Bài 17: Chứng minh rằng nếu F là không gian Banach thì mọi ánh xạ đi từ E

T là ánh xạ hữu hạn chiều nên nó là ánh xạ compact

Hơn nữa: VT T n với nn0

Nhưng TT n VTT n nên T là compact

Bài 18: Cho  t,s K t,s là một hàm số liên tục trên hình vuông    0 , 1  0 , 1 Gọi A:C 0 , 1 C 0 , 1 xác định bởi công thức

      

1

0

,s x s ds t

K t

Ax , với mọi xC   0 , 1 ,t 0 , 1 Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính bị chặn

Giải

Trước hết ta chứng minh với mọi xC 0 , 1, Ax là một hàm số liên tục trên đoạn

 0 , 1

Thật vậy, cho   0 bất kỳ Vì hàm số  t,s K t,s liên tục trên tập compact

   0 , 1  0 , 1 nên nó bị chặn trên tập này: Tồn tại một số dương M sao cho:

 t,s M , t,s    0,1 0,1

K

Vì hàm số K liên tục trên tập compact    0 , 1  0 , 1 nên nó liên tục đều trên tập này

Do đó tồn tại một số dương  sao cho:

 0 , 1 ,

t Ax