TIEU LIAN - MON ON DINH CONG TRINH

Ổn định công trình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

ĐÁNH GIÁ KẾT THÚC HỌC PHẦN

Chuyên ngành: KT XDCT DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Khóa: K32 (9.2015-2017)

Môn học: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH Số tín chỉ: 2TC

Giảng viên giảng dạy: TS PHẠM MỸ Ngày thi: …… /… /2016 Học viên thực hiện: TRƯƠNG VĂN BẰNG

Lớp: Kỹ thuật xây dựng công trình DD&CN - K32- Trà vinh

BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

Câu 1 (5 điểm)

a) Các anh/chị hãy sử dụng phương pháp “sai phân hữu hạn” đê xac

đinh lưc tơi han trong côt 2 đâu khơp co tiêt diên va mômen quan tınh thay đôi theo quy luât bâc nhât va đông thơi chiu tai trong tâp trung

đăt tai đınh côt (xem Hình 1 để biết chi tiết) (4 điểm)

Hình 1.1: Sơ đồ làm việc của trụ 2 đầu khớp, chịu tải trọng tập trung

có tiết diện thay đổi

b) Bằng cách nào để anh/chị có được kết quả tiệp cận với lời giải chính xác, hãy xác định kết quả này (1 điểm)

BÀI LÀM

A Các bước thực hiện tính toán:

1 Thay phương trình vi phân của đường biến dạng (đường đàn hồi) ở

trạng thái biến dạng lệch bằng các phương trình sai phân

2 Giả thuyết chuyển vị tại một số điểm của hệ ở trạng thái biến dạng lệch

Sau đó, dùng các phương trình sai phân và các điều kiện biên để thiết lập hệ phương trình đại số với các ẩn là các chuyển vị

Do tính chất của dạng cân bằng phiếm định phân nhánh thành 2 dạng (dạng cân bằng ổn định và dạng cân bằng lệch lân cận so với dạng cân bằng ổn định), nên hệ phương trình đại số là thuần nhất

3 Lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức của hệ phương trình

đại số thuần nhất bằng không

4 Giải phương trình ổn định để tìm lực tới hạn

a Đối với các thanh, khi thay đường chuyển vị là đường cong bằng

đường gãy khúc với n khoảng chia z đều nhau dọc theo chiều dài trục thanh, ta có sai phân

1

y y y 

i

y tg



1 1

i i i

tg

z







1





Nên

2

2

z z

  

 

b Nếu đường vi phân đường biến dạng của hệ có dạng (trường hợp

thanh có liên kết khớp ở hai đầu)

2

2

d y

y



Trong đó P

EJ

  Thì tại mỗi điểm I, sau khi thay d y22

z

 bằng sai phân

2 2

y z



 và thay y bằng yi, ta được hệ phương trình sai phân:

2

2

2

0

i

y



Với i

I

P EJ

I

P

EJ

Nếu hệ được chia ra thành n khoảng, thì số ẩn yi nói chung bằng n+1 (y0, y1, y2, …, yn), còn số phương trình sai phân chỉ có (n-1) Do đó, để giải bài toán này, ta cần bổ sung thêm hai điều kiện biên Đây là phương pháp gần đúng, áp dụng hiệu quả cho hệ có tiết diện thay đổi theo quy luật phức tạp

Các bước giải bài toán cụ thể:

a) Xác định lực tới hạn bằng phương pháp “sai phân hữu hạn”

2I0

2I0

I0

z

b 2b

P

P

y y0

y1

y2

y4=y0 y3=y1

Hình 1.2

Phương trình vi phân của hệ

''

EJ

Z

M y







 

''

0 EJ

p

  

Đặt 2

EJ

i

i

p

0

i

y  y

2

2

y

i Z

d

y

Chuyển phương trình vi phân về hệ phương trình sai phân hữu hạn





Đặt i2  2i2

2

Xác lập hệ phương trình đại số

2

2

2







 

2

2







 

Chia thanh làm 4 đoạn với

4

l z

  (hình 1.2)

2

2

2

0

y y y

y



   



2I0

I0

z

P

b 2b

3b/2

P

y

y2

y1

y0

y4=y0

y3=y1

3b/2

Hình 1.3

Xác định momen quán tính tại các điểm y0, y1, y2 ta có:

+ Tại “0”:

3

0

2

ba

+ Tại “1”:

+ Tại “2”:

3

1

ba

j   J

Từ đó ta có thể suy ra nội dung sau:

1

3

4

2 EJ

p p



 



4 3 2



 

 Thế vào (1.1) ta có phương trình sai phân với điều kiện biên y0=0;

y1=y3

2

2

4

3







 



(1.2)

Từ phương trình (1.2) phương trình ổn định từ điều kiện biên y1 ≠ 0;

y2≠y3

0

4

0 3

y D

y





 

4

Gải phương trình ta có được các nghiệm sau:

2 0 2

2,15



 



 



Ta có nghiệm nhỏ nhất là  0Min  0,35

2

0

0

0, 35 16

i

Pl EI

0,35.16 5, 6

th

P

b) Để xác định được kết quả tiệm cận với lời giải chính xác ta dung phương pháp ngoại suy Richardson

Ta có:

2

e  c

2 2

1 2 2

2

L

N L

N

  







1 1

 



  

2

2

2 1

N





2 2 1 1

P



 Chia thanh làm 6 đoạn với

6

l z

  để đánh giá độ chính xác của bài toán

2I0

2I0

I0

z

b 2b

P

P

y

y2 y1 y0

y5=y1 y6=y0

y3 y4=y2

Hình 1.4

Phương trình vi phân của hệ

''

EJ

Z

M y







 

''

0 EJ

p

  

Đặt 2

EJ

i

i

p

 

2

2

y

i Z

d

y

2

2

y

Z

d

   





Chuyển phương trình vi phân về hệ phương trình sai phân hữu hạn





Đặt i2  2i2

Xác lập hệ phương trình đại số

2

2

2

2











2

2

2













Chia thanh làm 6 đoạn với

6

l z

  (hình 2)

2I0

I0

z

P

b 2b

5b/3 4b/3

4b/3 5b/3

P

y

y2 y1 y0

y5=y1 y6=y0

y3 y4=y2

Hình 1.5

Xác định momen quán tính tại các điểm 0,1,2,3 ta có:

+ Tại “0”:

3

0

2

ba

+ Tại “1”:

+ Tại “2”:

+ Tại “3”:

3

1

ba

j   J

Từ đó ta có thể suy ra nội dung sau:

1

2

3

6

3

2 EJ

p p p

















6 5 3 2 2











Thế vào (1.3) ta có

Phương trình sai phân với điều kiện biên y0=0; y1=y5;y2 = y4

2

0

2

2

6

0 2

5 3

0 2

2







    











Từ phương trình (1.4)

Phương trình ổn định từ điều kiện biên y1 ≠ 0; y2 ≠ y3 ≠ 0

2 0

1

0

3 2

0

6

5

0 3

2

y

y







 



 



2 0 2

2 0

0

3

6

0

5













           

5  5  5  5     5  

              

6 4 2

Gải phương trình ta có được các nghiệm sau:

2 0 2

2 0

2, 47

1, 36

Min





 



 



2

0

0

0,16 36

i

Pl EI

0,16.36 5, 76

th

P

So sánh giữa hai cách tính

- Phân cột làm 4 đoạn P th 0,35.16EI20 5, 6EI20

- Phân cột làm 6 đoạn P th 0,16.36EI20 5, 76EI20

- Sai lệch giữa 2 cách tính là 0,97%

Câu 2 (5 điểm)

a) Xác định lực tới hạn trong côt có liên kết một đầu ngàm và một đầu ngàm trượt, chiu môt lưc tâp trung P đăt tai đầu ngàm trượt (xem Hình 2.1 để biêt chi tiêt), với các yêu cầu cụ thể sau (4 điểm):

− Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toán

− Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát của bài toán

− Trình bày cách xác định góc xoay, mô men và lực cắt trong cột

− Áp dụng điều kiện biên và tìm lực tới hạn trong cột

Hình 2.1: Sơ đô lam viêc cua côt AB liên kết ngàm-ngàm trượt chiu

lưc tâp trung đăt đầu ngàm trượt

b) Hãy bình luận kết quả thu được (1 điểm)

BÀI LÀM a) Xác định lực tới hạn trong côt có liên kết một đầu ngàm và một đầu ngàm

trượt, chiu môt lưc tâp trung P đăt tai đầu ngàm trượt

− Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toán

− Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát của bài toán

− Trình bày cách xác định góc xoay, mô men và lực cắt trong cột

− Áp dụng điều kiện biên và tìm lực tới hạn trong cột

Nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ Giả sử ở trạng thái biến dạng, dầu trên của thanh có chuyển vị thẳng theo phuong trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng thời tại đầu trên của thanh cũng xuất hiện mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o) vuông góc với vị trí ban dầu của thanh Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của thanh ở trạng thái biến dạng:

Hình 2.2 Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh

M(z) = M(o) + Q(o)z + P [y - y(o)]

Từ phương trình vi phân của đuờng đàn hồi: y'' M

EJ

 

Ta có: '' M(0) Q(0) z Py y(0)

y

EJ

 

Hay: y'' 2y M(0) Q(0) z Py(0)

EJ

EJ

  Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

2

(0) Q(0) z P (0)

EJ



Trong đó: A, B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện biên ở đầu trái khi z = 0 Muốn vậy truớc tiên ta hãy lấy đạo hàm của y theo z ta có:

'

2

Q(0)

EJ



Từ các phương trình trên ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái khi z =

0 như sau:



Suy ra: A y'(0) Q3(0) ;B M2(0)

Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào y(z) ta tìm được phương trình của đường đàn hồi

( ) (0) y sin M (1 cos ) Q ( sin ) (*)

Trong phương trình (*) các đại lượng y(o), y’(o), M(o) và Q(o) được gọi

là các thông số ban dầu

Ðối với mỗi loại thanh có liên kết khác nhau, ta có thể xác định các thông số chưa biết từ các điều kiện biên ở đầu phải

Từ phương trình (*), ta tìm được phương trình góc xoay và từ đó suy ra phương trình mô men uốn trong thanh:

'

2

Q(0)



Ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ đồ thanh không biến dạng:

( ) ( ) dM z dy (0)

Áp điều kiện biên ta được:

(0) 0

y

y

M

Q











và

'( ) 0

y l

y l





 







Hệ có cân bằng lệch tức phải tồn tại M(0) và Q*(0)

Phương trình ổn định:

1 2cosl cos l sin  l lsinl 0

2(1 cosl) lsinl 0

2

l

l

sin 0

2 2

2

10

th

th th

l l

l

tg



















2 2

(0, 5 )

th

EJ p

l





b) Ta có kết quả thu được từ bài toán là:

2 2

th

EJ p

l





Ta suy ra bản chất của bài toán như sau:

Điều kiện làm việc của bài toán nếu muốn cho P đạt được giá trị tới hạn, tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân bằng mới, khác với trạng thái cân bằng ban đầu

Từ đó ta rút ra được trong quá trình làm việc, chiều dài tính toán của thanh phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở hai đầu thanh thông qua hệ số µ

0

z th

M

A p



