Giáo trình ổn định công trình P2

Giải phương trình ổn định: Đặt v=al; a - thì phương trình ổn định trên có đạng: EJọ tô cotgv = vig0 Để giải phương trình siêu việt này, ta dùng phương pháp đỗ thị, lần lượt vẽ các B=co

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lê Viết Giảng

(0

y(z)=y(0)+2O?

y'(z) = y'(0)cosaz

3 Cac diéu kién bién:

Khi z = /:

SIHŒZ

y)=0

yt)=ø Gọi ø - hệ số đàn hồi của liên kết (tức là góc xoay của ngàm đàn hồi do mômen bằng đơn vị gây ra), thì trong trường hợp này, vì mômen tại ngàm đàn hồi bằng -Py(0)

vy =—-Py(0)o (chiều mômen ngược chiều chuyển vị)

Dựa vào điều kiện biên, ta lập được hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất

để xác định y(0) va y'(0):

Ta có, pa) =0 | oj+ M2 yo)=0

y1)=ø Po.y(0)+(cosal)y'(0)=0

4 Từ điểu kiện tổn tại trạng thái cân bằng lệch so với trạng thái cân bằng ban đầu, tức

y(0) # 0, y'{0) # 0, ta được phương trình ổn định:

sinal

Po cos al

D(a) =cosal -sinal? 2 =0

a

vì a? === P =a EJ => D(a) =cosal -(sinal ).aEJo =0

1

5 Giải phương trình ổn định:

Đặt v=al; a - thì phương trình ổn định trên có đạng:

EJọ tô cotgv = vig0

Để giải phương trình siêu việt này, ta dùng phương pháp đỗ thị, lần lượt vẽ các

B=cotgv

tp = vig

chúng Hoành độ của những giao điểm này xác định các nghiệm cẩn tìm Nghiệm

có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho lực tới hạn có giá trị nhỏ nhất

theo biến số v như trên (Hình 3-3b) để tìm giao điểm của

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lé Viết Giáng

` Vv ` , " ae 5

Sau khi tìm được vy, suy ra @, = 7 tử đó ta tính được lực tới hạn tương ứng

Từ (im 3-3b), cho thấy:

2

[Zein min a ES Vibmin S 2 , do đó Vinmin = & ØgminÏ = l Ey <2 2 => Fymnin “TP”

Tức lực tới hạn (nhỏ nhất) của thanh một đầu tự do, một đầu ngàm đàn hồi nhỏ hơn so với lực tới hạn (nhỏ nhất) của thanh có liên kết một đầu tự do, một đầu ngàm

cứng

Ví dụ 3-1: Xác định lực tới hạn cho thanh vẽ trên hình 3-4a Biết các thanh có độ cling EJ=const

yO)

ac y CG -

2

z3

m™ 5

Hinh 3-4 Bài giải : Ta xem thanh AC như thanh có liên kết một đầu tự do, một đầu ngàm

đàn hổi Sơ đỗ tính hệ như trên (Hình 3-4b)

Gọi ¿ là hệ số đàn hồi của ngàm đàn hồi A, @ là góc xoay của mặt cắt A ctia dim AB do mémen don vi Mx =1 dit tai A gây ra (Hình 3-5)

Xác định » theo phudng phap nhan biéu dé Vé - rê - sa- ghin:

@= | uM, -tow-ti (2) = 24

Mk= 1

er 7 Br

[` — 9 vt

———— @

L ‡2I TL kếu |

Hình 3-5

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS T8 Lê Viết Giảng

Theo công thức (3-10), ta có :

l 1 3EJ =15

algal =——= =—— >" =1,

EJo BJ 2

V

Giải theo đồ thị hay phương pháp thử dẫn, ta được:

Vz, =1,01 > = b= j-4>P =F] =1,02—

i Cun) VEF `)" P P

§4 ON DINH CUA THANH THANG CHIU LUC DAT BAT KY

DOC THEO CHIEU DAI THANH

A Phương pháp chính xác:

Để tính ổn định của thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều đài thanh,

ta chia thanh ra thành từng đoạn, trong đó chuyển vị và nội lực là liên tục để lần lượt

Sau đó, dựa vào các điểu kiện biên ở các đầu thanh và các điều kiện nối tiếp

giữa các đoạn thanh, ta thiết lập phương trình ổn định, tức là thiết lập điều kiện tổn

tại dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng lệch của thanh khi mắt ổn định

Giả sử, xét thanh có một đầu tự do, một đầu ngàm, chịu tác dụng của một số

lực tập trung (Hình 3-6)

Xét thanh chịu tác dụng của hai lực: lực P; đặt ở đỉnh, lực P; đặt ở vị trí bất kỳ

trong nhịp (Hình 3-6) Cac luc P,, P; luôn luôn một quan hệ tỷ lệ nhất định Trong trưởng hợp này, ta chia thanh làm 2 đoạn:

0

y B

Pi z7| =

{

Cc

4440 777/7 77777

Hình 3-6

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS La Viết Giảng

a Đoạn thứ nhất (BC): Lấy gốc tọa độ tại B (0 <z <!,)

Các thông số ban đầu tại gốc B:

y(0) #0 y'(0) #0

M(0)=0

Q*(0)=0

Các phương trình chuyển vị và nội lực (3 - 5) + (3 - 8):

y,(z) = y(0) + ấy Sinơ,Z

1

M,(z)=a,EJy'(0)sina,z

QO} (2) =M',(z)- Py) (z)=0

b Đoạn thứ hai (CA): Để viết phương trình cho đoạn thứ 2 dé dang, ta chon lại gốc tọa

độ và lấy điểm đặt lực P; làm gốc Lúc này, z biến thiên trong khoảng 0 <z <j;

Đặt a? = Ath

Theo diéu kiện liên tục giữa hai đoạn, ta xác định các thông số ban đầu của đoạn thứ

hai như sau:

y(9) y;(0) = y(ñ) =y(0)+

y;(0) =y;(1) =y'(0)cos al,

M,(0) =M,() =R> sina

1

sina,l,

@;(0) =Œ(1) =0 Theo (3-5) và (3-6), ta viết các phương trình chuyến vị cho đoạn thứ hai:

y,(z)= Lo +z@/

a,

sina,z P y(0)

y',(z) = y'(0)cos(a,l, )cos a,z— a, FY) te )sina,z

Ath, @

sin aa + y'(0)cos a), sinơ,l (1— cos œ;z )

Theo điều kiện biên ở ngàm A:

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lé Viết Giảng

po =>

y;(,)=0

y(0 ee 2 sinad + y'(0)cos al, jSingh, _ th rl 1 YO) quan 1—cosø,„l, Vl 22 )=0

Fy)

B+Ph, a

Để thiết lập điều kiện tổn tại y(0), y'(0), ta cho định thức các hệ số bằng không - đó là

phương trình ổn định Sau khi triển khai định thức ta được phương trình ổn định '

y'(0)cos(a,l, )cos al, -— a, —sin(al, )sina,l, =0

cos(a,l, )cos a,l, [ h “2zư( al, ¬ =0 (3-11)

ptt &%

Phương trình ổn định (3-11) thỏa mãn với một trong 3 trường hợp sau:

Lúc này hệ sẽ mất ổn định theo dạng vẽ trên hình 3-6a

2 cos ø;l, =0 > a,l, == E7 =2 ¬r C(h†+» “TA (3-12b)

Điều đó chứng tỏ, khi mất ổn định, thanh AC có đường biến đạng giống như thanh

có một đầu ngàm, một đầu tự do, tại điểm C có điểm uốn, do đó, lực P¡ sẽ đi qua điểm C

3 cosa,l,=0> al, = 2277 2i Tự 2 =>h„= TA (3-12c)

Lúc này, hệ mất ổn định theo đạng hình 3-óc, đoạn thanh CB có đường biến đạng giống như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự đo, tiếp tuyến tại C sẽ thẳng đứng

0

Xác định lực tới hạn cho thanh vẽ trên hình 3-7; P; zl a

1 Theo phương trình (3-12a)

Hinh 3-7

CIAO TRINH ON DINH CONG TRINH PGS TS Lê Viết Giảng

y 185%" IVS = "NEV Es

Sau khi giải phương trình này, ta được v =1,23, do dd:

37 ie =L5I3Z”

P

2 Theo phương trình (3-12b):

2

cosa,l, =0= a), == > 204-25) LỄ =Z—p =2!

PF, =1,2

3 Theo phương trình (3-12c):

2

cosa,l,=0> al, =Z= =2; fe =7=>p, =2™ Ey

Ta thấy lực tới hạn xác định theo (3-12b) và (3-12c) có giá trị lớn hơn lực tới hạn xác định theo (3-12a)

Vay Tụ = I513-

Đối với trường hợp thanh chịu nhiều lực tác dụng, nguyên tắc tính cũng tương

tự, song bài toán phức tạp nhiều Trong thực tế, ta nên dùng phương pháp gần đúng để tính

B C , ] z I a i °

Giáo sư A N Kôrôbốp để ra phương pháp tính gần đúng để xác định lực tới hạn cho thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do, chịu tác dụng của nhiều lực nén dọc theo trục thanh

Xét hai trưởng hợp thanh chịu lực (Hình 3-8a, b)

Pin

Pzth

P1

2

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lê Viết Giáng

Theo công thức Euler, lực tới hạn trong trường hợp thứ nhất (Hình 3-8a) là:

2

ZˆEJ

Tạ =>

Trong trường hợp thứ hai (Hình 3-8b) là:

2

a EJ

Pan = _

Từ đó suy ra quan hệ giữa P,, va Pi:

2 2

na ES z

Tạ = Po hạnG)

2

Trong đó: (2) = =

Vậy, nếu xem hai trường hợp trên tương đương với nhau, thì có thể nói rằng: P„ đặt đầu thanh nhỏ hơn P„„ đặt ở khoảng z là (2) lần Do đó, nếu lực đặt ở độ cao z thì ta có thể chuyển lực đó lên đầu thanh, đồng thời giảm trị số lực đó xuống uÒ\(2) lần Lực chuyển lên đầu thanh gọi là lực quy ước

Giả sử có n lực P¡ đặt cách ngàm ở độ cao z, (Hình 3-9), theo quy tắc chuyển lực nói trên, ta có lực quy ước bằng:

P= hu()+ P,u(,)+ P,u(2;) + + P,u(2,) + P,u(2,) = >.huG)

Nếu tất cả các lực P; biểu thị theo một thông số tới hạn ,,, thi ta cd thé viét

Pi, = Py = Spat An = na

i=l

Suy ra, công thức xác định thông số tới hạn X„ của hệ lực P; là:

2 EJ

P\ Z Q

Xác định lực tới hạn cho thanh chiu nén da xét 6 vi du

B `e « Al: yy

1

z)=1, u(z,)=-—

CIAO TRINH ON DINH CONG TRINH P08 T8 Lê Viết Giảng

Thông số tới hạn %„ của hệ lực, theo (3-13), ta có:

th —— ~ 2

ar] R +3P i 1h

4

: 2

Vay P,=PA, -Z 1 - 4122

EJ

Kết quả chính xác, theo ví dụ 3-2, P, =1,5 Bộ

Vậy sai số: È212—}*Ì1oqs 6s gœ

1513

§5 ON DINH CUA THANH THANG CHIU TAI TRONG PHAN BO

THEO TRUC THANH

A Cách tính chính xác:

Cách tính chính xác dựa trên cơ sở phương pháp tĩnh học:

- _ Thiết lập phương trình vi phân ở trạng thái biến dạng:

- _ Giải phương trình vi phân;

- _ Từ điều kiện tổn tại trạng thái cân bằng biến dạng khác dạng ban đầu, suy

Dưới day, ta sé tìm hiểu nội dung cach tinh qua ví du

Giả sử, xét thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do, chịu tác dụng của tải trong ban thân biểu thị dưới dạng tải trọng phân bố đều với cường độ là q (Hình 3-1 1a)

<<

| » Q(z)

Hinh 3-11

1 Phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng:

EJy" =—-Q(2) Trong đó: Q(2) - lực cắt tại mặt cắt bất kỳ cách gốc là z, theo hình 3-1 lb, ta có:

O(z)=qzsinp~qzy, (Sinpx@=y)

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lé Viét Gidng

3

Dat Dự, ễ=ự; a a

z =l dz = lái

>‡{dìy du du dìy d du du

77 = 73 TT) = 42 7,2

dz’ dz Idt dz dzdz TI dt Thì phương trình (3-14) có dạng:

2

2 Nghiệm của (3-15) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi vô hạn, ta có:

1 = Cụ +Cự +C¿J° +C; + + Cứ! + = 3 Cự

œ 2 œ

= = ict ; til — Vcr?

i=0 i=0

Thay (3-16) vao (3-15), ta dude:

3 i-DC#"?+a?S Cự"! =0

Biến đổi:

A=>i-DC#"?”=2C¿+3 i—=0C#””

¡=k+2

Dat: k=i-2>4i-1=k+4+1

i=3>k=1

=A=2C;+> (k+2)(k +DC,.„

k=t

Sau khi biến đổi chỉ số chạy, ta có:

2C +) (kK +2\k+DC,,.¢° +a’>°C,_,t° =0

k=1

Phương trình này cân thỏa mãn với giá trị bất kỳ của z, tức là với giá trị bất kỳ của t, nên các hệ số của đa thức này buộc phải đồng nhất bằng không, tức là:

2C, =0

(k+2)(k +1)C,,, +a°C,_, =0

a’C,.,

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lé Viết Giảng

Từ (3-17) với chú ý C, =0, ta có:

a, C,=0, C,=0, C,=0 tic la: C,,,, =0, vdi k =0, 1, 2, 3,

b, Các hệ số còn lại quan hệ với nhau như sau:

Cy = “hse

Ciing co thé bién déi theo Cy, C)

2

a

T729

2

a

C,= —~C,;

© 65° 23.5.6 °

2 4

C,= -“¢, =——C:

7.6 3.4.6.7

Ta được:

3.4 3.4.6.7 3.4.6.7.9.10

3 Các điều kiện biên:

a) Khi z =0, tức t= 0; M4 =—EJy"=0, suy ra: —-0 b) Khi z =l, tức ? = l; y'=0, suy ra: = 0

Lấy đạo hàm (3-18) theo t:

Saco + 5 - _ a 8 + ) +

+Œ(I——+-——-———? + )

Từ điều kiện a) / = 0, ae 0, rút ra: C,= 0

Từ điều kiện b) / = 1, = 0, rút ra:

23 2.3.5.6 2.3.5.6.8.9

Sau khi giải phương trình (3-19), ta tìm được nghiệm nhỏ nhất của a là:

a=2,799

Theo công thức (3-14), suy ra:

GIÁO TRÌNH ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS TS Lê Viết Giảng

(4Ù = a’ "xã = 7,84

B Cách tính gần đúng: (tham khảo sách)

(3-20)

§6 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẮNG CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI

1 Thanh có độ cứng thay đổi theo hình bậc thang:

Xét thanh gồm 2 đoạn có độ cứng thay đổi (Hình 3-12a)

Gọi E]; - độ cứng đoạn trên, Gọi EJ; - độ cứng đoạn dưới;

a) Phương trình vi phân của đường đàn hổi Ejy"=_—A⁄ viết cho các đoạn:

EJ,y",+ Py, =P6 b) Nghiệm của hai phương trình vi phân có dạng:

y, = A, sina,z + B,cosa,z +06;

J1

y, = A, SiNA,z + B,cosa,z +6;

Trongđó: @? -/, q?a=

c) Các điều kiện biên:

ten z=0, y,=0

77777///7//7Z 41407

Diéu kién lién tuc:

Khi z=Ì,, yì=Y;

‘en z=1L, y=),

Khi z=0,y', =0>4,=0

Khi z=1, y, =6=>.4,sinal + Bosal =0

Hinh 3-12

Khi z=1,, y', =y', > A.a,cosut, — Ba, sina, + B,a,cosa,l, =0 Khi z=1,, y, = y, > A sind], + Bosal, — B,cosa,l, =0

c) Diéu kién tổn tại trạng thái cân bằng lệch (tức tổn tại các hằng số tích phân), ta được

phương trình ổn định:

D(a)=|cosa,! —sinal, = sin œ;l,|=0

a, sina, cosal, —cosơ¿l,

PGS TS Lé Viét Giảng

CIAO TRINH ON DINH CONG TRINH

Sau khi triển khai và biến đổi, ta được

a,

L,

Phương trình (3-21) chỉ có thể giải quyết được khi đã biết các tỷ số a T8

2 1

2 TI I - iG ñ tl đổi tl ] St lu tl iv :

Giả sủ, xét thanh chịu nén có một đầu ngàm, một đầu tự do (Hình 3-13a)

Giả sử mômen quán tính J(z) của mặt cắt thay đổi tỷ lệ với khoảng cách tính từ

điểm O nào đó (Hình 3-13a) theo quy luật lũy thừa

(3-22)

J@) = J)"

a Trong đó: ]; - mômen quán tính ở đầu trên của thanh

n - số mũ, phụ thuộc vào hình đạng cụ thé của thanh

* Trường hợp thanh có mặt cắt đặc (Hình 3-13b), nếu khi mất ổn định, mặt cắt

quay xung quanh trục y

x

x

¬ J fi \ b@ |” sob —-s y | J 2 =] al y

Hình 3-13

J@)=“C7”— mà ð)=b(}

J(z)=+7—(F) = (-) =O uA Vậy, trong trường hợp này, ø = 1

* Trường hợp thanh có mặt cắt rỗng (Hình 3-13c)

1e=4r| 2), nhung h(z) = h,—, nén:

a

CIAO TRINH ON ĐỊNH CÔNG TRÌNH PGS T8 Lê Viết Giảng

Zz 2

2 a a

Vậy, trong trường hợp này, n = 2

Để giải bài toán này ta chọn hệ trục tọa độ như trên hình 3-14

Phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng:

Bye 22 = a dz’

Phương trình vi phân này có hệ số thay đổi

1) Trường hợp ø = 2, ta có thể tìm nghiệm của (3-24) dưới dạng hàm sơ cấp;

dz z dz dtd z dị

dy idy 1wW

Sau khi thay các số liệu này vào (3-24)

và cho ø = 2, ta sẽ được phương trình vi phân thưởng

Hình 3-14

#_ ~1>0: đặc trưng tuần hoàn của hệ)

Véi chi y: z=ae’ > e =—>t=InC)

Vậy nghiệm của phương trình (3 - 25):

v= Ve! [Asin yt + Boos yt]

2) Diéu kién bién: