Bài giảng ổn định công trình chương 3 ổn định của dầm chịu uốn ngang phẳng

Các giả thiết:Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi khi mất ổn định các tiết diện của dầm vẫn không thay đổi hình dạng bản bụng của dầm không bị vênh Dầm có tiết diện hẹp, chịu uốn

Trang 1

Chương 3

ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN

NGANG PHẲNG

Trang 2

Các giả thiết:

Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi

khi mất ổn định các tiết diện của dầm vẫn không thay đổi hình dạng (bản bụng của dầm không bị vênh)

Dầm có tiết diện hẹp, chịu uốn trong mặt phẳng yOz , có

độ cứng EJx và EJy chênh lệch nhiều  khi mất ổn định dầm bị uốn trong hai mặt phẳng xOz và yOz đồng thời còn bị xoắn trong mặt phẳng xOy

ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Trang 3

3.1 Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự do trên hai gối tựa

z 1

m

m L

z

M M

trở không cho tiết diện xoay trong mặt phẳng xOy

• Qui ước chọn chiều dương của các moment uốn và xoắn như trên H 3.1d

• Khi M < Mth  dầm chỉ bị uốn trong mặt phẳng yOz

• Khi M = Mth  dầm bị mất ổn định và bị cong ra khỏi mặt phẳng uốn ban đầu yOz  uốn trong mặt phẳng xOz và hiện tượng xoắn trong mặt phẳng xOy

v

y

u

Trang 4

Các phương trình vi phân khi uốn và khi xoắn tương ứng có dạng: 3.1 Ổn định của dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn thuần túy

x

xEJ

M dz





(3.1)

(3.2)

(3.3)

Trong đó: EJx, EJy - độ cứng khi uốn của dầm đối với các

trục x và y

GJz – độ cứng khi xoắn của dầm

Trang 5

) 63 0

J z  

Xác định moment Mx 1 , My 1 , Mz 1  chiếu vectơ momen M lên các trục x1, y1, z1

• Từ Hình 3.1b và 3.1c ta được:

M x1 = M cosθ ≈ Mθ ≈ M M y1 = M sθ ≈ Minθ ≈ Mθθ ≈ Mθ M z1 = M sθ ≈ Minθ ≈ Mθγ ≈ M du dz

Thay các giá trị này vào các Pt (3.1), (3.2), (3.3) ta được:

x EJ

M dz

v

d



2 2

y

EJ

M dz

dz

du GJ

M dz

(3.5)(3.6)

Trang 6

Hai phương trình (3.5) và (3.6) là những phương trình chỉ xuất hiện khi mất ổn định

Lấy đạo hàm Pt (3.6) rồi thay giá trị của d 2 u/dx 2 từ Pt (3.5) ta được phương trình vi phân theo chuyển vị θ như sau:

M

)

Điều kiện biên: tại z = 0 và z = L, θ = 0,  B = 0 và Asinkz = 0.

• Nếu A = 0 thì θ = 0, lúc này dầm không mất bị mất ổn định

• Dầm mất ổn định thì A ≠ 0  sθ ≈ Minθ ≈ Mθ(kL)= 0  kL = π, 2 π, 3 π ….

Trang 7

 Momen uốn tới hạn nhỏ nhất tương ứng với k = π

z y

L

• Công thức cho thấy M th không phụ thuộc độ cứng EJx

• Kết luận này đúng với giả thiết độ võng v nhỏ và giả thiết này chỉ thích hợp

trong trường hợp tiết diện hẹp, tức là tỉ số b/h nhỏ

• Nếu tỉ số b/h lớn thì ảnh hưởng của sự uốn trong mặt phẳng yOz

sẽ đáng kể và không thể bỏ qua được

Trang 8

M  2 

• Khỏang giữa hai điểm uốn với chiều dài L/2 dầm làm việc giống như trường hợp

dầm tựa đơn có chiều dài bằng L/2

Hình 3.2

 Momen tới hạn cho bởi:

(3.10)

Trang 9

3.2 Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm

3.1.2 Dầm có hai đầu tựa đơn

M

• Khi P = P th  thanh bị mất ổn định  xuất hiện hiện tượng uốn trong mặt phẳng xOz và hiện tượng xoắn quanh trục của thanh

M z1 

(3.11)(3.12)(3.13)

• Thay các giá trị này vào các Pt

(3.2)

và (3.3)  hai phương trình vi phân để xác định lực tới hạn

v

z1

Pe

γ

M x1

M z1

Trang 10

y

EJ

Pu

M dz

• Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn

dz

du GJ

M dz

M

z





Trang 11

• Thay giá trị của θ từ Pt (3.16) vào Pt (3.14) ta được:

u” + ku = 0

z y

z GJ EJ

PGJ M

• Từ các điều kiện biên: khi z = 0, u = 0,  B = 0

Khi z = l, u = 0,  A sinkL = 0

• Điều kiện để hệ mất ổn định là A ≠ 0  sinkL = 0,  kL = π, 2 π, 3 π …

• Thay kL = π vào Pt (3.17)  g iá trị tới hạn nhỏ nhất của lực nén P th và M th

z

y z

th

L

EJ GJ

Trang 12

• Lực tới hạn : Thay M th = P th e vào công thức (3.20) ta được:

z y z

y th

L

GJ GJ P e

2 2

th EJ GJ L

Trang 13

3.3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng

3.3.1 Dầm đặt trên hai gối tựa

Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp

u z

γM

Mx1 ≈ Mx = Pz/2

My1 ≈ Mxθ =½PzθPzθ

)

( 2 2

)

( 2

dz

du z

P u

P dz

du M

Thay các đại lượng trên vào Pt.(3.2) và (3.3)

 các phương trình vi phân để xác định lực tới hạn

Trang 14

• Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn



z

P dz

u d

P dz

du z

P dz

d

Lấy đạo hàm Pt.(3.23) theo z ta được

(3.22)(3.23)

2

2 2

2

2 dz

u d z

P dz

d

(3.25)

z

y GJ EJ

P k

4

2 2



Trang 15

• Viết nghiệm của Pt.(3.25) dưới dạng chuỗi vô hạn:

i i

iz c







0

Thay biểu thức (3.26) và giá trị đạo hàm bậc hai của nó theo z vào Pt.(3.25)

0 )

1

(

0

2 2 2

i i

i

c i

.7.4.34

.3

1

0 k z k z k z c



13.12.9.8.5.49

.8.5.45

.4

Trang 16

• Các điều kiện biên: Khi z = 0; θ = 0,  co= 0

5 4 4

c dz

d

Cho z = L/2 ta được:

0 2

12 9 8 5 4 2

8 5 4 2

4 1 (

12 6

8 4

4 2

th EJ GJ

L P L

k a

25664

4 4

Trang 17

• Nghiệm nhỏ nhất của Pt (3.30) là a = 1,126

• Từ Pt (3.31)  lực tới hạn nhỏ nhất:

z y

Phản lực momen xoắn do lực P gây ra : ½P(δ + d θ*)δ + d θ*))

z y

Trang 18

Điểm đặt lực ở phía dưới trọng tâm

d

Bảng 3.1

z

y GJ

EJ L

d

Trang 19

Trường hợp lực P đặt tại tiết diện cách gối tựa một khỏang là Z

Tương tự ta có kết quả:

z y

(3.34)

Trang 20

Dầm chịu tải trọng phân bố đều với cường độ là q trên tòan chiều dài nhịp

• Công thức xác định lực tới hạn có dạng:

z y

L

qL ) 282. 3

Trang 21

3.3.2 Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do

y

m z

L m

δ

x

z u

x

θc)

Hình 3.6

 Lực tập trung P đặt tại trọng tâm của tiết diện ở đầu tự do

• Khi bị mất ổn định dầm bị lệch ra khỏi mặt phẳng uốn yOz

• Momen uốn và xoắn tại tiết diện bất kỳ m – m:

Mx1 = Mx = - Pz

My1 = Mx θ = - Pz θ

) (

1 P u Pz P u

dz

du M

Mz  x         

Thay các đại lượng này vào Pt (3.2) và (3.3) phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn

Trang 22

• Phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn



Pz dx

u d

EJy 2 

2

) ( u P dz

du Pz

du Pz dz

d

Trong đó:

z y

th

GJ EJ

P k

2 2

(3.36)

Nghiệm của phương trình này cũng có dạng tương tự như Pt (3.29)

Trang 23

• Các điều kiện biên:

• Khi z = 0; u = δ, nên theo Pt.(3.37) 0

12 6 8

4 4

thGJ EJ

L P L

k a

12 12

4 2 4

2



Trang 24

Nghiệm nhỏ nhất ứng với a = 1.342  lực tới hạn

z y

Trang 25

Điểm đặt lực ở phía trên trọng tâm

y th

GJ

EJ L

a GJ

EJ L

Trang 26

 Trường hợp dầm chịu tải trọng phân bố đều q trên tòan chiều dài

z y

q  o

z y

Trang 27

 Trường hợp chiều cao dầm thay đổi theo luật :

Trong đó hệ số m phụ thuộc dạng tải trọng và trị số của n.

Trị số của m có thể tìm được theo Bảng 3.4

m Tải trọng phân bố đều 12.85 12.05 11.24 10.43 9.62

Tải trọng tập trung đặt ở đầu tự

do 4.013 3.614 3.214 2.811 2.405Bảng 3.4

(3.43)(3.44)

Trang 28

3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I

x a)

b)

d)

z L

MzQ

y

x1

h

θXoắn tự do

Xoắn kiềm chế

khi xoắn kiềm chế, biến dạng xoắn có gây ra biến dạng uốn phụ kèm theo

Trang 29

• Khi dầm chữ I bị xoắn kiềm chế momen xoắn ngọai lực cân bằng với hai momen:

M1  z 

3 3

3

1 3

H và tb – chiều cao và bề dày của bản bụng

• Momen M2 do lực cắt trong các bản đế Lực cắt này phát sinh do các bản đế

Trang 30

• Moment quán tính đối với trục y của một bản đế :

3

*

2 dz

d h EJ dz

u d EJ

Q   y   y 

3

3 2

* 2

2 dz

d h EJ Qh

M    y 

• Hai lực này tạo thành ngẫu lực M 2

3

3 2

* 1

2 dz

d h EJ dz

d GJ

Trang 31

3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn thuần túy:

• Momen uốn và momen xoắn trong dầm chịu uốn thuần túy bằng:

M x1 = M, M y1 = Mθ,

dz

du M

Mz1 

Thay các đại lượng này vào Pt (3.2) và (3.48)



M dz

d

h EJ dz

Đạo hàm Pt (3.50) theo z rồi khử u trong hai phương trình trên ta

được phương trình vi phân cấp 4:

(3.50)

(3.51)

Trang 32

0 1

1

4 2

2 2 4

d a dz

EJ h a

2

* 2



2

* 4

y y

M

h EJ

EJ

t 

(3.52)(3.53)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3.59) có dạng:

θ = C1sθ ≈ Minθ ≈ Mθ mz + C2cosθ ≈ Mmz + C3 e nθ ≈ Mθz +C4 e -nθ ≈ Mθz,

(3.54)

4 4 2

14

12

1

t a a

m    

Trong đó:

4 4 2

14

12

1

t a a

nθ ≈ Mθ   

(3.55)(3.56)

Trang 33

• Nếu giả thiết rằng đầu dầm xoay được tự do quanh các trục chính x, y nhưng không xoay quanh trục z

Bốn điều kiện biên để xác định bốn hằng số tích phân

1 Khi z = 0 thì θ = 0 và momen uốn trong bản đế bằng không.

u” = 0,  theo Pt.(3.47) ta có u” = ½ h θ” = 0

Từ hai điều kiện đầu ta xác định được C2 = 0, C3 = - C4,

Nghiệm của Pt (3.55) có thể viết dưới dạng:

Trang 34

θ = C 1 sθ ≈ Minθ ≈ Mθ mz + 2C 3 sθ ≈ Mhnθ ≈ Mθz,

Từ hai điều kiện cuối ta thiết lập được hai phương trình thuần nhất:

2 2

4

12

1

t a

a



(3.58)

Trang 35

Thay giá trị của a và t từ Pt (3.60) và (3.61) vào phương trình trên ta được

công thức xác định momen tới hạn

2

2 2

1

L

a GJ

EJ L

Thừa số này kể đến ảnh hưởng của hiện tượng uốn phụ trong các bản đế

z y

L

a

K  

Trong đó:

Trang 36

Giá trị của K phụ thuộc tỉ số L/a và tìm được theo bảng 3.5

>100  dùng công thức (3.9)

Trang 37

3.4.2 Dầm chữ I chịu uốn ngang phẳng

a) Dầm đặt tự do trên hai gối tựa chịu lực tập trung đặt tại giữa nhịp

• Momen uốn và xoắn tại tiết diện bất kỳ m – m có giá trị:

dz

du z

u d

P dz

d h EJ

GJz  y     

2 2

3 2

*

z y

Trang 38

b) Dầm đặt tự do trên hai gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên tòan nhịp

3.4.2 Dầm chữ I chịu uốn ngang phẳng

z y

c) Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do chịu tải trọng tập trung đặt tại

trọng tâm tiết diện

z y

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	493 KB