HSG toan 8 huyện thanh chương

Câu 4: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD AB//CD.. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.. Chứng minh BD > AC.. ĐỀ CHÍNH THỨC.

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2011x2 2010x2011

b) Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3x3 xy3.

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3 axb chia cho x1 dư 7; chia cho x 2dư

4

Câu 2:

a) Tính giá trị biểu thức:

A= x2  y2 52x 4y   (x y 1)2 2xy với x22011;y16503

b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B x2 2x2 2011

x

 

 với x> 0.

Câu 3:

Chứng minh rằng

a)

2000 2011

11 2011 2000

2011

11 2011

3 3

3 3











b) Nếu m n; là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2 m5n2 n thì:

m n và 5m5n1 đều là số chính phương.

Câu 4:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh OM=ON.

b) Chứng minh

MN CD AB

2 1 1



c) Biết S AOB a2;S COD b2. Tính S ABCD ?

d) Nếu Dˆ Cˆ900 Chứng minh BD > AC.

HẾT./.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG KHỐI 8 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

1a

0,75đ

a/ x4 2011x2 2010x2011=x4 x3 x2 2010(x2 x1) (x3  1) 0,5

b/ 3x3  xy3 x3x2 y3 Do x; là các số nguyên nên ta có: y 0,25

0,75đ

TH1:

























0

1 3

3

1

x y

x

x

(thỏa mãn) hoặc 23 3

26

y

�   �  �

TH2:

































6

1 3

3

1

x y

x

x

(thỏa mãn) hoặc 2 3 3

28

y

�

�    �  �

� (thỏa mãn)

0,25

0,75đ

c/ Vì x3 axb chia cho x1 dư 7 nên ta có: x3 axb=x1.Q(x)7 do đó với

1





x thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)

0,25

Vì x3 axb chia cho x 2 dư 4 nên ta có: x3 axb=x 2.P(x)4 do đó với

2



x thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)

0,25

2.

a.

0,75đ

a/ Ta có: x2 y2 52x 4yx12 y 22 0với mọi x; nên ta có: y 0,25 A= x2 y2 52x 4y xy12 2xy

= x2 y2 52x 4y x2  y2  1 2xy2x2y2xy4x 2y42(2x y)4

0,25 Thay x22011;y 16503  24 503 22012 vào A ta có: A=2.2.22011 2201244 0,25

b

1,0đ

b/ B= 2 2 2 2011

x

x

2 2

2011

2011 2011

2 2011

x

x

2011

2010 2011

2011 (

2011

2010 2011

2011 2010

2

2 2

2 2













x

x x

x x

Dấu “=” xẩy ra khi x2011

0,25 Vậy GTNN của B là

2011

2010 đạt được khi x2011

1,0đ

   2 2

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3

2000 2011

11 2011

c ac a c a

b ab a b a c a

b a

























0,25 Thay a=b+c vào a2  abb2 bc2  bcbb2 b2 bcc2 0,25

2 2  2   2 2 2

c bc b c c c b c b c ac

Nên a2  abb2 a2  acc2

0,25

11 2011 2000

2011

11 2011

2 2

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3





































c a

b a c ac a c a

b ab a b a c a

b a

1,0đ b/Ta có4m2 m5n2 n  5m2  n2m nm2  m n5m5n1m2(*) 0,5

Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) (5m+5n+1)+5m-5n d 10m+1 d

Mặt khác từ (*) ta có: m 2 d2 m d Mà 10m+1 d nên 1 d d=1

0,25

N M

O

D

C

Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên

1,0đ

a/ Ta có

BD

OB AC

OA

 Do MN//DC



DC

ON DC

OM

  OM=ON

0,5 0,5

1,0đ

b/ Do MN//AB và CD 

AD

AM CD

OM

 và

AD

DM AB

OM

 Do đó: 1



0,25

Tương tự:  1

AB

ON DC

ON

Từ (1);(2)   2

AB

MN DC



MN AB DC

2 1 1



1,0

0,75

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2

cạnh đáy tương ứng Do vậy : S S OD OB

AOD

AOB  và S S OC OA

COD AOD 

0,25

Nhưng

OC

OA OD

OB

COD

AOD AOD

AOB S

S S

S

  S2AOD S AOB.S COD a2.b2 nên S AOD ab Tương tự S BOC ab.Vậy  2

b a

S ABCD  

0,5 0,25

d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

Do Dˆ Cˆ 900 nên H, K nằm trong đoạn CD

Ta có A EˆDB CˆDCˆ Dˆ  ADAE

Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH

0,25

0,25

Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :

DB BK DK  AH CH AC (Do AH2 BK2)�BD AC

0,25

H