Đề thi HSG toán 8 huyện quế sơn

M là điểm trên đường chéo BD.. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhấ

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2009-2010

Môn: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,5 điểm)

a Cho:

2

2

A

- Thực hiện rút gọn A

- Tìm x nguyên để A nguyên

b Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2

Bài 2: (1,5 điểm)

a Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với mọi số a, b, c

c

ab b

ac a

bc









Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình:

6

42 12 4

20 8 8

72 16 2

6

2































x

x x x

x x x

x x x

x x

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB

và MF vuông góc với AD

a Chứng minh DE  CF; EF = CM

b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui

c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F

Chứng minh BF = CE

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (2,5 i m)điểm) ểm)

5

4 2 ) 2 )(

5 (

2 2





















x

x x

x

x x x

A

) 2 )(

5 (

15 8 )

2 )(

5 (

2 )(

4 2 ( 2

































x x

x x x

x

x x x

x

x

2

3 2

)(

5

(

) 3 )(

5

(





















x

x x

x

x x

1

x

A

A nguyên khi và chỉ khi 1

2

x  nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1

 x=3, hoặc x=1

0,25

Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:

= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]

= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]

0,25

= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]

Bài 2: (1,5 i m)điểm) ểm)

 (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2  0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2  0 …) nên có đpcm) nên có đpcm

0,25 Câu b

abc

ab abc

ac

abc

bc











2 2

2 ( ) ( )

)

Nhân hai vế với số dương abc được:

 (bc) 2  (ac) 2  (ab) 2 a2bcb2acc2ab

0,25

Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc)2  (ac)2  (ab)2 a2bcb2acc2ab

đpcm

0,25

Bài 3: (1,5 điểm)



6

6 ) 6 ( 4

4 ) 4 ( 8

8 ) 8 ( 2

2

)

2































x

x x

x x

x x



6

6 6 4

4 4 8

8 8 2

2

2































x

x x

x x

x x



6

6 4

4 8

8

2

2













6

3 4

2 8

4 2

1













x



) 6 )(

4 (

24 5 )

8 )(

2

(

16

5















x x

x x

x

 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)

 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24

= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16

 8x2 + 40x = 0

0,25

 8x(x + 5) = 0

x = 0; x = -5

Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm

0,25

Bài 4: (3,0 điểm)

Câu a: 1,25 điểm

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

2

C D

M

E F

DF = AE  DFC = AED 0,25

 ADE = DCF

 EDC + DCF = EDC + ADE

0,25

Câu b: 1,0 điểm

Câu c: 0,75 điểm

Bài 5: (1,5 điểm)

Trong BMF có AD//MF nên:

Trong CAD có AD//ME nên:

Chia vế theo vế được:

BF BA.CE CA BM BD .CM CD 0,25

 BF BA.CE CA CD BD (BM=CM) 0,25

AD là phân giác nên:

AB

AC BD

CD

Thay vào trên được:

BF BA.CE CA AC AB

CE

BF







0,25

A

E F