4,0 điểm Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử: a.. Rút gọn biểu thức A.. Chứng minh rằng abc.. Tam giác BMD đồng dạng với CEM, Từ đó suy ra tích BD.CE không đổi.. DM, EM lần
Trang 1PHßNG gd&§T phï ninh §Ò thi chän HäC SINH n¨ng khiÕu líp 8
N¡M HäC 2011 – 2012
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:
a x2 7x6
b x4 + 2012x2 + 2011x + 2012
Bài 2 (4,0 điểm)
2 3
1
1 : 1
1
x x x
x x
x
x
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị của biểu thức A tại x 132
c Tìm giá trị của x để A < 0
Bài 3 (4,0 điểm)
a Cho a b 2b c 2c a 2 4 a 2 b 2 c ab ac bc 2
Chứng minh rằng abc
b Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:
2 2
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Chứng minh:
a Tam giác BMD đồng dạng với CEM, Từ đó suy ra tích BD.CE không đổi
b DM, EM lần lượt là tia phân giác của góc BDE và góc CED
c Chu vi ADE không đổi
Bài 5 (2,0 điểm):
Tìm số nguyên x sao cho 17
9
x x
là bình phương của một số hữu tỷ
Hết
Ghi chú: Thí sinh dự thi môn Toán không được sử dụng máy tính cầm tay.
PHßNG gd&§T phï ninh HD chÊm thi chän HäC SINH n¨ng khiÕu 8
N¡M HäC 2011 – 2012
Đề chính thức
Trang 2Bài 1: (4,0 điểm)
1 x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6x 1 x 1 x 6 1,5đ
2 x4 + 2012x2 + 2011x + 2012 = x4 + x2 + 2011x2 + 2011x + 2011 + 1
0,5đ
= x4 + x2 + 1 + 2011(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 – x2 + 2011(x2 + x + 1)
1,0đ
= (x2 + x + 1)( x2 – x + 1) + 2011(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x2 - x + 2012)
1,0đ
Bài 2 ( 4,0 điểm )
a, ( 2,0 điểm )
Điều kiện: x khác -1 và 1 thì :
A= :(1 )(1(1 )(1 ) ) (1 )
1
1
2
2 3
x x x x x
x x x
x x x
0,5đ
= :(1 (1)(1)(12 ) )
1
) 1
)(
1
(
2
2
x x x
x x x
x x x x
= ( 1 2 ) :(11 )
x
x
= ( 1 x2 )( 1 x)
KL :
0,5đ
b, (1,0 điểm)
Tại x = 132 = 35 thì A = 5 2 5
1 ( ) 1 ( )
3 3
0,25đ
3
5 1
)(
9
25
1
27
2 10 27
272
3
8
.
9
34
KL
0,5đ
c, (1,0 điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi ( 1 2 )( 1 ) 0
Vì 1 x2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1
KL
0,5đ 0,25đ
Bài 3 (4,0 điểm)
a Biến đổi đẳng thức để được
bc ac ab c b a ac a c bc c b ab
b
a2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 4 4 0,5 đ Biến đổi để có ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) 0
Biến đổi để có ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0
Vì ( ) 2 0
b
a ;( ) 2 0
c
b ;( ) 2 0
c
a ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ( ) 2 0
b
a ;( ) 2 0
c
b và ( ) 2 0
c
1 x 1 y 1 xy (1)
Trang 33 2
2 1
x
y
E D
B
A
2
0
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x y x y x y
y x xy
+ Vỡ x 1;y 1 => xy 1 => xy 1 0
=> BĐT (2) đỳng => BĐT (1) đỳng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 2,0đ
Bài 4 : (6,0 điểm)
+ Vẽ hỡnh đỳng
a, Chứng minh BMD CEM(g-g)
Vỡ BM = CM =BC
2 (gt) BD.CE =BM.MC =
2
BC
4 (k đổi)
b, Chứng minh: Từ a,=>BDCE=MD.MB
và B = M2 = 600 => BMD MED (c-g-c)
Từ đú suy ra Dˆ1 Dˆ2, do đú DM là tia phõn giỏc của gúc BDE
Chứng minh tương tự ta cú EM là tia phõn giỏc của gúc CED
c, Gọi H, I, K là hỡnh chiếu của M trờn AB, DE, AC
Chứng minh: Từ tớnh chất tia phõn giỏc ta cú: DH = DI, EI = EK
Chu vi : PADE = AD+DE+EA =AD+DI+IE+KA
= AD +DH +AE+EK = AH +AK = 2.AH (khụng đụỉ)
Kết luận…
0,5
3.0
1.5
1.0
Bài 5 (2,0 điểm):
Hướng dẫn: Giả sử 17
9
x x
=
2
a b
= a22
b (Với aN; bN*) + Xột: a = 0 => x = 17
+ Xột a 0, khụng mất tổng quỏt, giả sử ƯCLN(a,b) = 1 => ƯCLN(a2,b2) = 1
Ta cú: x -17 = a2k (1)
x - 9 = b2k (2) (k- nguyờn)
A
K
E I
D
H
M
Trang 4Từ (1) và (2) => b2k - a2k = 8 (1,0điểm)
(b - a)(b + a)k = 8 (3) ; 8 = 8.1 = 4.2 = ;
Vì : b + a – (b - a) = 2a ; b + a > b - a
Kết hợp giả thiết ta có bảng sau:
+/ x = 17 => A = 0 = 02
+/ x = 18 => A = 1
9
+/ x = 8 = > A = 9 (1,0điểm) Đáp số: x {17,18,8}