Tài liệu tham khảo:• Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace Phan Bá Ngọc • Toán chuyên đề Phan Quốc Khánh • Toán rời rạc cho kỹ thuật số Nguyễn Xuân Quỳnh • Bài tập chuyên đề toán Nguyễn
Trang 1Toán Chuyên Ngành
Dr Ngô Minh Trí Khoa Điện tử - Viễn thông Đại học Bách khoa Đà Nẵng
Trang 2Tài liệu tham khảo:
• Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace (Phan Bá Ngọc)
• Toán chuyên đề (Phan Quốc Khánh)
• Toán rời rạc cho kỹ thuật số (Nguyễn Xuân Quỳnh)
• Bài tập chuyên đề toán (Nguyễn Trọng Thái, Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường)
Trang 3Phần 2:
Các Phép Biến Đổi
Trang 4Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa: Toán tử Laplace, ký hiêu , tương ứng một hàm thực với một hàm phức theo công thức sau:
• Toán tử Laplace còn gọi là phép biến đổi Laplace của hàm
• Hàm được gọi là biến đổi ngược của
Trang 5Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Điều kiện của để tồn tại
• Hàm liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t
• khi
• tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tồn tại các hằng số sao cho
Trang 6Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Chú ý:
• Hàm chỉ xác định và giải tích trong miền ( 0)
• Nên những hàm không thỏa điều kiện này sẽ không phải là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả
• giới nội
Trang 7Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Trang 8Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Giả sử và
• Tuyến tính:
• Đồng dạng:
• Dịch chuyển ảnh:
Trang 9Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Giả sử và
• Chậm trễ của gốc:
• Nếu khi , là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ,
Với
Trang 10Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Giả sử và
• Phép biến đổi của đạo hàm:
• Đạo hàm ảnh:
Trang 11Bài 1 Phép biến đổi Laplace
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Giả sử và
• Tích phân gốc:
Trang 12Bài 2 Phép biến đổi Laplace ngược
Giả sử và
• Tuyến tính:
• Đồng dạng:
và
• Dịch chuyển ảnh:
Trang 13Bài 2 Phép biến đổi Laplace ngược
Giả sử và
• Chậm trễ của gốc:
• Đạo hàm ảnh:
• Tích phân gốc:
Trang 14Bài 3 Định lý Heaviside
X là một phân thức hữu tỉ thực sự
- : không có nghiệm chung
- Bậc nhỏ hơn bậc
• Gọi là các cực điểm của
Trang 15Bài 3 Định lý Heaviside 1
Nếu là nghiệm đơn thực của thì số hạng tương ứng của nó trong là:
- hoặc
- với là tích của các thừa số của ngoại trừ
Trang 16Bài 3 Định lý Heaviside 2
Nếu là nghiệm lặp bậc r của thì các số hạng tương ứng của nó trong là:
Φ là tỉ số của và tất cả các thừa số của trừ
Trang 17Bài 3 Định lý Heaviside 3
Nếu có chứa thừa số thì số hạng tương ứng của nó trong là:
- và là phần thực và phần ảo của với là tỉ số của với tất cả các thừa số của , trừ
- Chọn hoặc đều cho cùng kết quả