Chuỗi FourierMột khâu hoặc một hệ thống thường được mô tả bằng một mô hình toán học như sau: là hàm truyền đạt của khâu hay hệ thống: • Xét phản ứng của khâu hay hệ thống khi có một tín
Trang 1Tài liệu tham khảo:
• Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
(Phan Bá Ngọc)
• Toán chuyên đề (Phan Quốc Khánh)
• Toán rời rạc cho kỹ thuật số (Nguyễn Xuân Quỳnh)
• Bài tập chuyên đề toán (Nguyễn Trọng Thái,
Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường)
Trang 2Phần 4:
Các Phép Biến Đổi: Biến đổi Fourier
Trang 3Chuỗi Fourier
Một khâu hoặc một hệ thống thường được mô
tả bằng một mô hình toán học như sau:
là hàm truyền đạt của khâu hay hệ thống:
•
Xét phản ứng của khâu hay hệ thống khi có một tín hiệu tác động vào chính là xét tác dụng biến đổi tín hiệu của khâu hay hệ thống
Trang 4Bài 1 Tích phân Fourier
Chuỗi Fourier
Một số các tín hiệu đơn giản:
• Tín hiệu bậc thang đơn vị
• Tín hiệu xung đơn vị
• Tín hiệu điều hòa
Bất kỳ một tín hiệu phức tạp nào cũng có thể phân tích thành các tín hiệu đơn giản trên
Trang 5Chuỗi sin và cos đó được gọi là chuỗi Fourier
Trang 7Tích phân Fourier
• Chuỗi Fourier chỉ được sử dụng để biểu diễn
các hàm tuần hoàn.
• Tích phân Fourier, vốn xuất phát từ chuỗi
Fourier với chu kỳ dần ra vô cùng, được sử dụng
để biểu diễn các hàm không tuần hoàn.
• Tích phân Fourier có thể được xem như một
phép biến đổi, biến một hàm không tuần hoàn theo thời gian thành một hàm của biến tuần số liên tục
•
Trang 8Bài 1 Tích phân Fourier
Điều kiện Dirichlet: Một hàm được coi là thỏa
mãn điều kiện Dirichlet trên khoảng , khi và chỉ khi:
• Bị chặn
• Có hữu hạn các cực đại và cực tiểu địa phương
• Có hữu hạn các điểm không liên tục trên
•
Trang 9Tích phân Fourier
Định lý 1: Nếu hàm tuần hoàn thỏa mãn điều kiện Dirichlet thì chuỗi Fourier của :
• Hội tụ về tại mọi điểm mà ở đó liên tục
• Hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn phải
và trái của tại các điểm mà ở đó không liên tục
•
Trang 10Tích phân Fourier
Định lý 2: Nếu trên mỗi khoảng hữu hạn, thỏa
mãn các điều kiện Dirichlet và nếu tồn tại thì tích phân Fourier
Tích phân Fourier có giá trị bằng:
• Giá trị của tại các điểm mà tại đó liên tục
• Giá trị trung bình của giới hạn phải và giới hạn trái của tại các điểm mà gián đoạn
•
Trang 11Tích phân Fourier
Với
được gọi là phổ của
•
Trang 12Dạng hình học của tích phân Fourier
Với
•
Trang 13Dạng hình học của tích phân Fourier
Nếu là hàm chẵn thì sẽ có cặp tích phân Fourier cosine
Với
•
Trang 14Dạng hình học của tích phân Fourier
Nếu là hàm lẻ thì sẽ có cặp tích phân Fourier sineVới
•
Trang 15Cặp biến đổi Fourier
Trang 16Cặp biến đổi Fourier
Trang 17Các đặc trưng của biến đổi Fourier
Nếu là hàm chẵn thì sẽ có cặp biến đổi Fourier cosine
Với
•
Trang 18Các đặc trưng của biến đổi Fourier
Nếu là hàm lẻ thì sẽ có cặp biến đổi Fourier sineVới
•
Trang 19Ảnh của một số hàm
Trang 20Ảnh của một số hàm
) )
Trang 21Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 22Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 23Các tính chất của biến đổi Fourier
Nếu liên tục và ít nhất liên tục từng đoạn trên và nếu và tồn tại thì:
Trang 24Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 25Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích chập
Cho và , hàm xác định bởi tích phân
được gọi là tích chập của hai hàm và trên
khoảng
Ký hiệu:
•
Trang 26Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 27Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 28Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 29Các tính chất của biến đổi Fourier
Định lý lấy mẫu thời gian
Nếu biến đổi Fourier của hàm là hàm có băng tần giới hạn, tức là tồn tại để
với ,
thì hoàn toàn xác định bởi các giá trị
và
•
Trang 30Xấp xỉ tích phân Fourier và Hiện tượng Gibb
Trong khai triển chuỗi Fourier, vấn đề thường được quan tâm là độ lớn của các số hạng đầu của khai
triển Tương tự khi biểu diễn hàm không tuần
hoàn, vấn đề quan tâm là độ lớn của các thành
phần tần số thấp
Trang 31Xấp xỉ tích phân Fourier và Hiện tượng Gibb
Giả sử là xấp xỉ của một hàm cho bởi
tích phân Fourier trong khoảng từ 0 đến khi dùng tích phân cosine, hoặc tích
phân sine, hay trong khoảng từ đến khi dùng tích phân phức chuẩn
•