Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi fourier fourier cosine fourier sine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP

ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2014

NGUYỄN VĂN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP

ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Minh Khoa

Thái Nguyên – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đưa ra trong luận văn là hoàn toàn trung thực, chưa được ai công bố trong công trình nào

Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Tuấn

Trong quá trình học cao học, nghiên cứu và viết luận văn tốt nghiệp tác giả đã nhận được nhiều sự ủng hộ của Phòng Giáo dục - Đào tạo huyện Yên Lập – tỉnh Phú Thọ, lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THCS Trung Sơn ,

sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả còn nhận được sự chia sẻ, động viên của các bạn đồng nghiệp và người thân

Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Minh Khoa về chuyên môn, thầy luôn nhiệt tình, tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấp nhiều tài liệu quý báu Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua học tập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quý giá này

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Tuấn

Trang

Trang phụ bìa ……… ………

Lời cam đoan ……… ………

Mục lục ……… ……

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ……… … 1

MỞ ĐẦU ……… 2

1 Lý do chọn đề tài ……… 2

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ……… 6

3 Đối tượng nghiên cứu ……….……… 7

4 Phương pháp nghiên cứu ……….……… 7

NỘI DUNG Chương 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine … …8

1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier ……… 8

1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ……… ….8

1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier … … 9

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine ……….…… 17

1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine ……….…… … 17

1.2.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier cosine …… … 18

1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine ……… … 19

1.2.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine ……… 20

1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt ……… ……… 22

1.3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt ……… 22

Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích

phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ……… …… 25

2.1 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine ……… ……… 25

2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine … … 25

2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ……… … … 25

2.2 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine ……… … 29

2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine ……… …… 29

2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ……… …… 29

2.3 Phương trình tích phân đối với đa chập có hàm trọng của các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine ……….…… 31

2.3.1 Đa chập có hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine ……… 31

2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ……… …… 32

KẾT LUẬN ……….……… … 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……….…… … … 35

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Hướng rẽ nhánh phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20 Gần trọn một thế kỷ các tích chập đơn đối với từng phép biến đổi tích phân ngự trị Trong số đó phổ biến được áp dụng nhiều nhất là các tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Kontorvich-Lebedev, Melin, Stieltjes,.… 4, 7,8,13 

Khoảng hai thập kỷ trở lại đây các tích chập suy rộng mới được xây dựng bởi các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich,… Với sự xuất hiện của tích chập suy rộng lớp các phương trình tích phân giải được nghiệm dưới dạng đóng trở nên phong phú hơn bởi trong đẳng thức nhân tử hóa then chốt không chỉ có một phép biến đổi tích phân mà

có từ hai đến ba phép biến đổi tích phân Các trường hợp riêng của bài toán

mở phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 3,14, 

đã đưa ra khái niệm đa chập của n+1 phép biến đổi tích phân K K K, 1, 2, ,K n

với hàm trọng ( )x của n hàm f f1, 2, , fn mà đối với nó có đẳng thức nhân

tử hóa cốt yếu sau  5 :

Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập là một bước phát triển mới không chỉ ở phạm vi lý thuyết các phép biến đổi tích phân mà còn

mở rộng sự ứng dụng cho phương trình, hệ phương trình tích phân

Chính vì vậy mà tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine

Các tích chập, đa chập đã biết dùng trong luận văn

Tích chập của hai hàm f g, L( ) đối với phép biến đổi tích phân Fourier

7,13

1( * )( ) ( ) ( ) ,

Và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Năm 1951 Sneddon đã xây dựng tích chập suy rộng đến tâm đối với hai phép

biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f g ,  L1( ) 7  

1

0

1 ( * )( ) ( ) ( ) ( ) , 0 (0.5)

Tích chập suy rộng với hàm trọng 1( ) x  sinxcủa hai hàm f,g đối với các

phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine  11

Với đẳng thức nhân tử hóa sau:

Một tích chập với hàm trọng 1( ) sinxx  của hai hàm f và g đối với phép biến

đổi Fourier sine  4

Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Với đẳng thức nhân tử hóa:

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Dựa vào các đa chập đã biết đối với các phép biến đổi tích phân

Fourier, Fourier cosine, Fourier sine để khảo sát các phương trình tích phân

kiểu đa ch

3 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu các phép biến đổi tích phân, tích chập, đa chập của các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng vào giải phương trình tích phân dạng đa chập

4 Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng các phép biến đổi tích phân , tích chập, tích chập suy rộng, đa chập đã biết, lý thuyết phương trình tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm

CHƯƠNG 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine

1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier

1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier

Được gọi là biến đổi Fourier của hàm f

Định nghĩa 2 Biến đổi Fourier ngược

Ví dụ 1 Tìm biến đổi Fourier của hàm

1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier

Tính chất 1 Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính:

F  f   f   Ff   Ff với mọi  1, 2 và f f1, 2L( )

Chứng minh Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được tính chất này

Tính chất 2 Giả sử f  L R( )thì fC o với C o là không gian các hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa f f 1

( )

iy x

iyx y

Vậy là hàm liên tục tiến về 0 khi y  

Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng Từ

đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có f



lien tục và tiến

về 0 khi y  

Cuối cùng, nếu f L R( ), do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L R ( ),

ta tìm được dãy các hàm dặc trưng  f n n1,2 hội tụ trong ( )L R về f

Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:

 

( )

^ ( )

x f x M và  ( )

( )

q p

x f L R

Nhận xét:

Tính chất này cho ta thấy phép biến đổi Fourier là ánh xạ từ S vào S

Tính chất 14 Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine

1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine

Định nghĩa 1

Cho f L R( ), hàm F fc xác định bởi:

0

2 ( ) ( c )( ) ( ) cos

Ta có công thức biến đổi ngược là:

2( ) ( c )( ) ( ) cos

Tính chất 2

Với   0, đặt f x a( ) f(ax)

Khi đó ta có:

1(F f c a)( )y (F f c )( )y

Tính chất 3 ( Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine )

Cho f g, L R( ) khi đó tích chập (1.2.3) cũng thuộc L R ( ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Ta có công thức biến đổi ngược là:

0

2 ( ) s ( ) ( )sinx

Phép biến đổi Fourier sine là toán tử tuyến tính

Tính chất 3 ( Biến đổi sine của đạo hàm )

Giả sử f x ( ) liên tục và khả tich tuyệt đối trên '

(   , ), f x ( ) liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f x( )0 khi x   Khi đó:

1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt

1.3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt

Xét phương trình truyền nhiệt sau:

2 2

Và thỏa mãn các điều kiện:

( ) , i u u ux, xx liên tục, khả tích trên R theo biến x với mọi t  0 cố định

 

1

( ) ii     T 0,  L R u x t ( ), t( , )   ( ), x   t 0, T ,  x

1.3.2 Thuật toán giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier vế trái của (1.3.1) như là hàm của biến x ( xem t là tham số), dung tính chất (ii) để có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, ta có:

Như vậy, biến đổi Fourier hai vế của (1.3.2) cho ta phương trình vi phân theo biến t( là tham số) như sau:

^ 4

CHƯƠNG 2 Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân

Fourier, Fourier sine và Fourier cosine

2.1 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine

2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine

Định nghĩa 2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của các hàm

Định lý này đã được chứng minh trong bài báo  17

2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập

Định lý 2.1.3 Với điều kiện 1    ( Fc )( )( y Fc )( ) y    0, y  thì

phuuwong trình (2.1.3) sẽ có nghiệm duy nhất trong L( ) và được xác đinh

c F c

c F

( )( )( )( )( )( ) ( )( ) 1

( * )( )( )( ) 1

c c

c F c

c F

1 ( * )( )

c c

c F c

c F

2 0

Định nghĩa 2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

cosine và Fourier sine của các hàm f,g,h được xác định như sau:

Định lý này được chứng minh trong bài báo  16

2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập

Xét phương trình tích phân:

Định lý 2.2.2 Với điều 1 (F s )( )(y F s)( )y 0 thì phương trình (2.2.3) có

nghiệm duy nhất được xác định bởi: ( * ) ( )

( * )( )

c c

2

2

( * )( )( )( ) 1

1 ( * )( )

c c

1 ( * )( )

c c

Dễ thấy f L( ) Định lý được chứng minh

2.3 Phương trình tích phân đối với đa chập có hàm trọng của các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine

2.3.1 Đa chập có hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine

Định nghĩa 2.3.1 Đa chập với hàm trọng ( )y ey đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine của các hàm f,g và h được xác định bởi:

dud , 0 (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

Fourier và Fourier sine của các hàm f,g,h thuộc L( ) và thỏa mãn đẳng

thức nhân tử hóa sau:

Định lý này được chứng minh trong bài báo  18

2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập

Định lý 2.3.3 Với điều kiện 1ey(F)( )y 0 thì phương trình (2.3.3) sẽ

có nghiệm duy nhất trong L( ) được xác định bởi: ( * )

( )( )( )( )

KẾT LUẬN

Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân kiểu đa chập dựa trên các

đa chập mới được xây dựng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine

Lớp các phương trình tích phân giải được nghiên cứu dạng đóng nhờ đó được mở rộng phong phú hơn Các trường hợp của phương trình Toeplifz- Hakel nhờ đó được giải quyết Từ đây ta có thể áp dụng việc giải phương trình tích phân kiểu đa chập mới

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1 N.I.Achiezer, Lectures on Approximation theory, Science Publishing house, Moscow, 1965, pp.157-162

 2 Bateman, H.and Erdelyi, A., Tables of Integral Transforms Vol.1, Hill Book Co., New York, 1954

mcgraw- 3 H.H Kagawa and Kabbalah, integral Equations via Embedding Methods Applied Math – emetics and Compatation, No.6.Addison – Weslay Publishding Co Reading, mas-London-Amsterdam, 1974

 4 Kakichev, V.A., On the convolution for integral transforms (in Russian) Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat 1967, N.2, p 48-57.,(in Russian)

 5 V.A.Kakichev, Polyconvolution, Taganrog, TPTU, 1997, 54p(in Russian)

 6 Nguyen Minh Khoa On the generalized convolution for the Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms Proceedings of the 20 th Scientific Conference, Hanoi University of Technology(2006), 122-125

 7 I.N.Sneddon fourier transform, MC Gray Hill, NewYork, 1951

 8 Srivastava, H.M., Tuan, V.K., A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral euations (1995) Arch Mathematik, Vol 64, No.2, 144-149, 1995

 9 Nguyen Xuan Thao, On the polyconvolution for integral transforms Vestn NovGU Ser Estestv I Tehn Nauki – N.10.-pp 104-110, 1999 (in Russian)

 10 Nguyen Xuan Thao, Kakichev V.A and Vu Kim Tuan, On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transfrorms East-West J.Math, -V.1 – N.1 –pp 85-90, 1998

 11 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, On the

generalized convolution with a weigth-function for the Fourier cosine and sine

transforms Fractional Calculus Applied Analysis.-V.7.-N.3.-pp.323-337, 2004

 12 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa, On the generalized

convolution with a weigth-function for the Fourier sine and cosine transforms

Integral trans Special Func.-V.17.-N.9.-pp.673-685, 2006

 13 H.M Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integral, Clarendon Press, Oxford, UK, 2 nd edition, 1967

 14 J.N Tsitsiklis and B.C.Levy, ”Integral Equations and Ressolvents of Toeplitz plus Hankel Kernels”, Technical Report LIDS-P-1170, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., December 1981

 15 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Duc Hau On the polyconvolution for the

Fourier sine integral tramsforms, Funcition Spaces in complex and C lifford

analysis, Nntional university publishers Hanoi (2008)

 16 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Duc Hau On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms Acta Nathematica Vcetnominica Vol33, No2, 2008, 107-122

 17 Nguyen Minh Khoa On the convolutions of Fourier – type tramsforms, Act Mathematica, Vol36, No2, 283-298(2011)

 18 Nguyen Minh Khoa and Trinh Tuan, On the polyconvolution with a weight fimction for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms, Advances in Nonlinear Variational Tnequalities Vol 14(2011) No1, 30