PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI một ẩn

Hơn 12.000 bài luyện tập VẬT LÝ cơ bản đến VẬT LÝ nâng cao giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức một cách chủ động và hiệu quả hơn., Học và làm bài tập VẬT LÝ Online. Các dạng VẬT LÝ từ cơ bản đến nâng cao. Bài kiểm tra VẬT LÝ . Ôn tập hè môn VẬT LÝ với Luyện thi 123.com., Website học .

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng: ax2  bx c 0a�0

(1), trong đó x là ẩn; a,

b, c là các số cho trước

2 Cách giải

a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành:

2

0 0

0

x x

ax b x

a



�



�

b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:

ax c ax c x

a

(2)

- nếu 0

c

a

 

thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm

- nếu 0

x

  � �

c) đầy đủ: ax2  bx c 0a�0

Công thức nghiệm

b ac

+ Nếu   thì pt có 2 nghiệm phân biệt:0

+ nếu   thì pt có nghiệm kép: 0 1 2

2

b

x x

a



+ nếu   thì pt vô nghiệm0

Công thức nghiệm thu gọn

+ Nếu  ' 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

+ nếu  ' 0 thì pt có nghiệm kép:

'

b

x x

a



  + nếu  ' 0 thì pt vô nghiệm

d) Cho pt: ax2  bx c 0a�0

Điều kiện để phương trình:

- Vô nghiệm:   (0  ' 0)

- Nghiệm kép:   (0  ' 0)

- Có 2 nghiệm phân biệt:   (0  ' 0) hoặc a.c < 0

- Có 2 nghiệm cùng dấu:

 '

1 2

0 0

x x

�  �

�

�



�

- Có 2 nghiệm cùng dấu âm:

 '

1 2

0 0 0

x x

x x

�  �

�



�

�  

�

- Có 2 nghiệm cùng dấu dương:

 '

1 2

0 0 0

x x

x x

�  �

�



�

�  

�

- Có 2 nghiệm khác dấu:

 '

1 2

0 0

x x

�  �

�

�



�

3 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Định lý: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của pt ax2  bx c 0a�0 thì

1 2

b

x x

a c

x x

a

�   

�

�

�

- Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét:

+ nếu pt ax2  bx c 0a�0 có a b c   thì pt có 2 nghiệm là: 0 x1 1;x2 c

a

+ nếu pt ax2  bx c 0a�0 có a b c   thì pt có 2 nghiệm là: 0 x1 1;x2 c

a

+ nếu .

u v S

u v P

 

�

� 

� thì suy ra u, v là nghiệm của pt: x2Sx P 0 (điều kiện để tồn tại u, v là

S P

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau:

2

Bài 2: Giải các phương trình sau:

2

1

3

14

3 1

2

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a)      2 2

2x1 2x  1 x 3 1�5x 6x 7 0 pt vô nghiệm

b)  2   2

10

7

c)     2

11

3

x x  � x  x  � ���x  x   ���

d)     2

15

4

Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi m các phương trình sau luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.

a) x22 1 m x m  0

Ta có:

2

� � , do đenta dương với mọi m nên pt có 2

nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) x2mx m 2 1 0

Ta có: ' 2  2  2

, do đenta dương với mọi m nên pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Bài 5: Cho pt mx22m1x 2 0 Tìm m để pt có nghiệm kép

Pt có nghiệm kép:

2

0 0

;

3 2 2 3 2 2

m m

a

�

�

�

��  � �     ��     �

�

Bài 6: Cho 2 pt sau: x2mx 2 0  1 ; x22x m 0  2 Với giá trị nào của

m thì 2 pt trên có 1 nghiệm chung

- đk để pt (1) có nghiệm là:

1

2 2

8 0

2 2

m m

m

� �

   � � �



�

� (*)

- đk để pt (2) có nghiệm là:  �'2 1 m 0 m 1 (**)

- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì m�2 2

- giả sử x0 là 1 nghiệm chung của 2 pt trên, ta có :

2

2

m

m





(vì m khác 2 do m�2 2)

- thay x0 = 1 vào (1) hoặc (2) ta được: 12  m 2 0�m 3

Vậy m = -3 thì 2 pt trên có 1 nghiệm chung

Bài 7: Tìm m để 2 pt sau có nghiệm chung?

2

2

x m x m

x m x m

- đk để pt (1) có nghiệm là:

2 1

2 2 2

4 4 0

2 2 2

m

m

� � 

    � � �

 

�

� (*)

- đk để pt (2) có nghiệm là:  2 m2 �0, m (**)

- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì

2 2 2

2 2 2

m m

�� 

�

 

�

- giả sử x0 là nghiệm chung của 2 pt trên, ta có :

x  m x    m x m x  m  �    m m x   �x 

- thay x0 = 2 vào (1) ta được: 4 ( m4).2  m 5 0�m1 (thỏa mãn (***))

Vậy m = 1 thì 2 pt trên có nghiệm chung

Bài 8: Tìm m để 2 pt sau có nghiệm chung?

 

 

2

2

x mx

mx x

  

- đk để pt (1) có nghiệm là:  1 m28 0,� m (*)

- đk để pt (2) có nghiệm là: 2

1

8

 

�

(**)

- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì

1 8

m�

(***)

- giả sử x0 là nghiệm chung của 2 pt trên, khi đó:

2x mx  1 mx  x 2 0 � m2 x  m1 x  3 0

Ta có: 2  2

phân biệt: 0 1   0 2        

m



3 2

x m



2

nghiệm vì có     )m 27 0

- thay x0 2 1 vào (1) ta được: 2.12 m.1 1 0  �m 1 (thỏa mãn (***))

Vậy m = -1 thì 2 pt trên có nghiệm chung

Bài 9: Cho pt x24x m  1 0

a) xác định m để pt có nghiệm

b) Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn: x12x22 10

LG

a) Ta có:    ' 3 m Pt có nghiệm � ���� ' 0 3 m 0 m 3

b) với m� giả sử pt có 2 nghiệm là x3 1 ; x2 theo Vi-ét ta có:

1 2

4

x x

x x m

 

�

�  

� (*) lại có: 2 2  2

x x  � x x  x x  (**)

thay (*) vào (**) ta được: 42 2m 1 10�m2 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 10: Cho pt 3x25x m 0 Xác định m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn

5 9

x x 

Ta có:    25 12m

Pt có 2 nghiệm

25

12

� ���

�

(*)

với

25

12

m�

giả sử pt có 2 nghiệm là x1 ; x2 theo Vi-ét ta có:  

1 2

5

(1) 3

3

x x

m

x x

�  

�

�

lại có: 2 2      

x x  � x x x x  � x x  � x  x

(3)

kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình:

1

2

3

2 1

3 3

x

x x

x

x x

�   � 

�

�   ��

� thay vào (2) ta được

2

m

m

(thỏa mãn đk (*))

Bài 11: Cho pt x22mx2m 1 0

a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Đặt  2 2

A x x  x x

* CMR: A8m218m9

* Tìm m để A = 27

c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

LG

a) ta có 2  2

      �  , do đó pt có 2 nghiệm với mọi giá trị của m

b) + với mọi m pt có nghiệm x1, x2 theo Vi-ét ta có:

1 2

2 2 1

x x m

 

�

A x x  x x �A x x  x x

(**) thay (*) vào (**) ta được:  2   2

A m  m  m  m => đpcm

+ với A = 27 suy ra

3

4

m  m  � m  m  �m  m  

c) giả sử x1 = 2.x2, kết hợp (*) ta có:

2

m

giải pt

2

m  m  �m  m 

***************************************************

Ngày dạy: ……….