Phuong phap chung minh qui nap

Phương pháp quy nạp toán học... không phải là chứng minh cho trường hợp tổng quát..  Muốn chứng tỏ một kết luận là sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ..  Muốn chứng tỏ một

Hoạt động 1 : Xét hai mệnh đề chứa biến

P(n): “3n < n +100” và Q(n): “2n > n” với

a) Với n= 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

b) Với thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

1 Phương pháp quy nạp toán học.

*

n N

n P(n): 3n < n+100 Q(n): 2n > n

1 (3 < 101) Đ (2 > 1) Đ

2 (9 < 102) Đ (4 > 2) Đ

3 (27 < 103) Đ (8 > 3) Đ

4 (81 < 104) Đ (16 > 4) Đ

5 (243 < 105) S (32 > 5) Đ

*

n N

 Nhận xét:

 Phép thử với một vài trường hợp

(n=1,2,3,4,5,….) không phải là chứng minh

cho trường hợp tổng quát.

 Muốn chứng tỏ một kết luận là sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ

 Muốn chứng tỏ một kết luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp.

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng khi n = 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1 (GT quy nạp), ta cần chứng minh rằng nó

cũng đúng với n = k + 1

Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên

Đó là phương pháp quy nạp toán học (phương pháp quy nạp)

Lưu ý: Nếu bước 1 sai thì ta kết luận mệnh đề cần cm là sai

1 Phương pháp quy nạp toán học.

*

n  N

*

n N

2 Ví dụ áp dụng

Giải: * Với n=1, ta có VT=VP = 2 Vâïy (1) đúng với n=1

* Giả sử (1) đúng với n=k ≥ 1, tức là

2 + 4 + 6 + .+ 2k = (2) (GT quy nạp)

Ta phải cmr (1) cũng đúng với n=k+1, tức là

2 + 4 + 6+ .+ 2k + 2(k+1) = (3)

Thật vậy, từ (2) ta có

VT(3) = 2+4+6+ .+ 2k + 2(k+1)

= k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)=VP(3)

Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 1 : Cmr với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1) (1)

k(k+1)

(k+1)(k+2)

( 1) 2

k k 

Giải:

*Với n = 1, ta có VT = 1 = VP Vậy (4) đúng với n=1

*Giả sử (4) đúng với n = k ≥1, tức là

1 + 2 + 3 +… + k = (GT qui nạp)

Ta cần cmr (4) cũng đúng với n = k+1, nghĩa là

1+2+3+…….+k + (k+1) = ( 1)( 2)

2

k  k 

Hoạt động 2: CMR với thì

1+2+3+…+ n = (4) n N (  1) *

2

n n 

( 1) 2

k k 

*

( k 1)

 1 + 2+3+ +k +(k +1)= k(k+1)

2

Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có:

1+ 2 + 3 +……+ k =

Vậy hệ thức (4) đúng với mọi

2

k  k 



Bài 1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Ví dụ 2: CMR n7-n chia hết cho 7,  n N*

Đặt An = n 7 -n

Giải:

*Khi n=1 thì A1 = 0 chia hết cho 7

*Giả sử với n=k ≥ 1, ta có Ak=k7-k chia hết cho 7 (gtqn)

Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 7

Thật vậy, ta có

Ak+1 = (k+1) 7 -(k+1) =k 7 +7k 6 +21k 5 +35k 4 +35k 3 +21k 2 +7k+1-k-1

=k7-k +7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)

Theo giả thiết qui nạp thì Ak=k7-k chia hết cho 7, do đó

Ak+1chia hết cho 7

Vậy n7-n chia hết cho 7,   n N*

Chú ý:

• Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng

với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự

nhiên) thì:

• Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

• Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với số tự

nhiên bất kì n = k ≥ p và phải cmr nó cũng

đúng với n = k + 1.

• Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n≥p.

Hoạt đôïng 3 : Cho hai số 3n và 8n với

• a) So sánh 3n với 8n khi n=1,2,3,4,5

• b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh

bằng phương pháp qui nạp

*

n N 

CMR:

3n > 8n với mọi n ≥ ?3

Giải: * Với n = 3, ta co ù 27 > 24 (đúng).

• Vậy (5) đúng với n=3

• * Giả sử (5) đúng với một số tự nhiên n=k 3, tức là ≥3, tức là

• 3k > 8k (gt qui nạp)

• Ta cần cm (5) cũng đúng khi n=k+1, tức là

• 3k+1> 8(k+1)

• Thật vậy, từ gt qui nạp, ta có

3k+1 = 3.3k > 3.8k = 24k = 8k+16k > 8k+8 = 8(k+1) (đpcm) Vậy (5) đúng với mọi số nguyên dương n 3.≥3, tức là

Hoạt động 3:

CMR: 3n > 8n (5) với mọi số nguyên dương n

3

≥3, tức là

Cũng cố:

Phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề chứa biến đúng khi n = 1 (n=p).

Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự

nhiên bất kỳ n = k 1 (k ≥3, tức là ≥ p)( GT quy nạp ),

chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự

nhiên (n≥p).

• Giải: * Với n = 3, ta co ù (6) 23 > 2.3+1 (đúng).

• Vậy (6) đúng với n=3

• * Giả sử (6) đúng với n=k≥3, tức là

• 2k > 2k +1 (gt qui nạp)

• Ta cần cm (6) cũng đúng khi n=k+1, tức là

• 2k+1 > 2(k+1) + 1

• Thật vậy, từ gt qui nạp, ta có

• 2k+1 = 2.2k > 2(2k+1) > 2(k+1) + 1

• Vậy (6) đúng với mọi n≥3



2(2k+1) = 2(k+1 +k) = 2(k+1) + 2k

Bài tập : Cmr với mọi số nguyên dương n 3, ta luôn có ≥3, tức là

2n >2n + 1 (6)