Phương pháp bất đẳng thức trong phương trình và hệ phương trình lượng giác

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå GS.TSKH... Cho tam ABC nhån.

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå GS.TSKH NGUY™N V‹N MŠU

Ph£n bi»n 1: PGS.TSKH Trn Què Chi¸n

Ph£n bi»n 2: TS Ho ng Quang Tuy¸n

Luªn v«n ¢ ÷ñ b£o v» t¤i hëi çng h§m Luªn v«n tèt nghi»p s¾

huy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì §p håp t¤i   N®ng v o ng y 13 th¡ng 8

n«m 2016

* Câ thº t¼m th§y thæng tin luªn v«n t¤i:

- Trung t¥m Thæng tin - Hå li»u, ¤i hå   N®ng

M †U

1 L½ do hån · t i

B§t ¯ng l  mët trong nhúng v§n · iºn nh§t to¡n hå ¥y

l mët trong nhúng phn to¡n sì µp v  thó và nh§t Nëi dung xuy¶nsuèt luªn v«n l  h» thèng ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng trong ph÷ìng tr¼nh

v  h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng

iºm bi»t, §n t÷ñng nh§t b§t ¯ng trong to¡n sì l  khâ

v  r§t khâ, nh÷ng thº dòng hóng º gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nhl÷ñng khængv÷ñt qua giîi h¤n h÷ìng tr¼nh to¡n hå phê thæng

i t¼m b i to¡n, líi gi£i v  ph¥n lo¤i hóng l  ni·m say m¶ khæng ½tng÷íi, bi»t l  nhúng ng÷íi ang ti¸p gi£ng d¤y to¡n b i to¡n

sû döng ph÷ìng ph¡p b§t¯ng r§t a d¤ngv· · t i, phong phó v· hõnglo¤i v  phò hñp vîi nhi·u èi t÷ñng thuë hå nhau

· t i "Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng trong ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nhl÷ñng nh¬m ¡p ùng mong muèn b£n th¥n v· mët · t i phò hñp m sau n y thº ph vö thi¸t ho n¥ng h§t l÷ñng gi£ng d¤ym¼nh trong nh  tr÷íng phê thæng

· t i n y li¶n quan ¸n nhi·u huy¶n ·, trong â v§n · v·tr÷ng,t½nh h§tv biºudi¹n h msè,sû döng b§t¯ng quenthuënh÷: AM-GM, hy - vski,

Nh¬m h» thèng têng quan b i to¡n v· gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìngtr¼nh l÷ñng h gi£i khæng m¨u

N­m ÷ñ mëtsè kÿ thuªtv· sû döng mëtsè lîp b§t ¯ng º gi£iph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n

Nghi¶n b i to¡n sû döng ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng º gi£i v h» thèng ki¸n li¶n quan

Nghi¶n tø t i li»u, gi¡o tr¼nh GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu,

t i li»u bçi d÷ïng hå sinh giäi, tõ h huy¶n to¡n, t¤p h½ to¡n hå v  tuêitr´,

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n

Nghi¶n ti¸p tø t i li»u thy h÷îng d¨n, çngnghi»pnh÷ b¤n hå vi¶n trong lîp

5 Þ ngh¾a khoa hå

sinh trung hå phê thæng.

· t i âng gâp thi¸t ho n¥ng h§tl÷ñng d¤y hå huy¶n

· to¡n trongtr÷íng THPT,em l¤i ni·m am m¶ s¡ng t¤otø nhúng b i to¡nb£n nh§t

Luªn v«n bao gçm phn mð u, 3 h÷ìng, phn k¸t luªn v  danh m t ili»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 Ki¸n bà: l¤i mët sè b§t b¯ng b£n: b§t

(xem [4℄), b§t ¯ng l÷ñng trong tam (xem [5℄)

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p

so s¡nh: X²t mët sè b i to¡n sau

+Gi£i ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh h§tb§t ¯ng b§t ¯ng b£n, b§t ¯ng l÷ñng trongtam+Sû döng b§t ¯ng l÷ñng trong tam º s¡ng t¤o v  x¥y düngthuªt gi£i ph÷ìng tr¼nh l÷ñng hai ©n

+Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p so s¡nh

+B i to¡n t¼m trà, nhªn d¤ng tam

Ch÷ìng 3 Mët sè b i to¡n li¶n quan: X²t mët sèph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìngtr¼nh hén hñp hùa biºu l÷ñng v  ¤i sè

CH×ÌNG 1

 h÷ìng n y mët sè b§t ¯ng quan trång º ph vö hohùng minh b§t ¯ng li¶n quan v  bi»t l  º gi£i quy¸t

D§u ¯ng x£y ra khi v  khi hai bë (x i ) , (y i ) t l» vîi nhau,

l  tçn t¤i °p sè α, β khæng çng thíi b¬ng 0 sao

αx i + βy i = 0, ∀i = 1, 2, , n

1.3 B‡T ǑNG THÙC JENSEN

ành lþ 1.3 Gi£ sû h m sè f (x) li¶n tr¶n I (a, b) (trong â I (a, b) ÷ñ

ngm hiºu l  mët trong tªp [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)) Khi â i·u ki»n n

GIC

B i to¡n 1.1 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC, ta ·u

cos A + cos B + cos C 6 3

B i to¡n 1.3 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC ta ·u

cos A cos B cos C 6 1

B i to¡n 1.5 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC, ta ·u

sin A + sin B + sin C 6 3

√ 3

B i to¡n 1.8 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC, ta ·u

sin A sin B sin C 6 3

√ 3

B i to¡n 1.9 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC, ta ·u

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 6 9

B i to¡n 1.10 Chùng minh r¬ng tam nhån ABC, ta ·u

tan A + tan B + tan C > 3 √

B i to¡n 1.13 Chùng minh r¬ng trong tam nhån ABC, ta luæn

tan A tan B tan C > 3 √

B i to¡n 1.15 Chùng minh r¬ng trong måi tam ABC, ta ·u

cot A + cot B + cot C > √

B i to¡n 1.18 Chùng minh r¬ng trong tam nhån ABC, ta luæn

cot A cot B cot C 6 1

3 √

3 .

(1.21)

1.4.2 D¤ng khæng èi xùng

B i to¡n 1.19 Vîi måi tam ABC, ta ·u

a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C > −2k 2

− 1 2k khi k > 0. (1.22)b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C 6 −2k 2

− 1 2k khik < 0. (1.23)

¯ng x£y ra khi v  h¿ khi

B i to¡n 1.20 Vîi måi tam ABC, ta ·u

a) sin 2 A + sin 2 B + k sin 2 C 6 (2k + 1)

2

4k khik > 0. (1.24)b) sin 2 A + sin 2 B + k sin 2 C > (2k + 1)

2

4k khi k < 0. (1.25)D§u ¯ng x£y ra khi v  h¿ khi

x cos A + y cos B + z cos C 6 x + y − z. (1.26)

¯ng x£y ra khi v  h¿ khi A = B = 0, C = π.

Vªy ¯ng trong b i to¡n x£y ra khi v  h¿khi tam ABC suy bi¸n vîi

A = B = 0, C = π.

sè nëi dung v· sû döng b§t ¯ng gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nhl÷ñng nhi·u b i to¡n v½ dö minh håa v mët sè vªn döng.

B i to¡n 2.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2

B i to¡n 2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5

B i to¡n 2.5 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos 5 x + sin 5 x + sin 2x + cos 2x = 1 + √

B i to¡n 2.8 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 8 2x + cos 8 2x = 1

8 (1)

B i to¡n 2.9 Vîi 2 ≤ n ∈ N , Gi£i ph÷ìng tr¼nh

 tan x + 1

1 cosx = 2

√

2, ∀x ∈  0; π

2



B i to¡n 2.11 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 5 x + √

3 cos x = √

3

B i to¡n 2.12 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

B i to¡n 2.13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos x

r 1 cos x − 1 + cos 2x

r 1 cos 2x − 1 = 1

B i to¡n 2.14 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x + p 2 − sin 2 x + sin x p 2 − sin 2 x = 3

B i to¡n 2.15 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

2 cos x + √

2 sin 10x = 3 √

2 + 2 cos 28x sin x

B i to¡n 2.16 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x + sin 2x + sin 3x = 5

2

B i to¡n 2.17 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

tan 2 x + tan 2 2x + cot 2 3x = 1

B i to¡n 2.18 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x + sin y + sin(x + y) = 3

√ 3

2 (∗)

B i to¡n 2.19 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos 3x + √

2 − cos23x = 2(1 + sin22x)

2.1.3 Ph÷ìng ph¡p sû döng b§t¯ng l÷ñng trong tam

B i to¡n 2.20 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos x + cos 3x − cos 4x = 3

2 (∗)

B i to¡n 2.21 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

8 cos x cos 2x cos 3x + 1 = 0 (∗)

B i to¡n 2.22 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

tan x + tan y + tan z = 3 √

3 (∗)

B i to¡n 2.23 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z = 9

4 (∗)

B i to¡n 2.24 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos 2x − cos 2y + cos 2z = 3

B i to¡n 2.27 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 2 3x + sin 2 3z = 3

4 − cos 2 3y (∗)

B i to¡n 2.28 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

3 cos x + 7 cos y + 2 cos z = 8 (∗).2.1.4 Sû döng b§t ¯ng l÷ñng trong tam º s¡ng

t¤o v  x¥y düng thuªt gi£i ph÷ìng tr¼nh l÷ñng hai ©n

B i to¡n 2.29 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 2 x + sin 2 y + sin 2 (x + y) = 9

4 (1).Ph÷ìng tr¼nh tr¶n khi¸n ta li¶n t÷ðng ¸n mët b§t ¯ng l÷ñng

b£n trong tam trong b i to¡n 1.9:

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 6 9

4 (2)

¯ng x£y ra khi v  h¿ khi tam ABC·u

Trong v¸ tr¡i (2) l§y A = x, B = y, C = π − (x + y),ta thu ÷ñ v¸ tr¡i

¯ng â hùa gâ A, B, C mët tam ta ln l÷ñt l§y

A = f (x, y), B = g(x, y), C = π − [f(x, y) + g(x, y)]

v  thay d§u b§t ¯ng b¬ng d§u ¯ng ta s³ ÷ñ mët ph÷ìng tr¼nh

l÷ñng hai ©n x, y t÷ìng ùng.Cán gi£i ph÷ìng tr¼nh th¼ th÷íng ÷ñ

ti¸n h nh t÷ìng tü nh÷ h gi£i ¢ tr¼nh b y ð tr¶n.Chó þ h l m tr¶n

khæng ph£i n o th nh thº ta s¡ng ÷ñ nhúng ph÷ìng

tr¼nh l÷ñng hai ©n nh÷ng ta khæng gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh m  ta vøa s¡ng

uy nhi¶n ¥y l  mët ph÷ìng ph¡p b i to¡n mîi r§t ¡ng quan t¥m, nâ

ho ta nhi·u ph÷ìng tr¼nh thó và · b i l¨n líi gi£i

V½ dö 2.1 X²t b§t ¯ng trong b i to¡n 1.1, ¯ng x£y ra khi v  h¿

khi tam ABC ·u

A = x, B = y, C = π − (x + y)

B i to¡n 2.30 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos x + cos y − cos(x + y) = 3

2.Líi gi£i

2 − 1



= 3 2

2 =

1 2

2 = − 1

2

V½ dö 2.2 X²t b§t ¯ng trong b i to¡n 1.1, ta l§y A = x − y



= π − (x + y), ta ÷ñ b i to¡n sau

B i to¡n 2.31 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos  x − y

2

 + cos 3y

2 − cos(x + y) = 3

2.Líi gi£i

2 − 1



= 3 2

V½ dö 2.3 X²t b§t ¯ng trong b i to¡n 1.6, ta l§y A = 2x, B = 2y,

C = π − (2x + 2y) v  thu ÷ñ b i to¡n sau

B i to¡n 2.32 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x + sin y + cos(x + y) = 3

2

V½ dö 2.4 X²t b§t ¯ng trong b i to¡n 1.7, ta l§y A = 2x, B = 2y,

C = π − (2x + 2y) v  thu ÷ñ b i to¡n sau

B i to¡n 2.33 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x sin y cos(x + y) = 1

8.Líi gi£i

Ph÷ìng tr¼nh tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi

4 cos(x + y) (cos(x − y) − cos(x + y)) = 1

⇔ 4cos 2

(x + y) − 4 cos(x + y) cos(x − y) + 1 = 0

⇔ [2 cos(x + y) − cos(x − y)] 2 + sin 2 (x − y) = 0

⇔ ( 2 cos(x + y) = cos(x − y)

sin(x − y) = 0 ⇔

( 2 cos(x + y) = cos(x − y) cos(x − y) = ±1

V½ dö 2.5 Tø b§t ¯ng trong b i to¡n 1.7, ta l¤i l§y A = 2x − y,

B = 3y, C = π − 2(x + y) v  thu ÷ñ b i to¡n sau

B i to¡n 2.34 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

1.1, ta h ra ÷ñ hai ph÷ìng tr¼nh

cos x + cos y − cos(x + y) = 3 2 (1)

cos(2x − y) + cos(2y − x) − cos(x + y) = 3

Cëng (1)v  (2) v¸ theo v¸ ta ÷ñ b i to¡n sau

B i to¡n 2.35 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

cos x + cos y + cos(2x − y) + cos(2y − x) = 3 + 2 cos(x + y)

Líi gi£i

Ph÷ìng tr¼nh tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi

[cos x + cos(2y − x)] + [cos y + cos(2x − y)] = 3 + 2 cos(x + y)

⇔ 2 cos y cos(x − y) + 2 cos x cos(x − y) = 3 + 2 cos(x + y)

⇔ 2 cos(x − y) (cos x + cos y) = 3 + 2 cos(x + y)

⇔ 4 cos(x − y) cos x + y 2 cos x − y

2 = 3 + 4cos

2 x + y

2 − 2

1 4

2 (∗)

B i to¡n 2.37 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

( sin x + sin y = sin(x + y)

B i to¡n 2.39 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

B i to¡n 2.40 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

2.3 B€I TON CÜC TRÀ, NHŠN D„NG TAM GIC

B i to¡n 2.41 T¼m gi¡ trà lîn nh§t h m sè

y = sin9x + cos12x

B i to¡n 2.42 T¼m gi¡ trà nhä nh§t h m sè

y = (sin x + sin y) 2 + sin 2 z − 2(sin x + sin y) + 7

B i to¡n 2.43 T¼m gi¡ trà nhä nh§t h m sè

3

 + sin 3x

B i to¡n 2.44 T¼m gi¡ trà nhä nh§t h m sè

y = sin 8 2x + cos 8 2x + 4cos 4

B i to¡n 2.46 Cho a, b, c l  ba sè ri¶ng bi»t º h m sè sau ngh¾a

T¼m gi¡ trà lîn nh§t h m sè

y =

r asin 2 x + b

2 sin 2x + ccos

2 x +

r acos2x + b

B i to¡n 2.49 Cho tam ABC T¼m gi¡ trà nhä nh§t biºu

cos 3A + cos 3B − cos 3C.

B i to¡n 2.50 Cho tam ABC T¼m gi¡ trà nhä nh§t biºu

(1 + cos 2 A)(1 + cos 2 B)(1 + cos 2 C )

B i to¡n 2.51 Cho tam ABC T¼m gi¡ trà nhä nh§t biºu

B i to¡n 2.53 Cho tam ABC thäa m¢n h»

cot A

2 + 2 cot

B

2 − 23 cot C 2 = 0.T¼m gi¡ trà nhä nh§t cosC. (· nghà 30-4-2006)

B i to¡n 2.54 Cho tam ABC nhån T¼m gi¡ trà lîn nh§t biºu

v u u

t 1 + 5

sin C 2

− 1 (· nghà 30-4-2007)

B i to¡n 2.55 Cho sè d÷ìng x, y, z thäa m¢n i·u ki»n

x sin A + y sin B − z cos C

CH×ÌNG 3

Trong phn n y ÷a ra mët sè ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh hén hñp hùabiºu l÷ñng v  ¤i sè èi vîi d¤ng n y th¼ ph÷ìng ph¡p so s¡nh

÷ñ sû döng kh¡ linh ëng, bi»t sü xu§t hi»n t½nh h§t ìn i»u, h mtr÷ng

B i to¡n 3.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

thäa

y

x . cos y

x

B i to¡n 3.7 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

2log 3 tan x = log 2 sin x

B i to¡n 3.8 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

B i to¡n 3.10 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x + cos x − sin x cos x = 1 − ln 3 + sin x + cos x

4 + sin x cos x

B i to¡n 3.11 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

log 2 (cos x + 1) = 2 cos x

B i to¡n 3.12 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

(1 + cos x) log cos x sin x

= (1 + sin x) log sin x cos x

! cos 2x

B i to¡n 3.14 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

√

2 1 −3 sin x + 1 + 3 sin x = log 2 (1 − 9 sin x)

B i to¡n 3.15 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin 1975 x − cos 1975 x = 1

sin 2007 x − cos 2007 1 x.(· nghà 30-4-2007)

B i to¡n 3.16 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

3 2009x+3 cos x

− 3 2009x+4cos 3 x

− 3 cos 3x = 0.(· nghà 30-4-2009)

B i to¡n 3.17 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

sin x 2008 p sin 2 x + 2008 − (cos x + 1) 2008 √

3 x, y ∈  − π

2 ;

π 2



B i to¡n 3.19 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

 cos x − cos 2y = x − 2y (∗) tan x = 3 tan y (∗∗)

B i to¡n 3.20 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

( sin x = y sin y = x.

B i to¡n 3.21 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

K˜T LUŠN

Luªn v«n "Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng trong ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìngtr¼nh l÷ñng ¢ gi£i quy¸t ÷ñ nhúng v§n · sau:

- l¤i mët sè b§t ¯ng nh÷ AM - GM, hy - vski, Jensen, b§tb¯ng l÷ñng trong tam

- Gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh l÷ñng b¬ng ph÷ìng ph¡p so s¡nh

- Mët sè b i to¡n li¶n quan

- S÷u tm ÷ñ mët sè · thi · nghà 30 - 4

Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât, r§t mong ÷ñ

sü gâp þ h¥n t¼nh quþ thy, v  çng nghi»p

- Mởt số bi toĂn liản quan

- S÷u tm ÷đ mët sè · thi · ngh 30 -

Trong quĂ trẳnh lm luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng sai sõt, rĐt mong ữủ

sỹ gõp ỵ hƠn tẳnh