bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Trang 1BÀI TẬP NHÓM
Bắt đắng thức và phương trình toán lớp 10
Trang 2
LỜI NÓI ĐẦU Bắt đẳng thức, bất phương trình là một chủ đề trọng tâm trong
chương trình toán phổ thông Trong tài liệu này nhóm trình bày phân loại các mục tiêu trong giáo dục toán ở chương “Bắt đăng thức và bất phương trình” (sách Đại số 10-nâng cao) với các nội dung:
-Nhận biết
-Thông hiểu
-Vận dụng
-Những khả năng bậc cao
Thông qua các ví dụ cụ thể nhóm phân tích và làm rõ những nội dung phân
loại các mục tiêu giáo dục
Do thời gian ngắn nên các kết quả của nhóm còn hạn chế, nội dung
còn nhiều thiếu sót Nhóm mong nhận được sự góp ý của Thầy hướng dẫn
và các bạn trong lớp
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2010
Nhóm 10-Toán 4A
Trang 3
A NHẬN BIẾT
Là một mục tiêu trong giáo dục toán học, giúp học sinh định hình
được dạng bài tập, bài toán cần làm, cần thực hiện
Để làm rõ hơn về vấn đề này, chúng ta đi cụ thể vào vấn đề giải bất đắng thức và bất phương trình
Cụ thể, trong chương bất đẳng thức và bất phương trình học sinh cần nhận biết được hai bất đẳng thức quen thuộc là bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức bunhiacopxki, các bất đẳng thức, bất phương trình thường gặp như bắt phương trình chưa trị tuyệt đối, bất phương trình chứa căn Và
cách vận dụng của chúng
Ngoài ra chương bất đẳng thức và bất phương trình còn yêu cầu học
sinh biết được khái niệm hệ bất phương trình, bất đẳng thức có điều kiện
I Bất đắng thức
VDI Chứng minh rằng |x| + 1 > 1
Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức có dạng trị tuyệt đối
VD2: cho x,y thỏa mãn x/1—y? + yv1— x? =1
Chứng minh rằng x?+y?= 1
Học sinh nhận biết bất đăng thức đã cho có dạng bất đẳng thức Bunhiacopsky nếu nhận ra
1= (I= +y/1-#)
VD3: chứng minh rằng: x” + y” > 2xy, với mọi số thực x, y
Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức Cauchy
II Bắt phương trình
VDI Giải bất phương trình
(x—2)(x—3)(x—6) > 0
Trang 4
Học sinh nhận biết đây là bất phương trình tích của các nhị thức bậc
nhất, từ đó nhận định giải bất phương trình trên bằng cách xét dấu nhị thức bậc nhất
VD2 Giải bất phương trình
x? —-6x+5>0
Hoc sinh nhận biết đây là bất phương trình bậc hai một ấn, từ đó
nhận định giải bất phương trình bằng cách mở dấu trị tuyệt đối để đưa về
các bất phương trình đơn giản
VD3 Giải bất phương trình
Vx?— 2x— 15< x—3
Học sinh nhận biết đây là bất phương trình chứa căn thức, từ đó nhận
định giải bất phương trình bằng cách bình phương hai về để làm mất dấu
căn thức
VD4 Giải bất phương trình: 2* > 5*
Học sinh nhận biết đây là bat phương trình mũ, nếu logarit co số 2
hai về của bất phương trình thì có thê đưa về bất phương trình đơn giản
B THONG HIEU
Yêu cầu học sinh nắm được ý nghĩa của tài liệu, khả năng giải thích hay suy ra ý nghĩa của các dữ liệu, mở rộng lập luận và giải các bài toán mà
ở đó sự lựa chọn các phép toán là cần thiết Mục tiêu giáo dục toán trong
phạm trù thông hiểu bao gồm 3 loại : chuyên đổi, giải thích và ngoại suy
Trong chương bắt đẳng thức và bất phương trình, quá trình chuyển đổi đòi hỏi học sinh biết chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song
Giải thích chính là sự phân tích một bài tập thành những giả thiết cụ thể,
lập luận với những giả thiết đó rồi đi đến cách giải bài toán
Ngoại suy gắn liền với khả năng của học sinh nhằm mở rộng bài toán, tức là học sinh nắm được những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay tác dụng của bài toán
Trang 5VDI Tìm m để hệ sau có nghiệm
fx + 2x—ms0
Giải
„2 +2x<m
1)c© F
i) 1n < —x?
Khi đó, trên cùng một hệ trục tọa độ ta có đồ thị của hai hàm số
1; =x?+2x
V2 = —x?
2
Dé thiy, =x? +2x vay, =—x
Bài toán đưa đến tìm?n sao cho có một phần đồ thị của hàm số
y = m nằm trên đồ thị hàm số 1; và nằm dưới đồ thị hàm số yz Căn cứ
vào đồ thị của hai hàm số đó học sinh đi đến kết luận —1 < ?n < 0 thỏa mãn bài toán
Đây là quá trình trí tuệ về sự chuyên đổi ý tướng từ dạng ngôn ngữ bat phương trình thành dạng ngôn ngữ đồ thị Nếu không chuyên đôi được như vậy học sinh sẽ không có cách giải bài toán này
4
Trang 6
VD2 Cho 2 số a,b > 0 Chứng minh rằng
a? + b > ab(a + b) (2)
Ching minh
(2) = (a+ b)(a? — ab +b?) = ab(a+b)
= (a? —ab+b?) = ab
= a? +b*>2ab (dung theo bat dang thuc Cauchy)
Trong ví dụ này, học sinh phải phân tích được giá thiết bài toán thật cụ thê a,b > 0 nhằm áp dụng bắt đẳng thức Cauchy
a3 +b = (a + b)(a? — ab + b3) theo hằng đẳng thức
Như vậy hai về của bất đẳng thức sẽ nhóm được a + b chung, rồi giản ước
vàa+b >0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được bài toán
Kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải hiểu trong ví dụ này vẫn là bất đẳng thức Cauchy
a? + b2 >2ab với a,b>0
Từ đó, học sinh có thể ứng dụng nó để mở rộng thành những bài toán khác
như :
a?+ bˆ+c?> ab + bc + ca
VD3: cho a,b,c > 0,ø+b +c = 1 Chứng minh rằng:
1 1 1
—+-+->9
Chứng minh:
—+- + =É*y += )@+ b+c)
> (Vit Gb + Vey = 9 =9
Trang 7
Thông hiểu trong bài toán được thẻ hiện ở chỗ học sinh phải phân
tích giả thiết bài toán cho là a,b,e > 0, a+ b + e = 1 để làm gì?
Học sinh biết nhân vào về trái với a + b + c sau đó áp dụng bất
đăng thức Bunhiacopsky Vấn đề là phải hiểu một cách chắc chắn về bất đẳng thức này Trong bài toán, thông hiểu còn được thể hiện ở chỗ học
sinh có thể chuyển đối ý tưởng giải bài toán bằng bất đẳng thức Bunhiacopsky thành ý tưởng giải bằng bất đẳng thức Cauchy
a tb + =( 745 +- )(a+ b+c)
> 3l 3Vabe =9 abc
VD4 Giai bất phương trình sau
x?—9x+ 14
Giai
hope 2 x#l
điêu kiện: xˆ — 5x +4 #0© tếua
x?-9x+14>0, {xix 414 <0
x>7
eS x<1
2<x<4
Bài toán yêu cầu học sinh nắm chắc về cách xét dấu của tam thức
bậc hai Đồng thời phải hiểu được kiến thức cũ
P>0 °lA<0,p<0
Khi đó, phân tích bài toán ra hai trường hợp, giải từng trường hợp rồi lấy nghiệm
Không chỉ yêu cầu học sinh thong hiểu kiến thức về tam thức bậc hai
mà còn đòi hỏi gợi lại suy nghĩ của học sinh một hệ thống kiến thức cũ khi kết hợp nghiệm
Trang 8Trên cơ sở đó, học sinh có thể ứng dụng bài toán trên để có ngững kết quả khác :
(x? —5)(x? + 2x-3)<0 x?—2x—3
————> x-5
C VAN DUNG
Là quá trình sử dụng ý tưởng, quy tắc, phương pháp chung vào các tình huống mới các câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm quen thuộc vào các tình huống không quenn thuộc, có nghĩa là phải áp dụng kiến thức vào việc hiểu các kỷ năng về các tình huống mới hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới
a+b+c+d=7
VDI: Cho(,2 +22 22+ g2 — 13
Chứng minh rằng: 1 < a,b,c,d < >
Học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này, cụ
thể là:
Tacó:z+b+c+d =7
=> (7 —a)? =(b+c+d)? <= b?+c?+d? ( bất đẳng thức Bunhiacopsky)
= (7 -a)* <13-a’
= 4a?— 14a +10< 0
5
2
=>l<qa<
Do vai trò bình đẳng cua a, b, c,d suy ra điều phải chứng minh
VD2 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
a + b + c < | a + b + Cc a+b b+c cta b+c c+a a+b
Học sinh vận dụng bất đăng thức cói và các bất đăng thức cơ bản đả
học từ trước để giải, cụ thể
Trang 9Theo bất đẳng thức Cauchy
bs 2b c+a at+b+c
Cc >———— 2c a+b qa+b+c
b+c c+a a+b
Tương tự ;
Mặt khác ta có
a+b+c a+ba+b+c b+ca+b+c c+a
Tir (a) va (b) suy ra điều phải chứng minh
VD3 Chứng minh rằng
Vx? + xy+y? +Vx?+xz+z? > JjJy?+yz+z?
Học sinh vận dụng bắt đẳng thức vectơ vào để giải bài toán đã cho, cụ thé; Chọn ä=(x+Š, -Šy) =(x +227)
=b-ä= y v3 227”2 +3,
Ta có : |đ|/x? + xy + y2, |b| = Vx? + xz + z?
|P - ä| = Wy? + yz+z?
Trang 10Mà lđ| + || > |b— đ| =>đpem
VD4: giải bất phương trình :
Học sinh áp dụng phương pháp đặt ân phụ để đưa về phương trình bậc hai và sau đó áp dụng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai để giải bat
phương trình, cụ thể
ĐặtX = +? > 0 Khi đó
2
(1) Trở thành X? — 5X +6 < o={ Š x.¿=“1< X <6
>11<x”<6© —V6<x< —1
1<x<w6 VDS5 : cho ø,b,c,> vàa+b+c=1
Chứng minh rằng: (1 ++) (1 +2) (1 ++) > 64
Ở đây, học sinh nhận biết bất đẳng thức đã cho có dạng bất đắng thức Cauchy nếu nhận ra
1 1
1+—=_-(a+a+b+c)
aoa 142-2 +b+b+ 5 pet c)
1 1 1+- = -(a+b+c+c)
c c VD5 Giai bat phuong trinh
[e+ ave=T+ x—2ve=1>3
Hoc sinh nhan biét
x +2Vx—1=x-1+42Vx—-1+1=(Vx-1+1),
x—2Wx~1=x—1—2Vx—=1+1=(Vx=1- 1),
từ đó đưa biêu thức ra ngoài dấu căn lớn và giải
Trang 11D NHUNG KHA NANG BAC CAO
Là một phạm trù rộng, bao gồm các phạm trù con, phân tích, tổng
hợp, đánh giá Là việc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phán xét đựa trên kết quả của lời giải bằng việc phân tích bài toán, học sinh phải nhận ra công thức hoặc quy luật mà trước đó học sinh chưa thấy rõ rang hoặc chưa phát hiện ra
VDI: cho ba số thực a, b,c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chimg minh rang:
bc + ca + ab >> 3
a(b+c) b?(at+c) c?(at+b) 2
Giai:
_ ø*“(b+c) b“(c+a) c*(a+b)
++(a+b)—2(a+b+e)
>2 22+ [a1 fo 4a*(b+c) 4b*(a+c) 4c*(a+b) -(a+b+o) 2
=(a+b+ce)— z(g+b+©) = 2(g+b+c)
>=3Vabe Nie = Nw : Đpcm
Thông qua những vấn đề của bài toán và lời giải học sinh đặt ra
những thắc mắc:
+ Vì sao tử số có bc, ca, ab liệu giả thiết œbc = 1 có phải sử dụng
đây không
+ Vì sao lại cộng *(b +c) *(c +a), s(a + b) vào mà không phải
là lượng khác
10
Trang 12
Qua việc phân tích giả thiết học sinh mới nhận ra (hoặc được sử dụng hưởng dẫn của giáo viên) về sơ đồ điểm rơi
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = e = 1 để khử b +c,c+a,a+b dưởi mẫu
Ta mới cộng vào ø(b + €), œ(c + a), œ(a + b)
Nén
VT = , + 204 )+ + J(a+ö+
+ a+b)-z(a+b+o),
rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra Dpcm
ab>0
VD2( Tp ca tim MinS, voi S = 5a + 6b +Š + =
Giải
Ss =3a+3b+(<+2a)+(3b4+—)>94+224+26=23
Mặc dù là dùng sơ đồ điểm rơi, nhưng không phải khi nào cũng suy đoán theo kiểu đối xứng:
a+b=3=a=b=
thì sẽ không giải được bài toán
Hai ví dụ trên yêu cầu sự chia nhỏ thông tin thành những phần phủ
hợp và tổ chức chúng lại cho các mối quan hệ trong một bài toán những khả năng bậc cao của học sinh còn dược thẻ hiện ở chỗ học sinh biết phân biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nao cé thé phai tao nén
để minh chứng cho những quy tắc nào đó Hay cụ thể hơn, là việc phân tích kiểm định lời giải của một bài toán là đúng hay sai
VD3 : Hỏi lời giải sau đây là đúng hay sai :
11
Trang 13
\x?+3x+2+ 2x? +6x+5 <2x?+9x+7 (5)
x?+3x+2 >0 x<-5
Điều kiện :‡ x?+6x+5 >0 = [ks =
2x?+9x+7 >0
()â ÿVŒœ+1)(x+2)+/Œ+1)(œx+5) < /Œ+1)(x+7) (Œ9
(***
)
âvdWx+2+Vx+5 <V2x+7
â2x+7 +2j(x+2)(x+5)< 2x+7
= J(x+2)(x+5) <0
â(x+2)(x+5) =
x=-=5
“đèy =-2
Đối chiếu điều kiện suy rax = —5 là nghiệm của bất phương trỡnh Như vậy, chỉ khi học sinh nắm chắc kiến thức chương trỡnh về bất
phương trỡnh, và kiến thức từ trước thỡ học sinh mới đủ lập luận, chứng cứ
để cú thể phỏt hiện ra những bước giải sai lầm Cụ thể :
Với điờu kiện l > - thỡ bước biờn đụi (*) <â> (**) khụng đỳng
vWŒô+1)ôx+2) = vVx+l Vx+2 khụng đỳng trong trường hợp
x<—B5
Tương tu cho J(x + 1)(x +5) va J (x + 1)(2x+7)
Bước biến đổi (**) â> (***) là sai vỡ cũn sút trường hợp V + 1 = 0, dẫn đến sút nghiệm x = —1
Những khả năng bậc cao cũn được thể hiện ở chỗ học sinh cú khả
năng sang tạo, xõy dựng được những cỏch giải mới, dể hiểu hơn, thực dụng
hơn là đi theo lý thuyết đó học
12
Trang 14
VD4 Giải bất phương trình : |x +1| > |1— 2*x| (6) Theo lý thuyết, học sinh sẽ xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt
đối, để mở dấu trị tuyệt đối đó, rồi giải theo 3 trường hợp
x2;,x< -l,và l<x<-
đưa ra đáp số 0 < +x < 2 là tập nghiệm của bất phương trình
Tuy nhiên, nếu học sinh có khả năng tư duy tốt thì có thể phát hiện cách
giải mới hay hơn Ví dụ :
(6) © (|x + 1)? > (|1— 2xl)°
©x?+2x+1>1-4x+4+7
= 3x*- 6x <0
©0<x<2
Ngoài ra, mục tiêu của phạm trù các khả năng bậc cao còn được thể
hiện ở chỗ đòi hỏi học sinh
+ Phân biệt một kết luận từ các mệnh đề hỗ trợ nó;
+ Có được các khám phá toán học và tổng quát hóa từ nhiều kết quả;
+ Đưa ra được một kế hoạch hay phát triển một quy tắc giải toán;
+ Trừu tượng hóa, kí hiệu hóa và tổng quát hóa (trong cùng một bài
toán);
+ Có thể giải các bài toán quy nạp
13
Trang 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đại số 10-nâng cao,NXB Giáo dục 2007
2 Tài liệu đánh giá trong giáo đục Toán, Nguyễn Đăng Minh Phúc
3 Phương pháp giải Toán Đại số,Lê Hồng Đức -Lê Bích Ngọc-Lê Hữu
Trí, NXB Hà Nội 2005
4 Chuyên đề bất đẳng thức, Võ Giang Giai, NXB ĐHQGHN 2002
14