3. ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THANH THẲNG

Hình 3.1 Để đáp ứng giả thiết 5, trớc khi giải bài toán ổn định ta cần xác định lực dọc trong các thanh của hệ chịu tải trọng đã cho bất kỳ hình 3.1a theo các phơng pháp trong Cơ học kết

3 ổn định của hệ thanh thẳng

3.1 Các giả thiết

Khi nghiên cứu ổn định của hệ thanh ta chấp nhận các giả thiết dới đây nhằm

đơn giản hóa việc xác định tải trọng tới hạn:

1 Vật liệu của hệ thanh làm việc trong giới hạn đàn hồi.

2 Các nút của thanh là tuyệt đối cứng Do đó chuyển vị tại các đầu thanh quy tụ tại nút

đợc xem nh nhau.

3 Các thanh xem nh không co dãn Trớc và sau biến dạng khoảng cách theo phơng ban đầu giữa các nút của thanh không thay đổi

4 Khi xác định chuyển vị trong hệ chỉ xét đến ảnh hởng của biến dạng uốn do mômen

và do lực dọc phát sinh trớc khi hệ mất ổn định Bỏ qua ảnh hởng của gia số lực dọc phát sinh sau khi mất ổn định.

5 Tải trọng tác dụng trên hệ chỉ đặt tại các nút Những tải trọng này chỉ gây ra kéo hoặc nén mà không gây ra uốn ngang trong các thanh khi hệ cha mất ổn định

Trong thực tế, tải trọng thờng không chỉ đặt ở nút mà có thể đặt ở ngoài nút nên

sẽ gây ra trong các thanh hiện tợng uốn cùng với nén hoặc kéo

Hình 3.1

Để đáp ứng giả thiết 5, trớc khi giải bài toán ổn định ta cần xác định lực dọc trong các thanh của hệ chịu tải trọng đã cho bất kỳ (hình 3.1a) theo các phơng pháp trong Cơ học kết cấu, tiếp đó xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn cho hệ chịu tải trọng chỉ đặt ở nút với giá trị lực dọc trong các thanh vừa tìm đợc

ở khâu trên (hinh 3.1b) theo các phơng pháp sẽ trình bày trong chơng này

Trớc khi nghiên cứu các phơng pháp tính ta cần đặt vấn đề: có thể áp dụng đợc

nguyên lý cộng tác dụng trong bài toán ổn định của hệ thanh thẳng hay không?

Để giải đáp, ta sẽ tìm hiểu sự liên hệ giữa chuyển vị và tải trọng tác dụng trong những thanh chịu uốn cùng với nén

Trong bài toán ổn định, ngoài ảnh hởng của biến dạng uốn ngang do tải trọng ngang, nhất thiết phải kể đến ảnh hởng của biến dạng uốn dọc do lực dọc gây ra khi tính chuyển vị Khi biến dạng nhỏ, giữa chuyển vị và tải trọng ngang có sự liên hệ tuyến tính còn giữa chuyển vị và lực dọc P có sự liên hệ phi tuyến

Nếu bài toán ổn định đợc nghiên cứu theo giả thiết trên thì khi bắt đầu mất ổn

định, hệ ở trạng thái biến dạng rất gần với trạng thái ban đầu, các lực ngang chỉ phát sinh sau khi hệ bị mất ổn định với những giá trị rất nhỏ Ngoài ra, nếu không coi các lực dọc P là tải trọng mà quy ớc xem chúng nh là một trong các tính chất đặc trng P của hệ thì có thể phát biểu là giữa chuyển vị và tải trọng

ngang có sự liên hệ tuyến tính

Trên cơ sở đó ta có thể kết luận: trong bài toán ổn định của hệ thanh thẳng có

thể áp dụng đợc nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang, mỗi tải trọng ngang xảy ra kèm theo yếu tố dặc trng P của hệ.

3.2 Cách tính ổn định của khung theo phơng pháp

chuyển vị

a Phản lực và nội lực trong thanh thẳng chịu nén hoặc kéo khi liên kết chuyển vị cỡng bức

Tơng tự nh trong bài toán kiểm tra điều kiện bền, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu phơng pháp chuyển vị ta cần lập sẵn những kết quả về phản lực và nội lực trong các phần tử mẫu là những thanh thẳng, tiết diện không đổi có liên kết khác nhau ở hai đầu khi liên kết chuyển vị cỡng bức Trong bài toán ổn định, các phần

tử mẫu còn chịu lực nén hoặc kéo P, nhất thiết phải kể đến ảnh hởng của P

Trớc khi đi vào các phần tử

mẫu cụ thể, ta nghiên cứu

tr-ờng hợp tổng quát: thanh ab,

tiết diện không đổi, có liên

kết bất kỳ ở hai đầu, chịu lực

nén P nh trên hình 3.2.

• G iả thiết cho biết:

Hình 3.2

ϕa và ϕb — góc xoay tại đầu a và đầu b của thanh với quy ớc chiều dơng là chiều

quay thuận chiều kim đồng hồ;

∆ — chuyển vị thẳng tơng đối giữa hai đầu a, b theo phơng vuông góc với

trục thanh, chiều dơng quy định nh trên hình 3.2

Dới tác dụng của lực nén P và các chuyển vị đã biết, thanh bị biến dạng nh trên

hình 3.2

• y êu cầu: tìm các đại lợng M a , M b , Q a và Q b tại các đầu thanh và trên cơ sở đó

xác định nội lực trong thanh

Từ các điều kiện cân bằng ∑ y = 0 và ∑ M b = 0 ta tìm đợc:

Q a = Q b = — [ ∆] [M M α EI∆]

l

1 P

M M l

b a b

với: α2 = P / ei.

Vận dụng các phơng trình (2.4), (2.5) và (2.6) với các thông số ban đầu y(0) = 0;

y'(0) = ϕa ; M(0) = M a và Q(0) = Q a xác định theo (3.1), ta có:

y(z) =

α

ϕa sinα z

-EI

M

2

a

α (1- cosα z) +[M M EI ]( z EI sin l. z )

3

2 b a

α

α α

∆

+

y'(z) = ϕa cosα z

-EI

M a

α sinα z +[ ]( 1 cos EI l. z )

EI M

α

α

∆

+

M(z) = α eiϕa sinα z + M a cosα z - [ ]sin l z

EI M

α

α

∆ α +

Trong các phơng trình trên, M a và M b là các đại lợng cha biết, sẽ đợc xác định

theo các điều kiện biên tại đầu b: khi z = l ta có y(l) = ∆ và y'(l) = ϕb

y(l) =

α

ϕa sinαl

-EI

M

2

a

α (1- cosαl) +[ ]( l EI sin l. )

EI M

α

α α

∆

+

y'(l) = ϕa cosαl

-EI

M a

α sinαl +[M M EI ]( 1 cos EI l. )

2

2 b a

α

α

∆

+

Giải hệ hai phơng trình trên ta xác định đợc M a và M b theo các chuyển vị ϕa , ϕb

và ∆ ; tiếp đó tìm đợc Q a = Q b theo (3.1) Kết quả:

M a = 2i







l )

b 2 a

1ϕ à ϕ à à ∆

M b = 2i







l )

b 1 a

2ϕ àϕ à à ∆

Q a = Q b = — l ( + )( + )− l

i 2

3 b a 2

1 à ϕ ϕ à ∆

trong đó: i =

l

EI

P ;

v 2

v tg 2

v tgv tgv 2

v

1

−

−

ì

=

v 2

v tg 2

v sin v v sin 2

v

2

−

−

ì

=

v 2

v tg 2 2

v tg v 2

2 1

−

ì

= +à

v 2

v tg 2

v 2

3

−

ì

=

Trên cơ sở các biểu thức (3.2), (3.3), (3.4) ta dễ dàng tìm đợc phản lực tại hai

đầu thanh cho các phần tử mẫu thờng gặp khi tính ổn định của hệ thanh theo phơng pháp chuyển vị Kết quả cụ thể tơng ứng với từng trờng hợp đợc ghi trên bảng 3.1

Chẳng hạn, với phần tử mẫu 1 trong bảng 3.1 là phần tử thanh có một đầu ngàm, một đầu khớp, khi đầu ngàm xoay một góc bằng đơn vị ta thực hiện nh sau:

• Các điều kiện đã biết ở đầu thanh: ϕa = 1; ∆ = 0 ; M b = 0.

• Từ biểu thức (3.3) và các điều kiện đã biết ở trên ta tìm đợc: ϕb = -à2 /à1.

• Thay các kết quả tìm đợc vào biểu thức (3.2) và (3.4), ta đợc:

M a = 3i ϕ1(v) ; Q a = Q b =

-l

i

3 ϕ1(v) với ϕ1(v) =

) v tgv ( 3

tgv

v 2

− Cũng thực hiện tơng tự nh vậy đối với các trờng hợp khác trong bảng 3.1 Ngoài các dạng quen thuộc trong bài toán kiểm tra điều kiện bền (các trờng hợp 1 ữ 5 trong bảng 3.1), khi kiểm tra ổn định ta có thể gặp các dạng phần tử mẫu nh trờng hợp 6 và 7 trong bảng 3.1 Để có đợc các số liệu cho những trờng hợp này ta thực hiện nh sau:

♦ Thanh chịu nén có một đầu ngàm, một đầu tự do, đầu ngàm chuyển vị

xoay cỡng bức bằng đơn vị (trờng hợp 6, bảng 3.1):

• Các điều kiện đã biết ở đầu thanh: ϕa = 1; M b = 0; Q a = Q b = 0

• Từ (3.1) và phơng trình y(z) ta lập các điều kiện Q a = Q b = 0 và y(l) = ∆ sẽ tìm đợc: ∆ =l tgv /v.

• Xác định M a theo ∆: M a =- P∆ =

-v

tgv l l

EI v

2

2

ì = i v tgv

♦ Thanh chịu nén có khớp tựa ở hai đầu, hai đầu thanh chuyển vị thẳng

• Các điều kiện đã biết ở đầu thanh: : ∆ =1 ; M a = M b = 0

• Các lực Q a = Q b đợc xác định theo điều kiện cân bằng ∑ M b = 0 Kết quả:

Q a = Q b = - i v2 / l2

B Nội dung phơng pháp chuyển vị

Khi vận dụng phơng pháp chuyển vị để giải bài toán ổn định ta cũng thực hiện tơng tự nh khi kiểm tra điều kiện bền đã biết

1 Hệ cơ bản

Trong bài toán ổn định, ta cũng lập hệ cơ bản của phơng pháp chuyển vị tơng

tự nh khi kiểm tra điều kiện bền

Ví dụ với hệ trên hình 3.3a, lập hệ cơ bản nh trên hình 3.3b:

Hình 3.3

3 Hệ phơng trình chính tắc

Trong bài toán ổn định, tải trọng chỉ đặt tại nút cho nên khi hệ cha mất ổn

định thì trong các thanh chỉ phát sinh lực nén hoặc kéo mà không phát sinh mômen uốn Nh vậy, biểu đồ ( o

P

M ) do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản sẽ không tồn tại và do đó các số hạng tự do R kP của hệ phơng trình chính tắc đều

bằng không Lúc này, hệ phơng trình chính tắc trở thành hệ phơng trình thuần nhất:

r 11 Z 1 + r 12 Z 2 + + r 1n Z n = 0;

r 21 Z 1 + r 22 Z 2 + + r 2n Z n = 0;

(3.5)

r n1 Z 1 + r n2 Z 2 + + r nn Z n = 0.

3 Cách xác định các hệ số của hệ phơng trình chính tắc

Về ý nghĩa vật lý, hệ số r km là phản lực đơn vị tại liên kết k đặt thêm vào hệ

do chuyển vị cỡng bức tại liên kết m đặt thêm vào hệ và do các lực nén hoặc

kéo gây ra trong hệ cơ bản Do đó, để xác định các r km ta cần vẽ biểu đồ (

m

M ) do chuyển vị cỡng bức Z m = 1 tại liên kết m và do các lực nén hoặc kéo

gây ra trong hệ cơ bản; tiếp đó áp dụng phơng pháp tách nút hoặc mặt cắt để tìm phản lực trong liên kết k.

Ngoài ra, cần lu ý là định lý tơng hỗ về phản lực đơn vị: r km = r mk vẫn đợc

nghiệm đúng trong bài toán ổn định

4 Phơng trình ổn định

Hệ phơng trình thuần nhất (3.16) đợc thỏa mãn với hai khả năng:

∗ Tất cả các ẩn Z i đều bằng không Lúc này, các nút trong hệ không chuyển

vị; do đó hệ vẫn ở trạng thái cân bằng ban đầu Nh vậy, hệ ổn định, tải trọng cha đạt đến giá trị tới hạn

∗ Tất cả hoặc một số ẩn Zi khác không Lúc này, các nút trong hệ có phát

sinh chuyển vị; do đó hệ có dạng biến dạng mới khác với dạng ban đầu tức

là hệ bị mất ổn định Điều kiện tồn tại các nghiệm Z i là định thức các hệ số của hệ phơng trình chính tắc (3.5) phải bằng không:

D =

nn 2

1

n 22

21

n 12

11

r

r r

r

r r r

r r

Các hệ số r km phụ thuộc lực nén hoặc kéo P cho nên từ điều kiện (3.6) ta có

thể tìm đợc giá trị của lực P, đó là lực tới hạn cần tìm Điều kiện (3.6) đợc

gọi là phơng trình ổn định theo phơng pháp chuyển vị.

Với cách giải bài toán nh trên ta cha tìm đợc giá trị của các ẩn Z i vì những ẩn này là vô định Để tìm đợc dạng biến dạng của hệ một cách định tính ta có thể quy ớc gán cho một ẩn nào đó một giá trị bất kỳ, chẳng hạn bằng đơn vị, rồi xác định các ẩn khác theo hệ phơng trình chính tắc (3.5)

Ví dụ 3.1 Xác định lực tới hạn cho hệ khung trên hình 3.4a.

Hệ có hai ẩn, hệ cơ bản nh trên hình 3.4b Trên hình ghi độ cứng đơn vị của các thanh theo i o = ei / l.

Thông số v trong các thanh chịu nén:

• Thanh đứng bên phải: v1 = l P 1 EI=l P EI =v o

• Thanh đứng bên trái: v2 = l P 2 EI =l 0 , 8 P EI = 0 , 8 v o = α v o

12 22 11 22 21

12

11 r r r r

r

r r

−

Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh trên hình 3.4c, d áp dụng phơng pháp tách nút hoặc mặt cắt, ta xác định đợc:

r 11 = 4i oϕ2 (α v o ) + 3i o +8i o = i o [4ϕ2(α v o ) + 11] ;

r 12 = r 21 = 4i o ; r 22 = 4i oϕ2 (v o ) + 8i o = 4i o [ϕ2 (v o ) + 2]

Hình 3.4

Phơng trình ổn định trong trờng hợp này sẽ là:

4i o 2 [4ϕ2 (α v o ) + 11] [ϕ2 (v o ) + 2] — 16i o 2 = 0.

Hay: ϕ2 (v o ).ϕ2 (α v o ) + 2ϕ2 (α v o ) + 2,75ϕ2 (v o ) + 4,5 = 0. (a)

Có thể giải phơng trình siêu việt này bằng cách thử dần Để giảm nhẹ việc tìm nghiệm, trớc tiên ta hãy xác định phạm vi có thể xảy ra nghiệm v o của phơng trình Vì v o tỷ lệ thuận với tải trọng tới hạn và xuất phát từ ý nghĩa vật lý của bài toán là giá trị tải trọng tới hạn cần tìm phải nằm trong khoảng giữa hai tr-ờng hợp: khi hai lực P 1 = P 2 cùng bằng P và khi hai lực P 1 = P 2 cùng bằng 0,8P Do đó, ta có thể tìm cận dới v' và cận trên v'' của nghiệm v o từ phơng trình (a) nh sau:

• Khi P 1 = P 2 = P tức là v 1 = v 2 = v' ; phơng trình (a) có dạng:

Nghiệm nhỏ nhất của (b): ϕ2 (v') = — 1,307; suy ra: v' = 5,46

• Khi P 1 = P 2 = 0,8P tức là v 1 = v 2 = α v'' với α = 0 , 8 = 0,89443; phơng

trình (a) có dạng:

ϕ22 (α v'') + 4,75ϕ2 (α v'') + 4,5 = 0. (c ) Nghiệm nhỏ nhất của (c): ϕ2 (α v'')= —1,307; suy ra: α v''= 5,46 và v'' = 6,10.

Nh vậy, nghiệm v o cần tìm nằm trong khoảng: 5,46 < v o < 6,10.

Nếu gọi: ∆ = ϕ2 (v o ).ϕ2 (α v o ) + 2ϕ2 (α v o ) + 2,75ϕ2 (v o ) + 4,5 (d) thì: • khi v o = 5,46 ta có: ∆ > 0;

• khi v o = 6,10 ta có: ∆ < 0.

Trong lần thử thứ nhất, chọn v o = 5,8 Sử dụng công thức ϕ2(v) ở cuối bảng 3.1

hoặc bảng 2 trong phụ lục của tài liệu [1] ta tìm đợc giá trị của biểu thức (d):

∆ = ϕ2 (5,8).ϕ2 (0,89443.5,8)+2ϕ2 (0,89443.5,8)+2,75ϕ2 (5,8)+4,5= —2,54.

Do đó, phạm vi xảy ra nghiệm v o của phơng trình (a) đợc thu hẹp nh sau:

5,46 < v o < 5,8.

Tiếp tục thu hẹp dần phạm vi qua các lần thử tơng tự, cuối cùng ta đợc:

v o = 5,56; suy ra: P th = v o 2 ei / l 2 = 30,9 ei / l 2

Ví dụ 3.2 Xác định lực tới hạn cho hệ

khung trên hình 3.5a

Hệ có hai ẩn, hệ cơ bản nh trên hình

3.11b Trên hình ghi độ cứng đơn vị

của các thanh theo io = ei /l.

Thông số v trong thanh chịu nén:

v =

EI

P

Phơng trình ổn định:

D =

22 21

12 11

r r

r r

12 22

11 r r

Hình 3.5

Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh trên hình 3.11c, d áp dụng phơng pháp tách nút, ta tìm đợc: —

r 11 = 7,5i ; r 12 = r 21 = —1,5i / l

Để xác định r 22 ta vận dụng phơng pháp mặt cắt và tìm lực cắt trong thanh chịu

nén theo số liệu ở hàng thứ 7 của bảng 3.1 Kết quả:

r 22 = 2 l

i (1,5 — v 2 )

Phơng trình ổn định trong trờng hợp này sẽ là:

2

2

l

i [7,5(1,5 — v 2 ) — 1,5 2] = 0 Hay: 7,5 v 2 — 9 = 0.

Suy ra: v 2 = 1,2; và P th = v 2 EI / l 2 = 1,2 EI / l 2

Ví dụ 3.3 Cho hệ khung nh trên hình 3.6, xác định giá trị tới hạn của P.

Hệ có 6 ẩn gồm 3 chuyển vị xoay và 3 chuyển vị thẳng tại các nút 1, 2, 3 Tuy nhiên, trong trờng hợp này ta có thể lập hệ cơ bản với 3 ẩn là 3 chuyển vị xoay tại các nút 1, 2, 3 nh trên hình 3.7a Thật vậy, điều quan trọng khi quyết định

số ẩn và lập hệ cơ bản tơng ứng là trong hệ cơ bản chỉ tồn tại các phần tử đã

đ-ợc nghiên cứu trớc để có thể dễ dàng vẽ đđ-ợc biểu đồ mômen uốn trong hệ Với

hệ cơ bản trên hình 3.7a, khi một nút có chuyển vị xoay cỡng bức: thanh ngang làm việc nh phần tử thanh có một đầu ngàm, một đầu khớp (đã quen thuộc); thanh đứng sẽ làm việc nh phần tử thanh có đầu ngàm, một đầu ngàm trợt tự do theo phơng ngang tơng ứng với số liệu 5 trong bảng 3.1 Nh vậy ta dễ dàng vẽ

đợc biểu đồ mômen uốn trong hệ cơ bản trên hình 3.7a khi nút chuyển vị xoay cỡng bức

Xác định lực nén và thông số v trong các thanh chịu nén:

• Thanh 0-1: P 1 = 2,4P; v 1 = h P 1 EI =h 2 , 4 P EI = v ;

• Thanh 1-2: P 2 = 1,4P; v 2 = h P 2 EI=h 1 , 4 P EI = 0,763 v = α v

• Thanh 2-3: P 3 = 0,4P; v 3 = h P 3 EI =h 0 , 4 P EI = 0,408 v = β v

Các biểu đồ mômen uốn đơn vị nh trên hình 3.7b, c, d Từ các biểu đồ ta xác

định đợc:









 + +14 , 85

v tg

v tgv

v

α









 + +14 , 85

v tg

v v tg

v

β

β α









 +14 , 85

v tg

v

β

12 = r 21 = — i

v sin

v

α

α ;

r 13 = r 31 = 0; r 23 = r 32 = — i

v sin

v

β

Phơng trình ổn định: D =

33

2 23 22 11

2 12 33

32

23 22 21

12 11

r

r r r

r r

r 0

r r r

0 r r

− +

−

Thay giá trị các phản lực đơn vị vào phơng trình trên, ta đợc:











  + 

− +

+ +



















85 , 14 v tg v

v sin

v 85

, 14 v tg

v v tg

v 85 , 14 v tg

v tgv

v

v sin

β β β β β

β α α α

α α

α

= 0.

Sau khi giải phơng trình theo phơng pháp thử dần kết hợp với bảng 1 trong phụ lục của tài liệu [1] ta tìm đợc giá trị tới hạn của thông số v = 2,85 Suy ra:

P th = v 2

2

h , 2

EI = 3,38 2

h

EI

3.4 ổn định của dầm liên tục đặt trên các gối cứng

Xét dầm liên tục có tiết diện không đổi trong từng đoạn nhịp và chịu các lực dọc trục đặt tại các gối tựa nh trên hình 3.13 Lực dọc trục trong nhịp thứ i đợc biểu

thị theo một thông số cần tìm P qua các hệ số ki đã biết nh sau Ni = kiPi

Hình 3.13 Khi tính hệ theo phơng pháp chuyển vị ta lập hệ cơ bản nh trên hình 3.14a

Trong trờng hợp này, phơng trình chính tắc thứ i biểu thị điều kiện phản lực

mômen trong liên kết đặt thêm vào thứ i bằng không sẽ chỉ bao gồm ba số hạng:

r i(i- 1 ) Z i -1 + r ii Z i + r i(i+ 1 ) Z i+ 1 = 0; với i = 1, 2, …, n. (3.9)

Phơng trình (3.9) còn đợc gọi là phơng trình ba góc xoay.

Về ý nghĩa vật lý, hệ số r im là phản lực đơn vị dới dạng mômen tại liên kết i đặt

thêm vào hệ do chuyển vị xoay cỡng bức tại liên kết m đặt thêm vào hệ và do các

lực nén hoặc kéo gây ra trong hệ cơ bản Do đó, để xác định các r km ta cần vẽ

biểu đồ (M m) do chuyển vị xoay cỡng bức Z m = 1 tại liên kết m và do các lực

nén hoặc kéo cùng gây ra trong hệ cơ bản; tiếp đó áp dụng phơng pháp tách nút

để tìm phản lực trong liên kết i.

Hình 3.14 Trên hình 3.15 là các biểu đồ mômen uốn đơn vị cần thiết để xác định các phản lực mômen r i(i- 1 ) , r ii , r i(i+ 1 )

l i l i+1

EI i

N i = k i P