CHUYENDE81HE TOA DO KHONG GIAN

6 ABCD V  uuur uuur uuurAB AC AD Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.. – Tích có hướng của hai vec

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm, , gốc O Gọi , ,r r ri j k

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục, ,

tọa độ vuông góc trong không gian

Chú ý: ri2 rj2 kr2 1 và .r r r ri j i k  k jr r 0

2 Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: ur x y z; ;  �ur  xi y j zkr r r

b) Tính chất: Cho ar( ; ; ),a a a1 2 3 br( ; ; ),b b b1 2 3 k��

 a br�r (a1�b a1; 2�b a2; 3�b3)

 kar  (ka ka ka1; 2; 3)





�

�

 � � 

� 

�

r r

 0 (0;0;0),r ir(1;0;0), rj(0;1;0), kr(0;0;1)

 ar cùng phương (b br r r�0)

 a kb kr  r ( ��)

3

, ( , , 0)

a



�

� 

�

 a b a br.r 1 1 a b2 2a b3 3  arbr � a b1 1a b2 2a b3 3 0

 2 2 2 2

ar  a  a a

cos( , )

a b

a b

r r r r

r

3 Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:M x y z( ; ; )�OMuuuur x i y j z k.r r r (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M�Oxy �z0;M�Oyz�x0;M�Oxz� y0

 M Ox� � y z 0;M Oy� � x z 0;M Oz� � x y 0.

b) Tính chất: Cho ( ;A x A y z A; A), B x( ;B y z B; B)

 uuurAB(x Bx y A; B y z A; B z A)

 AB  (x B x A)2(y B y A)2(z B z A)2

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : ; ;

 Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC:

 Toạ độ trọng tâmG của tứ diện ABCD :

4 Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ar( ; ; )a a a1 2 3 , br( ; ; )b b b1 2 3 Tích có hướng của hai

vectơ ar và ,br

kí hiệu là ,� �� �a br r , được xác định bởi

 

� �

r r

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

 [ , ]a br r ar; [ , ]a br r br

 ,��a br r� � �� � �  b ar r,

 ,� �� �i jr r kr; � �� �rj k,r ir; � �� �k ir,r  rj

 [ , ]a br r  a br sin ,r  a br r (Chương trình nâng cao)

 ,a br r

cùng phương � [ , ]a br r 0r (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: , a br r

và cr đồng phẳng  [ , ].a b cr r r0

 Diện tích hình bình hành ABCD : SYABCD  ��AB AD, ��

uuur uuur

 Diện tích tam giác ABC : 1 ,

2

ABC

S  ��uuur uuurAB AC��

 Thể tích khối hộp ABCDA B C D����: V ABCD A B C D ' ' ' '  [uuur uuur uuurAB AD AA�, ]

 Thể tích tứ diện ABCD : 1[ , ]

6

ABCD

V  uuur uuur uuurAB AC AD

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính

góc giữa hai đường thẳng

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ

diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương

 

 

0

0 0

a b a b

a va� b cu� ng ph��ng a b

a b c �o� ng pha� ng a b c

,



�



�

r

5 Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus )

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A x A; y ;A z A ,B x y B; B; z ,B C x y C; C; z ,C D x y D; D; zD

w 8 1 1 (nhập vectơ ABuuur)

q 5 2 2 2 (nhập vectơ ACuuur)

q 5 2 3 1 (nhập vectơ ADuuur)

C q53q54= (tính ��uuur uuurAB AC, ��)

C q53q54q57q55= (tính [uuur uuur uuurAB AC AD, ]

) Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [uuur uuur uuurAB AC AD, ]

) C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=

(tính 1 [ , ]

6

ABCD

V  uuur uuur uuurAB AC AD

2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Gọi  là góc giữa hai vectơ ar và br, với ar và br khác 0r, khi đó cos bằng

A .

a b

a b

r r

r r B .

a b

a b

r r

a b

a b

r r

a b

a b



r r

r r

Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ ar 1;2;0 và br 2;0; 1  , khi đó cos bằng

A 0 B 2

2

2 5



Câu 3: Cho vectơ ar1;3; 4, tìm vectơ br cùng phương với vectơ ar

A br     2; 6; 8  B br    2; 6;8  C br  2;6;8  D br2; 6; 8   

Câu 4: Tích vô hướng của hai vectơ ar  2; 2;5 , br0;1; 2 trong không gian bằng

Câu 5: Trong không gian cho hai điểm A1; 2;3 , B 0;1;1, độ dài đoạn AB bằng

Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi , ,r r ri j k

là các vectơ đơn vị, khi đó với M x y z thì OM ; ;  uuuur bằng

A  xi y j zkr r r B xi y j zkr r r C x j yi zkr r r D xi y j zkr r r

Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ ar( ; ; )a a a1 2 3 ,br( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí hiệu � �a br,r , được xác định bằng tọa độ

A a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2 a b2 1 B a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1

C a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 D a b2 2a b a b3 3; 3 3a b a b1 1; 1 1a b2 2

Câu 8: Cho các vectơ uru u u1; ;2 3 và vrv v v1; ;2 3, u vr r0 khi và chỉ khi

A u v1 1u v2 2u v3 3 1 B u1      v1 u2 v2 u3 v3 0

C u v1 1u v2 2u v3 3 0 D u v1 2u v2 3 u v3 1   1

Câu 9: Cho vectơ ar  1; 1; 2, độ dài vectơ ar là

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi

đó tọa độ điểm M có dạng

A M a ;0;0 , a� 0 B M0; ;0 ,b  b� C 0 M0;0; ,c c � D 0 M a ;1;1 , a� 0

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho M không trùng với gốc tọa

độ và không nằm trên hai trục Ox Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( , ,, a b c� )0

A 0; ; b a  B a b; ;0  C 0;0; c  D a;1;1

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho ar 0;3; 4 và br 2ar , khi đó tọa độ vectơ brcó thể là

A 0;3; 4 B  4;0;3  C 2;0;1  D 8;0; 6  

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ur và vr, khi đó � �� �u vr r, bằng

A u vr r .sin ,  u vr r

B u vr r .cos ,  u vr r

C u vr r .cos ,  u vr r

D u vr r .sin ,  u vr r

Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ar  1; 1; 2 , br 3;0; 1 ,  cr  2;5;1, vectơ m a b cur r r r   có tọa độ là

A 6;0; 6 B  6;6;0 C 6; 6;0  D 0;6; 6 

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Độ dài các cạnh AB AC BC, ,

của tam giác ABC lần lượt là

A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Tọa độ trọng tâm G của tam

giác ABC là

A 5 2; ; 4

3 3 3

5 2 4

; ;

3 3 3

� � C 5; 2; 4  D 5;1; 2

2

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5  Để 4 điểm , , ,A B C D đồng

phẳng thì tọa độ điểm D là

A D2;5;0. B D1;2;3. C D1; 1;6  . D D0;0; 2.

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto ar ( ; ; ),1 2 3 br  ( ; ; ),2 0 1 cr ( ; ; )1 0 1 Tìm tọa độ của vectơ

2 3

n a br r r   cr ri

A nr6; 2;6 B nr6; 2; 6  C nr0; 2;6 D nr  6;2;6 .

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có (1;0;2), ( 2;1;3), (3; 2; 4) A B  C Tìm tọa độ trọng tâm

G của tam giác ABC

A 2;1;3

3

� �. B G2;3;9 . C G6;0; 24 D 2; ;31

3

� �.

Câu 20: Cho 3 điểm M2;0;0 ,  N 0; 3;0 ,  0;0;4   P  Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q

là

A Q 2; 3; 4   B Q2;3;4 C Q3; 4;2 D Q  2; 3; 4   

Câu 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M1;1;1 , N 2;3;4 , P 7;7;5 Để tứ giác MNPQ là hình

bình hành thì tọa độ điểm Q là

A Q6;5; 2 B Q6;5; 2. C Q6; 5;2  D Q   6; 5; 2

Câu 22: Cho 3 điểm A1;2;0 ,  1;0; 1 ,  0; 1;2  B   C   Tam giác ABC là

A tam giác có ba góc nhọn B tam giác cân đỉnh A

C tam giác vuông đỉnh A D tam giác đều

Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2;2 , B 0;1;3 , C 3;4;0 Để tứ giác ABCD là

hình bình hành thì tọa độ điểm D là

A D4;5; 1  B D4;5; 1  C D   4; 5; 1 D D4; 5;1 

Câu 24: Cho hai vectơ ar và br tạo với nhau góc 0

60 và ar 2;br 4 Khi đó a br r bằng

Câu 25: Cho điểm M1;2; 3 , khoảng cách từ điểm  M đến mặt phẳng Oxy bằng

Câu 26: Cho điểm M2;5;0, hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

A M �2;5;0 . B M �0; 5;0  C M �0;5;0 . D M �2;0;0.

Câu 27: Cho điểm M1;2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm  Mtrên mặt phẳng Oxy là điểm

A M �1;2;0. B M �1;0; 3  C M �0; 2; 3  D M �1;2;3.

Câu 28: Cho điểm M2;5;1, khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng

Câu 29: Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

A uur uur uurIA IB IC  . B IA IB CIuur uur uur r  0. C uur uur uur rIA BI IC  0. D uur uur uur rIA IB IC  0.

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ �a  1;1;0 ; b�1;1;0; �c 1;1;1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

Câu 31: Cho điểm M3;2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy là điểm

A M �3; 2;1  B M �3; 2; 1   C M �3; 2;1. D M �3;2;0 .

Câu 32: Cho điểm M3;2; 1 , điểm  M a b c� ; ;  đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a b c  bằng

Câu 33: Cho ur 1;1;1 và vr0;1; m Để góc giữa hai vectơ u vr r,

có số đo bằng 0

45 thì m bằng

A � 3 B 2� 3 C 1� 3 D 3

Câu 34: Cho A1; 2;0 ,  B 3;3;2 , C 1;2;2 , D 3;3;1 Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Câu 35: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

AB AC AD

h

AB AC



uuur uuur uuur

AB AC AD h

AB AC



uuur uuur uuur uuur uuur

AB AC AD

h

AB AC



uuur uuur uuur

AB AC AD h

AB AC



uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2;0 ,  B 3;3;2 , C 1;2;2 , D 3;3;1 Độ dài

đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC là

A 9

7 2 . B

9

9

9

14.

Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCDcó (1;0; 2), ( 2;1;3), (3;2;4), (6;9; 5)A B  C D  Tìm tọa độ

trọng tâm G của tứ diện ABCD

A 9;18; 30

4

G ��  ��

� �. B G8;12; 4. C 3;3;14

4

� �. D G2;3;1.

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (2; 1; 2) A B  Điểm M trên trục Ox và cách đều hai

điểm ,A B có tọa độ là

A 1 1 3; ;

2 2 2

1

;0;0 2

3

;0;0 2

1 3 0; ;

2 2

� �.

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (3; 1; 2) A B  Điểm M trên trục Oz và cách đều hai

điểm ,A B có tọa độ là

A M0;0;4. B M0;0; 4  C 0;0;3

2

3 1 3

; ;

2 2 2

Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm ( 1; 2;3), (0;3;1), (4;2; 2) A   B C Cosin của góc �BAC là

2 35. B

9

9

2 35

35

Câu 41: Tọa độ của vecto nr vuông góc với hai vecto ar (2; 1; 2), br(3; 2;1) là

A nr3; 4;1 B nr3; 4; 1  C nr  3; 4; 1  D nr 3; 4; 1  .

Câu 42: Cho ar 2;br 5, góc giữa hai vectơ ar và br bằng 2

3

 , u ka b v ar r r r r ;  2 br Để ur vuông góc với vr

thì k bằng

A 6

45

 B 45

6

45 6



Câu 43: Cho ur 2; 1;1 ,  vrm;3; 1 , w  uur1; 2;1 Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng

A 3

8. B

3 8

8 3



Câu 44: Cho hai vectơ ar 1;log 5;3 m b,r3;log 3; 45  Với giá trị nào của m thì a brr

A m1;m  1 B m1 C m 1 D m2;m  2

Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (2;5;3), (3;7; 4), ( ; ;6) A B C x y Giá trị của ,x y để ba điểm

, ,

A B C thẳng hàng là

A x5;y 11 B x 5;y 11 C x 11;y  5 D x11;y 5

Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1) A B C Tam giác ABC là

A tam giác vuông tại A B tam giác cân tại A

C tam giác vuông cân tại A D Tam giác đều.

Câu 47: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABCcó (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C Tam giác ABC có diện tích bằng

A 6 B 6

6

1

2.

Câu 48: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là1;1;1 , 2;3; 4 , 7;7;5 Diện tích của hình bình hành đó      bằng

A 2 83 B 83 C 83 D 83

2 .

Câu 49: Cho 3 vecto ar 1;2;1 ; br  1;1;2 và crx x x;3 ; 2 Tìm x để 3 vectơ , , a b cr r r

đồng phẳng

Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ar 3; 2; 4 ,  �b5;1;6 , �c   3;0; 2 Tìm vectơ xr sao cho

vectơ xr đồng thời vuông góc với , ,a b cr r r

A 1;0;0  B 0;0;1  C 0;1;0  D 0;0;0 

Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm (1;2; 3) B  , (7;4; 2)C  Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức

2

CEuuur EBuuur thì tọa độ điểm E là

A 3; ;8 8

3 3

8 8 3; ;

3 3

8 3;3; 3

1 1;2; 3

Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1; 2; 1) A  , (2; 1;3)B  , ( 2;3;3)C  Điểm

 ; ; 

M a b c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P a 2  có giá trị bằngb2 c2

Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm (1; 2; 1) A  , (2; 1;3)B  , ( 2;3;3)C  Tìm tọa độ

điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

A D(0;1;3). B (0;3;1)D . C (0; 3;1)D  D (0;3; 1)D 

Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ

điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A ( ; ; )8 5 8

3 3 3

I B ( ; ; )5 8 8

3 3 3

I C ( 5 8 8; ; )

3 3 3

I  D ( ; ; )8 8 5

3 3 3

Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ ura  1;1;0 ,  br1;1;0 ,  cr1;1;1 Cho hình hộp

OABC O A B C���� thỏa mãn điều kiện OA a OB b OCuuur r, uuur r, uuuur'cr Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

A 1

2

Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A2; 1;1 ,  1;0;0 ,  B  C3;1;0 ,  0;2;1 D  Cho các mệnh đề sau:

1- Độ dài AB 2

2- Tam giác BCD vuông tại B

3- Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6

Các mệnh đề đúng là:

A 2) B 3) C 1); 3) D 2), 1)

Câu 57: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ ar   1,1,0 ; br(1,1,0);cr1,1,1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

3

A , ,a b cr r r

đồng phẳng D .a br r1

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD, biết (1;0;1)A , ( 1;1; 2)B  , ( 1;1;0)C  , (2; 1; 2)

D   Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:

A 2 .

1

13

3 13 13

Câu 59: Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây là đẳng

thức đúng

2

SI  SA SB SC 

uur uur uur uuur

3

SI  SA SB SC  uur uur uur uuur

C SIuur uur uur uuurSA SB SC  D SI SA SB SCuur uur uur uuur r   0

Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), ( 2;1; 1) A B C D   Thể tích của

tứ diện ABCD bằng

A 3

1

2.

SA SB a SC   a ASB CSB  CSA Gọi G là trọng tâm tam

giác ABC Khi đó khoảng cách SG bằng

3

3

3

3

a

Câu 62: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A2;5;1 , B  2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm  M m m m ,  ; ; 

để MBuuur2uuurAC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

Câu 63: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A2;5;1 , B  2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm  M m m m ,  ; ; 

để MA2MB2MC2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng

Câu 64: Cho hình chóp S ABCD biết A2;2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1; 2;3 Gọi H là trung điểm của

,

CD SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích bằng 27

2 (đvtt) thì có hai điểm S S thỏa mãn yêu 1, 2

cầu bài toán Tìm tọa độ trung điểm I của SS 1 2

A I0; 1; 3  . B I1;0;3 C I0;1;3 . D I1;0; 3  

Câu 65: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 1;7), (4;5; 2) A  B  Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oyz )

tại điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào

A 1

1

2

3.

Câu 66: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có (2;1; 1), (3;0;1),C(2; 1;3) A  B  và D thuộc trục Oy

Biết V ABCD  và có hai điểm 5 D10; ;0 ,y1  D20; ;0y2  thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó y y1 bằng 2

Câu 67: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có ( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7)A  B  Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A Tính độ dài ODuuur

A 207.

3 B

203

201

205 3

Câu 68: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC, biết (1;1;1)A , (5;1; 2)B  , (7;9;1)C Tính

độ dài phân giác trong AD của góc A

A 2 74

3 74

Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm (2; 4; 1) A  , (1;4; 1)B  , (2;4;3)C (2; 2; 1)D  Biết

 ; ; 

M x y z , để MA2MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z  bằng

Câu 70: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (2;3;1) A , ( 1; 2;0)B  , (1;1; 2)C  H là trực

tâm tam giác ABC, khi đó, độ dài đoạn OH bằng

A 870

870

870

870 15

Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có (3;1;0)A , B nằm trên mặt phẳng

(Oxy và có hoành độ dương, ) C nằm trên trục Ozvà (2;1;1)H là trực tâm của tam giác ABC Toạ độ các

điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

A 3 177 17; 177;0 , 0;0;3 177

C 3 177 17; 177;0 , 0;0;3 177

Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , (3;0;8) B , ( 5; 4;0)D   Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CBuuur uuur bằng:

Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết (5;3; 1) A  , (2;3; 4)B  , (3;1; 2)C  Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M3;0;0 , N m n, ,0 , P 0;0;p Biết

MN  MON  , thể tích tứ diện OMNP bằng 3 Giá trị của biểu thức 2 2

2

A m  n p bằng

Câu 75: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (2;3;1) A , ( 1; 2;0)B  , (1;1; 2)C  Gọi

 ; ; 

I a b c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P15a30b75c

BẢNG ĐÁP ÁN

71.A 72.B 73.B 74.A 75.B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Gọi  là góc giữa hai vectơ ar và br, với ar và br khác 0r, khi đó cos bằng

a b

a b

r r

r r . B .

a b

a b

r r

a b

a b

r r

a b

a b



r r

r r .

Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ ar 1;2;0 và br2;0; 1 , khi đó cos bằng

2

2 5

 .

Câu 3: Cho vectơ ar1;3; 4, tìm vectơ br

cùng phương với vectơ ar

A br    2; 6; 8  B br   2; 6;8  C br  2;6;8  D br2; 6; 8   

Câu 4: Tích vô hướng của hai vectơ ar   2; 2;5 , br0;1; 2 trong không gian bằng

Câu 5: Trong không gian cho hai điểm A1; 2;3 , B 0;1;1, độ dài đoạn ABbằng

Câu 6: Trong không gian Oxyz, gọi r r ri j k, ,

là các vectơ đơn vị, khi đó với M x y z ; ;  thì OMuuuur

bằng

A  xi y j zkr r r B xi y j zkr r r C x j yi zkr r r D. xi y j zkr r r

Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ ar ( ; ; )a a a1 2 3 ,br( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí hiệu � �a br,r , được xác định bằng tọa độ

A. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 B a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1

C a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 D a b2 2a b a b3 3; 3 3a b a b a b1 1; 1 1 2 2

Câu 8: Cho các vectơ uru u u1; ;2 3 và vrv v v1; ;2 3, u vr r 0 khi và chỉ khi

A u v1 1u v2 2u v3 3 1 B u1     v1 u2 v2 u3 v3 0.

Câu 9: Cho vectơ ar  1; 1; 2, độ dài vectơ ar

là

có dạng

A. M a ;0;0 , a�0 B M0; ;0 ,b  b�0 C M0;0; ,c c �0 D M a ;1;1 , a�0

trên hai trục Ox Oy, , khi đó tọa độ điểm M là (a b c, , �0)

A 0; ; b a B. a b; ;0  C 0;0; c D a;1;1

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho ar0;3; 4 và br 2ar , khi đó tọa độ vectơ br

có thể là

A 0;3; 4  B 4;0;3  C 2;0;1  D.8;0; 6  

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ur

và vr

, khi đó � �� �u vr r, bằng

A. u vr r .sin ,  u vr r

B u vr r .cos ,  u vr r

C u vr r .cos ,  u vr r

D u vr r .sin ,  u vr r

Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ar 1; 1;2 , br3;0; 1 ,  cr  2;5;1, vectơ m a b cur r r r   có tọa độ là

A 6;0; 6  B 6;6;0 C. 6; 6;0  D 0;6; 6 .

Câu 15: Trong không gian Oxyzcho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Độ dài các cạnh AB AC BC, , của tam giác ABC lần lượt là

A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35.

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

là

; ;

3 3 3

5 2 4

; ;

3 3 3

� � C 5; 2; 4 D 5

;1; 2 2

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5  Để 4 điểm A B C D, , , đồng phẳng thì tọa

độ điểm D là

A. D2;5;0 B D1;2;3 C D1; 1;6  D D0;0; 2.

Hướng dẫn giải

Cách 1:Tính ��uuur uuur uuurAB AC AD, �� 0

Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto ar ( ; ; ),1 2 3 br ( ; ; ),2 0 1 cr ( ; ; )1 0 1 Tìm tọa độ của vectơ

2 3

n a br r r   cr ri

A nr6;2;6 B nr 6; 2; 6  C nr 0; 2;6 D. nr   6;2;6 .

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;2), ( 2;1;3), (3; 2; 4)B  C Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

;1;3

3

� �. B G2;3;9 C G6;0; 24 D 1

2; ;3 3

� �.

Câu 20: Cho 3 điểm M2;0;0 ,  N 0; 3;0 ,  0;0;4   P  Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là

A Q 2; 3; 4   B. Q2;3;4 C Q3; 4;2 D Q  2; 3; 4   

Hướng dẫn giải

Gọi Q x y z( ; ; ), MNPQ là hình bình hành thì MN QPuuuur uuur �

2 3

4 0

x y z



�

� 

�

�  

�

Câu 21: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5 Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A Q6;5; 2 B Q6;5; 2 C Q6; 5;2  D Q  6; 5; 2.

Hướng dẫn giải

Điểm Q x y z ; ; 

1; 2;3

MN 

uuuur

, QPuuur 7 x;7y;5z

Vì MNPQ là hình bình hành nên MN QPuuuur uuur �Q6;5;2

Câu 22: Cho 3 điểm A1;2;0 ,  1;0; 1 ,  0; 1;2  B   C   Tam giác ABC là

A. tam giác có ba góc nhọn. B tam giác cân đỉnh A

C tam giác vuông đỉnh A. D tam giác đều

Hướng dẫn giải

(0; 2; 1); ( 1; 3;2)

AB   AC  

Ta thấy uuur uuurAB AC � �0 ABCkhông vuông.

ABuuur�uuurAC �ABCkhông cân.

Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2;2 , B 0;1;3 , C 3;4;0 Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là

A D4;5; 1 . B D4;5; 1 . C D  4; 5; 1. D D4; 5;1  .

Hướng dẫn giải

Điểm D x y z ; ; 

1; 1;1

uuur

, DCuuur   3 x; 4 y; z

Vì ABCD là hình bình hành nên uuur uuurAB DC �D4;5; 1 

Câu 24: Cho hai vectơ ar

và br

tạo với nhau góc 0

60 và ar 2;br 4 Khi đó a br r bằng

Hướng dẫn giải

Ta có 2 2 2  

2 cos , 4 16 8 28 2 7

a br r  ar  br  a br r a br r     � a br r 