Chương 1

Chương 1: Xác suất của b/cố và các công thức tính xác suất Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất... a- Định nghĩa:Xác suất xảy ra biến cố A là tỉ số giữa số trư

Phần I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Chương 1: Xác suất

của b/cố và các

công thức tính xác

suất

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 5: Ước lượng các số đặc trưng của tổng thể

Chương 6: Kiểm định giả thiết

thống kê

1- 1- Đề cương ôn tập

thống kê

Hoàng Ngọc

Nhậm, 2009

2- Lýù thuyết xác

suất và thống kê

kê toán học

Ths Trần Gia Tùng, 2008

PHAÀN I

Chöông 1

Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát

Khi thực hiện một

nhiều kết quả có thể xảy ra Có kết quả đơn giản,

những kết quả phức hợp.

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các b/cố sơ cấp (không gian mẫu).

Mỗi tập con của không gian các biến cố sơ cấp được gọi là biến cố.

 Bieán coá ngaãu nhieân

1- Khái niệm về

xác suất:

biến cố là một con số biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử.

a- Định nghĩa:

Xác suất xảy ra biến cố A là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.

2- Định nghĩa cổ điển về xác suất

Ký hiệu: P(A) - xác suất của b/c A

m - số trường hợp

thuận lợi cho A n - số trường hợp đồng khả năng

Thì:

P(A) = P(A) =m

n

b- Các tính chất của xác suất:

 Nếu A là b/cố ngẫu

Nếu A là biến cố bất kỳ thì xác suất của biến cố A luôn luôn thỏa mãn

c- Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển:

1- Phương pháp tính trực tiếp:

2- Phương pháp

dùng sơ đồ:

Khi việc suy đoán phức tạp hơn thì ta có thể dùng sơ đồ, để có thể dễ

nhận biết hơn các trường hợp đồng khả năng và các trường hợp thuận lợi

a - Sơ đồ hình a - Sơ đồ hình

cây

Thí dụ

Thí dụ: Giả sử xác

suất sinh con trai và xác suất sinh con gái là như nhau và đều bằng 0,5 Quan sát một gia đình có 3 con Tìm xác suất để gia đình đó có 2 con gái?

Các trường hợp có thể xảy ra đối với một gia đình có 3 con được mô tả bằng sơ đồ sau:

Theo sơ đồ trên, ta thấy có 8 trường hợp đối xứng có thể xảy ra trong phép thử Đó là:

GGG; GGT; GTG; GTT; TGG; TGT; TTG; TTT;

TTT;

Gọi A là biến cố có 2 con gái trong gia đình có 3 con Số trường hợp thuận lợi cho A là

3 Đó là các trường hợp:

TGG

b- Sơ đồ dạng

bảng

xúc xắc Tìm xác suất để tổng số chấm của hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 8.

Giải: Gọi A là biến cố “tổng số chấm của hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 8” Số trường hợp đồng khả năng và số trường hợp thuận lợi cho A được mô tả bằng bảng sau:

c - Sơ đồ dạng

tập hợp

Thí dụ: Một lớp có

50 h/s Trong đó có 15 h/s giỏi toán; 14 h/s giỏi văn; 18 h/s giỏi ngoại ngữ; 3 h/s giỏi cả văn và toán;

4 h/s giỏi cả toán và ngoại ngữ; 5 h/s giỏi cả văn và ngoại ngữ; 2 h/s giỏi toán, văn & ng.ngữ

Gặp ngẫu nhiên một học sinh của

được học sinh chỉ giỏi một môn trong 3 môn toán, văn, ngoại ngữ.

Giải: Gọi A là biến cố gặp được một học sinh chỉ

trong 3 môn trên

đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là

n = 50

Để xác định có bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố A ta dùng

sơ đồ sau:

toán Giỏi Ngoại

ngữ

Giỏi văn

8

+ Số h/sinh chỉ giỏi toán:

= 11

Vậy số học sinh chỉ giỏi một môn (trong 3 môn trên) của lớp này là:

3- Phương pháp

3- Phương pháp

dùng các công

dùng các công

thức của giải tích tổ hợp* Qui tắc nhân

Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng n 1 cách, và với mỗi cách chọn A ta có n 2 cách chọn đối tượng B Khi đó số cách chọn A và B là:

1 n n

n 

Tổng quát: Nếu chọn

k đối tượng thì số cách chọn k đối

cách chọn k đối

tượng sẽ là:

k 2

1n n n

n 

(n i là số cách chọn đối tượng thứ i )

* Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k

có thứ tự gồm k

nhau chọn từ n phần tử

)!

k n

* Chỉnh hợp lặp

Chỉnh hợp lặp chập

k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử Trong đó mỗi phần tử có thể có mặt (lặp lại) một lần, hoặc hai lần, , hoặc k lần trong

hoặc k lần trong

nhóm đó.

Vì mỗi phần tử có thể có mặt nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên k có thể lớn hơn n cũng được. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là

(hoặc )

k n

B

k n

* Hoán vị

Hoán vị của m phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt

m phần tử.

Số hoán vị của m phần tử được ký hiệu là P m

! m

Pm 

* Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử (k

không phân biệt thứ tự gồm k

nhau chọn từ n phần tử.

Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

k n

C

)!

k n

(

! k

Thí dụ

Thí dụ:

Một kiện hàng có

5 sản phẩm trong

phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ

phẩm

1- Lấy được 2 sản phẩm loại I

2- Lấy được một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II

Tính các xác suất:

Giải:

1- Gọi A là biến cố lấy được 2 sản

lấy được 2 sản

phẩm loại I khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện. khả năng: Số trường hợp đồng khả năng:

10 C

n  5 2 

1 2 3 4 5

Các trường hợp

Các trường hợp

đồng khả năng

đồng khả năng

được mô tả như sau:

được mô tả như sau:

1 2 1 3 1 4 1 5

2 3 2 4 2 5

3 4 3 5 4 5

Số trường hợp

thuận lợi cho A:

3 C

m A  2 3 

Vậy:

P(A) = 3/10 = 0,3

2- Gọi B là biến cố lấy được một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II

6 C

C

m B  1 3 1 2 

Vậy:

P(B) = 6/10 = 0,6

0,6

Số trường hợp

thuận lợi cho B:

Định

nghĩa 1:

Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương (ký hiệu là A = B ) nếu A xảy

ra thì B cũng xảy ra và ngược lại. Nếu A = B thì: P(A)

= P(B)

Thí dụ:

Tung một con xúc xắc, gọi A là

xắc ra mặt chẵn” và B là biến cố

“xúc xắc ra mặt

2 hoặc mặt 4 hoặc mặt 6” thì:

A = B

Tổng của 2 biến cố

A và B là một biến cố, ký hiệu là A  B (hoặc A + B) Biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.

Định

nghĩa 2:

Thí

dụ:

Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Gọi

A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”

C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố

A, B xảy ra Vậy:

C = A  B

Định nghĩa

3:

Tích của hai biến cố

A và B là một biến cố, k ý hiệu là A  B ( hoặc AB), biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả A và B xảy ra

Thí dụ:

Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia (mỗi người bắn một viên đạn) Gọi A là biến cố

“xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật” và C là biến cố “ bia không trúng đạn” Thì:

C = AB

Định nghĩa

4:

Hai biến cố A và B được gọi là xung

Định nghĩa

5:

Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là A, nếu A,

A xung khắc và

Biểu đồ VENN:

Các tính chất:

B A

B

A   

B A

Khi giải nhiều bài toán xác suất, ta

các biến cố phức

hợp dưới dạng

tổng và tích các biến cố đơn giản hơn

Một máy sản

xuất 3 sản phẩm

"sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt" ( i = 1, 2, 3 ) Khi đó

"sản phẩm thứ i là phế phẩm".

Thí dụ:

Nếu gọi A là biến cố "có một sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do máy

1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 +

A 1 A 2 A 3

Nếu gọi B là biến cố: "có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do máy sản xuất" Thì:

B = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 +

A 1 A 2 A 3

Nếu gọi C là biến cố: "cả 3 sản phẩm do máy sản xuất đều tốt"

Nếu gọi D là biến cố: "có ít nhất một sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do máy sản

Nếu gọi E là biến cố: “Không có

trong 3 sản phẩm

IV - Các công thức tính

xác suất

 Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A

 B) = P(A) + P(B)

1- Công thức cộng xác suất:

Tổng quát:  

là n biến cố xung khắc từng đôi, thì:

P(A 1  A 2   A n ) = P(A 1 ) +

P(A 2 ) + + P(A n )

Hệ quả: Nếu A và

là hai biến cố đối lập nhau thì:

A

P(A) = 1  P(

)

A

 Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc thì: P(A  B) = P(A) + P(B) P(AB)

( P )

A A

( P )

A A

( P

) A ( P )

A ( P )

A ( P )

A A

A

(

P

3 2

3 1

2 1

3 2

1 3

2 1

) A A

A (

P 1 2 3



Trường hợp n = 3: Nếu

A 1 , A 2 , A 3 là các b/cố

không xung khắc, thì:

Thí dụ 1:

Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế

phẩm) Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ hộp ra 6 sản phẩm Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra.

Giải: Gọi A là biến cố “không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm lấy ra”; B là biến cố “có 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra” và C là biến cố”có không quá 1 phế phẩm trong

6 sản phẩm lấy ra”

C = A  B

A, B là hai biến cố

xung khắc

P(C) = P(A  B) = P(A) + P(B)

105

14 C

C )

A (

C

C )

B (

10

5 8

70 105

56 105

14 )

C (

nghĩa:Xác suất của biến

cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu là P(A/B)

b- Công thức tính:

) B ( P

) AB (

P )

B / A (

c- Thí dụ: Một lớp có

50 s/v (20 nữ và 30 nam, trong đó có 5 nữ giỏi toán) Gặp ng.n một s/v của lớp Tìm xác suất để gặp được s/v giỏi toán biết s/v này là nữ ?

Giải: Gọi A là biến cố

“gặp được s/v giỏi toán”; B là biến cố

“gặp được s/v nữ” Ta cần tìm P(A/B) P(A/B)

=

P(AB) P(B

) =

5/5 0

20/5 0

= 0,25

A, B độc lập khi và

chỉ khi:

P(A/B) = P(A) và P(B/A)

= P(B)

A, B là hai biến cố phụ thuộc:

Nếu A, B là hai b/cố

độc lập, thì:

Hệ quả:

P(AB) = P(A)P(B)

P(A)P(B)

Tổng quát:

Nếu A 2 độc lập với A 1 ,

A 3 độc lập với A 1 A 2 , ,

A n độc lập với A 1 A 2

A n-1 , thì:

P(A 1 A 2

A n )=P(A 1 )P(A 2 ) P(A n )

Chia ngẫu nhiên 9

đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành

3 phần, mỗi phần

3 hộp Tính xác

phần có 1 hộp kém phẩm chất?

Thí dụ:

Giải: Gọi A i (i = 1, 2, 3) là biến cố phần thứ i có 1 hộp sữa kém phẩm chất.

A là biến cố mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất.

(A 2 phụ thuộc A 1 ) Áp dụng công thức

dụng công thức

nhân xác suất, ta có:

A = A 1 A 2

P(A) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )

28

9 C

C

C

C

C

C

3 6

2 4

1 2 3

9

2 6

1



3- Công thức xác suất đầy đủ

 Cho không gian mẫu

S và A 1 , A 2 , , A n , B là các biến cố.

 Các biến cố A 1 ,

A 2 , , A n là hệ biến cố đầy đủ nếu chúng thỏa

nếu chúng thỏa

mãn 2 điều kiện sau:

Các xác suất P(A 1 ); P(A 2 ); , P(A n ) thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm và công thức trên được gọi là công thức xác

suất đầy đủ.

Thí dụ:

Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là: 6%; 2%; 1% Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tìm xác suất để lấy được một phế phẩm?

Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm

A 1 , A 2 , A 3 tương ứng là các biến cố chọn được lô thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

Aùp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

1 )

A (

P )

A (

P )

A (

/ B (

P ) A

( P )

B (

P

06 ,

0 )

A /

B (

02 ,

0 )

A /

B (

01 ,

0 )

A /

B (

0 , 06 0 , 02 0 , 01 0 , 03 3

1 )

B

(

4- Công thức Bayes

Với các giả thiết như phần công thức xác suất đầy đủ và ta thêm điều kiện là phép thử được thực hiện và biến cố B đã xảy

ra Khi đó:

P(A i /B) =

2, , n)

) B (

P

) A

/ B (

P )

A (

Các xác suất P(A i /B) được xác định sau khi đã biết kết quả của phép thử là B đã xảy ra nên

đã xảy ra nên

thường được gọi là các xác suất hậu nghiệm.

Công thức Bayes

Công thức Bayes

xác định lại các

xác suất tiên

xác suất tiên nghiệm P(A i ) khi biết thông tin là B xảy ra.

Thí dụ:

Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là: 6%; 2%; 1% Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được phế phẩm Vậy lô nào có khả năng được chọn nhiều hơn cả?

biến cố chọn được lô

phế phẩm khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô đã chọn

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta tính được P(B) = 0,03

Vì biến cố B đã xảy

ra, áp dụng công thức Bayes ta có:

9

6 03

, 0

06 ,

0

3

1 )

B /

A (

9

2 03

, 0

02 ,

0

3

1 )

B /

A (

1 03

, 0

01 ,

0

3

1 )

B /

A (

nên lô thứ nhất có khả năng được chọn nhiều hơn cả.

Heát chuông 1