Chương 2

Khi thực hiện một phép thử, bằng một qui tắc hay một hàm ta có thể gán các giá trị bằng số cho những kết quả của một phép của một phép thử... Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng nhận các

Khi thực hiện một phép thử, bằng một qui tắc hay một hàm ta có thể gán các giá trị bằng số cho những kết quả của một phép

của một phép

thử.

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng nhận các giá trị khác nhau tuỳ

khác nhau tuỳ

thuộc vào kết quả của một

quả của một

phép thử.

Như vậy, khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận một (và chỉ một) giá trị nào đó trong tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận Việc đại lượng

ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể nào là một biến cố.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu là:

X, Y, Z,

X 1 , X 2 , , X n ;

Y 1 , Y 2 , , Y m ;

Đại lượng ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục.

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc

nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Đối với ĐLNN rời rạc,

ta có thể liệt kê được các giá trị của nó.

Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục

nếu các giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số Đối với ĐLNN liên tục, ta không thể liệt kê tất cả các giá trị của nó

Thí dụ: Số sinh viên vắng mặt trong mỗi buổi học ; số máy hỏng trong từng ngày của một phân

của một phân

xưởng, là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Nếu gọi X là trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất; Y năng suất lúa ở một vùng thì X, Y là những đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Q ui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên phản ánh mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận của ĐLNN với các xác suất tương ứng

Để thiết lập qui luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên ta

phân phối xác suất

hoặc hàm hàm phân phân phối xác suất hoặc

hàm mật độ xác suất.

1- Bảng phân

phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Giả sử đại lượng

Giả sử đại lượng

ngẫu nhiên X có thể nhận một trong các giá trị:

Tức: p i = P(X = x i ) (i = 1,

2, , n)

Đối với bảng phân

phối xác suất, ta

Bảng phân phối xác

suất của X có dạng:

X x 1 x 2 x n

P p 1 p 2 p n

Thí dụ: Một hộp có

10 sản phẩm (trong đó có 6 sản phẩm loại I) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác

suất của số sản phẩm loại I có trong

2 sản phẩm lấy ra

Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp thì X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị : 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng:

15

2 C

C )

0 X

( P

10

2 4

8 C

C

C )

1 X

( P

10

1 4

1 6

15

5 C

C )

2 X

( P

10

2 6

Vậy quy luật phân phối xác suất

phối xác suất

của X là:

X 0 1 2

P 2/15 8/15 5/15

1- Kỳ vọng toán:

a- Định

nghĩa:

X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: x1, x2, , xnvới các xác suất tương ứng:

=

b- Các tính chất:

 E(C) = C (với C là hằng số)

 E(CX) = CE(X) (C - hằng số)

 E(X 1 + X 2 + + X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + +E(X n )

 E(X 1 X 2 X n ) =

E(X 1 )E(X 2 ) E(X n )

Nếu X 1 , X 2 , , X n độc lập.

c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ

vọng toán Thí dụ: Một lớp có

50 sinh viên, trong kỳ thi môn toán có

kết quả cho ở

Nếu gọi X là điểm thi môn toán của một s/v chọn ngẫu nhiên từ lớp này thì X là ĐLNN có qui luật phân phối xác suất như sau:

X 3 4 5 6 7

8 9

P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08

08 ,

0 9

14 ,

0 4

06 ,

0 3

) X

(

E = × + × + + ×

82 ,

5 50

4 9

7 4

3

3 )

+

× +

×

=

E(X) = 5,82 chính là điểm thi trung bình môn toán của một sinh viên.

Kỳ vọng toán

Kỳ vọng toán

của đại lượng

của đại lượng

ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên.

2- Phương sai:

a- Định nghĩa:

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var(X).

Var(X) = E

E(X) ]2}

Trong thực tế

Trong thực tế

thường tính phương sai bằng công

sai bằng công

thức: Var(X) = E(X2) –

[E(X)]2

Thí dụ: Cho ĐLNN X có luật phân

có luật phân

phối xác suất như sau:

X 1 3 4

P 0,1 0,5 0,4

Tìm var(X)

Giải: Theo Theo định định nghĩa của E(X) ta có:E(X) = 1×0,1 + 3×0,5 + 4×0,4

b- Các tính chất của phương sai:

ª Var(C) = 0 (C -const)

ª Var(CX) = C 2 Var(X)

(C -const)

ª Nếu X, Y là hai đại

lượng ngẫu nhiên

độc lập thì: Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y)

Trường hợp tổng

Trường hợp tổng

quát, nếu X 1 , X 2 , ,

X n là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X 1 + X 2 + + X n ) = Var(X 1 )

+ Var(X 2 ) + + Var(X n )

• Hệ quả 1:

Var(Y) Nếu X, Y độc lập

Hệ quả 2:

• (với C là

hằng số )

3- Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của

đại lượng ngẫu

nhiên X [ ký hiệu là

σ (X) ] là căn bậc 2 của phương sai: σ (X)

=

) X (

Var

Đôä lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với đại lượng

với đại lượng

ngẫu nhiên.

Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị

đo của đại lượng ngẫu nhiên

4- Giá trị tin chắc nhất

a- Định nghĩa:

Giá trị tin chắc nhất của đ.l.n.n X ký hiệu là Mod(X)

Nếu X là đ.l.n.n rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của X

b- Thí duï:

Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà

đ.l.n.n X có thể

nhận Nếu X là chiều cao của s/v trong một trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều s/v đạt được nhất;

Nếu Y là năng suất

của những công

nhân trong một nhà máy thì Mod(Y) là năng suất mà số công nhân đạt được mức năng suất này

ở nhà máy là

nhiều nhất

* Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.