Chương 5

Các số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai của tổng thể,.. Vì các số đặc trưng của tổng thể là các hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để

Các số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai của tổng thể, được sử dụng rất nhiều trong phân tích kinh tế - xã hội và các lĩnh vực khác

Nhưng các số đặc trưng này thường là chưa biết Vì vậy đặt

ra vấn đề cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu

Vì các số đặc trưng của tổng thể là các hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng

điểm

điểm

Ngoài ước lượng điểm, ta còn dùng

ước lượng khoảng

ước lượng khoảng

Tức là chỉ ra một khoảng số nào đó có thể chứa được các số đặc trưng của tổng thể.

* Ước lượng không chệch

ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0

ª Trung bình mẫu ngẫu nhiên ( ) là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể ()

X

ª Phương sai mẫu ngẫu nhiên (S2) là ước lượng không chệch của phương sai tổng thể ( 2)

ª Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên là ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể (p)

1 - Ước lượng trung bình của tổng thể

Giả sử trung bình của tổng thể là  chưa biết, ta cần ước lượng

 với độ tin cậy 1 .

 Trường hợp kích thước mẫu n  30 (hoặc n < 30 nhưng X có phân phối

có phân phối

chuẩn); 2 đã biết

Với độ tin cậy 1   , khoảng tin cậy của  là:

n z

x   

z là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Z  N(0, 1) thỏa mãn điều kiện: z > 0 và

(   ; + ) được gọi là khoảng tin cậy đối xứng của .

X

X

Ưùng với độ tin cậy 1, khoảng tin cậy đối xứng có độ dài ngắn nhất Vì vậy khi cần tìm khoảng tin cậy, thông thường ta chỉ cần tìm khoảng tin cậy đối xứng.

Ngoài khoảng tin cậy đối xứng ta cũng có thể tìm khoảng tin cậy bên trái:

lượng một chặn trên của µ.

Khoảng tin cậy bên phải:

lượng một chặn dưới của µ.

 Trường hợp n  30;  2

chưa biết

Khoảng tin cậy của

 (với độ tin cậy 1 

 ) là:

n

s z

x  

Xác định khoảng tin cậy của  theo công thức:

Trong đó t là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T phân phối theo qui luật Student với n1 bậc tự do thoả mãn điều kiện: t > 0 và

P(T > t)

=  Để tìm t ta có thể tra bảng ở phần phụ lục

Thí dụ 1:

Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 héc ta trồng lúa của một vùng, người ta tính được:

x = 46 tạ/ha; s = 3,3

Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng với độ tin cậy 95%.

Giải: Gọi  là năng

suất lúa trung bình của toàn vùng Ta cần ước lượng  với độ tin cậy 95%

Trường hợp này, kích thước mẫu n = 100 >

30 ;  2 chưa biết Nên khoảng tin cậy của  là:

 z

x

n s

Do độ tin cậy 1   = 95% , nên tra bảng ta được: z = z 0,05 = 1,96

Vậy khoảng tin cậy của  là:

Hay:

10

3 ,

3 96

, 1

46 

(45,35 <  <

46,65)

(45,35 <  <

46,65)

Thí dụ 2: Theo dõi

mức nguyên liệu hao phí để sản xuất một đơn vị sản phẩm người

ta thu được các số liệu cho ở bảng sau:

Ước lượng mức hao phí nguyên liệu trung bình để sản xuất một đơn

vị sản phẩm với độ tin cậy 1   = 95% ? Giả thiết mức hao phí nguyên liệu để sản xuất một đơn vị sản phẩm là đ.l.n.n phân phối theo qui luật chuẩn

Giải: Gọi mức

nguyên liệu hao phí trung bình để sản xuất một đơn

vị sản phẩm là 

Ta cần ước lượng  với độ tin cậy 95%.

n = 25 < 30 ;  2 chưa biết x = 20,07 ; s = 0,4537

Với độ tin cậy 1

 = 95% , tra bảng phân phối Student với bậc tự do

n 1 = 25 1 = 24

ta được:

t0,05 = 2,064

4537 ,

0 064 ,

2 07

2- Ước lượng tỷ lệ của tổng thể

Giả sử tỷ lệ tổng thể (p) chưa biết, ta cần ước lượng p với độ tin cậy 1 - 

Để việc giải bài toán được đơn giản, ta thường

thước mẫu n khá lớn

Khoảng tin cậy của p là:

f 

) f 1

(

f 

Trong đó f là tỷ lệ

phần tử có tính chất

A của mẫu

Thí dụ: Để ng/c nhu cầu

tiêu dùng của một loại hàng ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra nhu cầu tiêu dùng về mặt hàng này ở 100 gia đình thì thấy có 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng đó Hãy ước lượng tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng đó của thành phố với độ tin cậy 95% ?

Giải: Gọi tỷ lệ gia

đình có nhu cầu về mặt hàng này là p (p chưa biết)

Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%.

Theo giả thiết của bài toán ta có:

Tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này của mẫu là:

6 ,

0 100

60

f  

1   = 0,95  z 0,05 = 1,96

100

) 6 , 0 1

( 6 ,

0 96

, 1 6

,

Vậy khoảng tin cậy của p (với độ tin cậy 95%) là:

Hay:

(50,4% < p <

69,6%)

3- Xác định kích

thước mẫu

Vấn đề đặt ra là: Ta muốn độ tin cậy 1   và độ chính xác  đạt được ở một mức nào đó cho trước thì cần kích thước mẫu (n) tối thiểu là bao nhiêu ?1- Xác định kích thước mẫu khi ước lượng

trung bình tổng thể

a- Neáu bieát Var(X) =

b- Nếu chưa biết  2 , khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa có mẫu thì ta có thể tiến hành lấy mẫu với kích thước n 1  30) để tính s 2 Từ đó xác định kích thước mẫu (n) theo công thức:

* Chú ý: Nếu bài toán thực tế đòi hỏi n phải là số nguyên nhưng khi tính n theo các công thức trên n không nguyên thì lấy phần nguyên của nó cộng với

1

2- Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể

 = z

) f 1

Nếu không biết f, từ công thức:

 = z n

4- Xác định độ tin cậy

Áp dụng công thức:

z =

s

n



1- Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể

Tra bảng để tìm 1- 

2- Xác định độ tin cậy khi ước lượng tỷ lệ tổng thểÁp dụng công thức:

z =

) f 1

( f

Như vậy, trong 3 tham số: n ;  ; z(hay 1   ) ; nếu ta biết được hai tham số thì có thể tính được tham số còn lại (công thức tính suy ra từ công thức tính  trong các bài toán ước lượng đã biết)

Heát chöông 5