Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành côngtrong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứngminh các bất đẳng thức, giải các bài toá

Nguyễn Thị Luyến 1 K32 CN - Toán

để em hoàn thành đề tài này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC, Ths Phùng Đức

Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá

trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của thầy cô và cácbạn để đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 Các kiến thức có liên quan 6

1.1 hợpTập lồi 6

1.1.1 Định nghĩa tập lồi 6 1.1.2 Một số bài tập 6 1.2 Hàm số 8

1.2.1.Định nghĩa hàm lồi 8

1.2.2.Một số tính chất của hàm lồi 8

Chương 2 Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích 16 2.1 dụngSử hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 16

2.1.1.Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 16

2.1.2.Chứng minh các bất đẳng thức đại số 22

2.1.3.Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác 27

2.2 Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 34 2.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương trình có tham số 40 Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn

tận tình của thầy giáo Ths Phùng Đức Thắng, cùng với đó là sự cố gắng của

bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thànhquả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng vàlòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là kếtquả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tácgiả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành côngtrong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứngminh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củahàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phươngtrình chứa tham số.

Với lý do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải các bài

toán đại số và giải tích”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng.

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duylogic đặc thù của bộ môn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giảitích

4 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông.

+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số

Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số lớp bài toán đại

số và giải tích Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, cácbất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các bài toán về phươngtrình và bất phương trình chứa tham số

NỘI DUNGCHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN

c1 1 c2  a1 b1

1 a2 b2 

Điều đó có nghĩa là C lồi, tức

Bài 3 Cho hệ phương trình

trên D nếu như f là lồi trên D.

2) Tương tự, ta có thể định nghĩa hàm lồi hai biến như sau:

Giả sử D là tập lồi trong □ 2 Hàm số f : D  1

n

(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f).

Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi

2) Bây giờ giả sử epi f là tập lồi Giả thiết trái lại f 

Từ (3), (5) suy ra mâu thuẫn Vậy giả sử sai, suy ra f là hàm lồi trên D

đó f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với mọi

2) Bây giờ giả sử f là hàm lồi trên D Ta phải chứng minh (1) là đúng.

Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:

1

n

là hàm lồi trên tập lồi D  1

Khi đó với mọi

x

a;b , thì

Rõ ràng (1) đúng nếu như có một trong hai số 1 hoặc

Vậy (1) đúng hay ta có điều phải chứng minh.

Trước khi xét tính chất 5 của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm sau:

là hàm lồi Khi đó nếu

như f đạt cực tiểu địa phương

toàn cục tạ

Ta có điều phải chứng minh.

Chú ý Tính chất trên cho ta một đặc trưng quan trọng nhất của hàm lồi là: Với

hàm lồi thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục.

a1a2 ak 1ak ak 1 an n

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức

Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức

sơ cấp Lược dồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng mộthàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh Sau

đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặclõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải

2.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển

Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong líthuyết bất đẳng thức Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay gặp nhất là:bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Schwartz, bấtđẳng thức Min-kop-xki

Bất đẳng thức kinh điển quan trọng ở chỗ, vì nó là cơ sở để chứng minhrất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất

Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phươngpháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số

mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen

Trong khi đó do a i



0 , i= 1, n , nên ta có

Kết hợp cả hai trường hợp suy ra bất đẳng thức Cauchy được chứng minh.

 1, x

p q

(2)

 1

e x

 f''x 

a 1 b 1 a 2 b 2  a n b n a 1 a 2 .a n n

phương pháp chứng minh thích hợp Trong đề tài này tôi trình bày cách sử dụngbất đẳng thức Jen-xen để chứng minh các bất đẳng thức đại số Lược đồ chung

để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi (cụthể là sử dụng BĐT Jen-xen) để chứng minh

a n

1 n a n .

1a2 a n

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 4 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng và đó là điều phải chứng minh.

Bài 5 Chứng minh với mọi số tự nhiên n , ta có

1

1

Từ đó suy ra

2.1.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

Tính lồi của hàm số cũng được vận dụng một cách có hiệu quả để chứngminh các bất đẳng thức lượng giác, đặc biệt là các bất đẳng thức lượng giáctrong tam giác

Nhờ việc sử dụng thích hợp bất đẳng thức Jen-xen cho phép chúng ta cómột phương pháp giải nhất quán nhiều bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bài 1 Cho n là số nguyên dương.

Giả sử 0 

Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét Từ các bất đẳng thức cơ bản trên ta suy ra các bất đẳng thức sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a) sin A sin B  sin C





1sinx

Đó là điều phải chứng minh.

Nhận xét Từ bài trên suy ra trong mọi tam giác ABC ta có



1sinx 2 sin x n

x

 x

với 0 x i , với mọi

i 1, n

1

n

Lời giải

cosx 12 .



1cosx 2 

Bài 4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có

sin A sin B sin C tan A

tan A tan B tan C

Ta có điều phải chứng minh

Chú ý Nhờ phương pháp hàm lồi, ta chứng minh được bất đẳng thức đã cho,

trong khi ta mới có hai bất đẳng thức ngược chiều sau: Trong mọi tam giác ABCchỉ có:

Bài 5 Chứng minh trong mọi tam giác ABC, ta có

sin Asin Bsin C

4

2.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như ta đã biết, cực tiểu của một hàm số

f 

x

trên miền D nào đó, nói

chung không phải là cực tiểu toàn cục, tức là nếu x0

trên miền D cho trước, ta tiến

trên D (để làm việc này, một

trong những phương pháp hiệu quả và hay sử dụng nhất là sử dụng các tiêuchuẩn về cực tiểu địa phương thông qua đạo hàm bậc nhất, bậc hai của

x trên miền D Trong thực tế, đôi khi hàm f x  là hàm lồi và miền D là

tập lồi Khi đó, việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều, vì ta sử dụng tính

chất đặc trưng cơ bản sau đây của hàm lồi: Cực tiểu địa phương của hàm lồi f trên miền lồi D cũng là cực tiểu toàn cục của hàm f trên miền ấy.

Như vậy, với lớp các hàm lồi, việc tìm giá trị nhỏ nhất của nó trên một

miền lồi D đơn giản quy về việc tìm cực tiểu địa phương của chúng trên D

là điểm tùy ý của D mà không trùng với bất kì đỉnh nào của

đa giác lồi D

Nối A1M và kéo dài đến khi cắt biên của D Có hai khả năng:

f x; y  1

2 S

S

j

2) Hoặc là A1M cắt biên của D tại một điểm

Như vậy ta chứng minh được

đỉnh của đa giác lồi D

Ta có điều phải chứng minh

Từ kết quả này suy ra để tìm giá trị lớn nhất của hàm lồi

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f

miền D được cho bởi hệ bất phương trình sau: x;

Vẽ hệ trục tọa độ OXY Dễ thấy tập hợp D chính là toàn bộ tam giác

ABC với các đỉnh : A(-2;0), B(-4;2), C(0;4), vì thế rõ ràng D là đa giác lồi.

y 2x-y+4=0

C 4x+y+2=0

B

2 x-2y+8=0

(3)

D 2

, trên tập hợp D cho bởi hệ bất phương trình sau:

3 3

1 x

y z

33

1

 1

3

34

hay

P 3

2.3 Sử dụng hàm lồi để giải bất phương trình có tham số

Trong phần này đưa ra phương pháp sử dụng tính lồi để giải một số lớpbài toán về bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các bài toán nàythường có dấu hiệu nhận biết sau đây: Miền xác định của bài toán thường códạng là các tập lồi và các hàm số là các hàm lồi Sử dụng đặc trưng của hàm lồi:

“Nếu hai điểm thuộc một tập hợp lồi A thì toàn đoạn thẳng nối hai điểm đó

Từ (3), (4), (5) ta suy ra các giá trị cần tìm của a là:

Bài 2 Cho hệ bất phương trình

275

KẾT LUẬN

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành côngtrong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp, điển hình là:Chứng minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bấtphương trình chứa tham số

Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên đề tài mới chỉ đạt

ở một số kết quả nhất định Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét

để đề tài này được đầy đủ và hoàn thiện hơn

Trước khi kết thúc đề tài này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là thầy giáo: GVC, ThS

Phùng Đức Thắng đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề về bất đẳng thức và bất phương trình.

2 Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT – Giải

tích lồi và các bài toán sơ cấp, NXB Giáo Dục.

3 Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên tập 1, NXB Giáo Dục.

4 Trần Phương, Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức.

5 Tạp chí toán học và tuổi trẻ.