Tài liệu Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.. Các bài toán này đều là bài toán ở mức độ vận dụng.. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta không thể dùn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng

Mã sáng kiến: 31.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2019

tai lieu, document1 of 66.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018 cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và các tỉnh trên toàn quốc những năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc chúng ta hay gặp bài toán giải phương trình và hệ phương trình Các bài toán này đều là bài toán ở mức độ vận dụng Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta không thể dùng các cách giải hệ phương trình học ở lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông thường để đưa về hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,…để giải Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia

2019 theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12

Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán

Với mỗi người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học

Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính:

+ “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học

sinh giải toán

+ “ Cách ra hệ phương trình sử dụng hàm số ” Giáo viên ra đề

2 Tên sáng kiến:

“Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Văn Vượng

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên

- Số điện thoại: 0988560979, E_mail: levuongc3bx@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi

THPT quốc gia theo lộ trình

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Nội dung của sáng kiến:

7.1.1 Nội dung:

tai lieu, document2 of 66.

NỘI DUNG

ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Cơ sở lý thuyết

Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên

tập D:

1/ Nếu tồn tại x0  D sao cho f (x )0 0 thì trên D phương trình f (x)0 có nghiệm duy nhất x x0

2/ Nếu f (u)  f (v)   u v, u,v  D

3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có hướng giải sau:

a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn

b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm

số

II Áp dụng

A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào

phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn

Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục

trên tập D nếu tồn tại x0  D sao cho f (x )0 0 thì trên D phương trình f (x)0 có nghiệm duy nhất x x0

Bài tập 1 Giải hệ phương trình:  

2 3 4 6

2

2 2 1

2 1 +10x+10 2

x y y x x





Hướng dẫn: Điều kiện y  1 (*)

Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét x¹ 0 Từ phương trình (1) chia hai vế cho 3

x ta được

3

3

      

Xét hàm số 3

f (t)t + 2t với tR, f '(t)3t +2>0 t2  R  Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

f f (x) x y x

x + 2 x + 1 = 3 x + 2 - 2 x + 1 «

2

æ + ö÷ +

«

2

x 2

1

x 1

+

= +

hoặc

2

3

x 1

+

= -+ tai lieu, document3 of 66.

+ Với

2

x 2

1

x 1

+

= +

«

2

2 2

x 2

ì ³ -ïï + = + « íï

4

16

® =

+ Với

2

3

x 1

+

= -+

2

x 2

3 x 2 2 x 1

9 x 2 4 x 1

ì £ -ïïï

- + = + « íï

ïïî « x 18 164 y 488 36 164

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) 3 9;

4 16

ç

= -ççè ÷÷ø,

18 164 488 36 164

;

Bài tập 2 Giải hệ phương trình: ( ) ( )

( )

3

3

x 3x y 4 y 1 1

x 2x y y 1 17 0 2

ïïí

ïïî Hướng dẫn: Điều kiện y  1 (*)

3

3 1 3 1 3

x  x y  y Xét hàm số 3

f (t)t + 3t với tR, f '(t)3t +3>0 t2  R  Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

f x f ( y 1)  x y 1  y x 1 thay vào (2) ta được:

3 2

x + x + 3x - 18 = « 0 x = ® 2 y = 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) (= 2;3)

Bài tập 3 Giải hệ phương trình:

( )

3x 2 9x 3 4y 2 1 1 y y 0 1

x 6x 4y 6y 1 0 2

ïïï í

ïïî Hướng dẫn:

3x 2 æç 3x 3 ö÷ 2y 1 2 æç 2y 1 3 3 ö÷

f (t)t 2 t 3 với tR,

2 2

2

t



 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

Từ (3) f 3x f (2y 1) 3x 2y 1 thay vào (2) ta được:

3 3

2

- +

Vậy nghiệm của hệ phương trình ( ) 3 4 3 23

x; y 1 2;

2

÷

tai lieu, document4 of 66.

Bài tập 4 Giải hệ phương trình:      

2 2 4 2

2 4 3 3 1

2019 2 2 5 1 4038 2





 x

y y x x x

y x x

Hướng dẫn: Điều kiện 2y 2x  5 0 (*) Từ phương trình (1)  y ³ 0

Ta nhận thấy x = ® 0 y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét x ¹ 0

Phương trình (1) « 2y 3 2y 3 ( )

3 = x + 3x 3

æ ö÷ æ ö÷

ç ÷ + ç ÷

Xét hàm số 3

f (t) t 3tvới tR, f '(t) 3t +3>0 t 2  R  Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

 

2019x x 2x   5 x 1 40382019x x1   4 x 1 =4038 

Đặt u = x - 1phương trình (4) « u 1( 2 )

2019 + u + 4 - u = 4038 (5)

g u = 2019 + u + 4 - u u Î R

2

u

+ æ çç ö÷÷

u

Do ln 2019 2, 1 1

u 4

ç > - < < ÷

 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5) « x=1 y 1

2

= thỏa mãn (*)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) 1;1

2

æ ö÷

ç

= ççè ø ÷÷

Bài tập 5 Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )

( )

2 2

x x 1 y 2 y 4y 8 2 1

x y 2x y 2 6 0 2

ïïï í

ïïî Hướng dẫn: Điều kiện 2x  y 2 0 (*)

x < x + ® 1 x + ± > 1 x 0 Phương trình (1) « y - 2 + (y - 2)2+ 4 = -( 2x)+ (- 2x)2+ 4 (3)

f (t) t t 4với tR, 2

t

f '(t) 1 >0 t R



 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

Từ (3) f y 2    f ( 2x)   y 2 2x thay vào (2) ta được:

tai lieu, document5 of 66.

x 0 y 2

é = ® = ê

-ê = ® = êë

thỏa mãn (*)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) (= 0;1) hoặc (x; y) 8; 6

5 5

æ ö÷

ç

= ççè - ÷÷ø

 

3 3 2

x - y + 3y - 3x - 2 =0 1

x + 1 x - 2 2y y +1=0 2







Hướng dẫn: Điều kiện 1 1 * 

x y

  



  

Phương trình (1) « x3- 3x= (y- 1)3- 3 y( - 1) (3)

Xét hàm số 3

f (t) t 3tvới t  1,1 , 2  

f '(t)3t - 3 <0 t  1;1

 Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên  1,1 Từ (3) f x f (y 1)   x y 1 thay vào (2) ta được:

x + 1x - 2 2 x  1 x 1 +1=0- 1x  1x  2 0

2

2

1 x 1 x 0 y 1

1 x 2(VN )

é - = « = ® = ê

« ê

-ë

Thỏa mãn (*) Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) (= 0;1)

( )

2 2

x x 2x 5 3y y 4 1

x y 3x 3y 1 0 2

ïï í

ïïî Hướng dẫn: Rút 3y từ (1) thay vào (2) ta được (x - 1)2+ (x - 1)2+ 4 = y2+ y2+ 4 (3) Xét hàm số f (t) t  t 4 với t0,

1

f '(t) 1+ >0 t 0

2 t 4



hàm số luôn đồng biến và liên tục trên [0;+ ¥ )

Từ phương trình (3) f x( - 1)= f y( )« x - = 1 y thay vào (2) ta được: x 3 y 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) 3 1;

2 2

æ ö÷

ç

= ççè ÷÷ø

( )

2

7x y 3x y 3xy x y 0 1

x y 2 2 0 2

ïïí

ïïî Hướng dẫn: y ³ - 2

Phương trình (1) « (x+ y)3+ (x+ y) ( )= 2x 3+ 2x (3)

tai lieu, document6 of 66.

Xét hàm số 3

f (t) t tvới tR, f '(t)3t +1 >0 t2  R

 Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R

Từ (3) f x y   f (2x)  x y 2x x y thay vào (2) ta được: 2

x - x + 2 - 2 = 0 Điều kiện x ³ - 2

Đặt u = x + 2 u ³ 0(*) Ta được ( )

( )

2

2

x u 2 4

u x 2 5

ìï = + ïïí

ï = + ïïî

Trừ vế với vế ta được (x - u x)( + u + 1)= 0 + Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 x = u = ® 2 x = y = 2là nghiệm

+ Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được x y 1 5

2

-

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) (2;2 ;) 1 5; 1 5

æ- - - - ö÷

÷

Bài tập 9 Cho hệ phương trình:

x(2 x 3) 2y 2 1 4 2y y 0 1

2

x 1

2

ïí

ïï ïî Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x ;y , x ;y x ;y1 1) ( 2 2) ( n n)

n

k

k 1

=

A 10 B 15 C 17

2 D 26

5 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 4.(*)

f (t)t 2 t 3 t R,

2 2

2

t

 Hàm số luôn đồng biến trên R

Từ (3) f (x) f ( y 1)          x y 1 y x 1

2



Đặt t  x 2 4x điều kiện 2  t 2(**)

t 2



2



    , g '(k)  k 1 0 k  2; 4  Hàm số g(k) luôn đồng biến trên  2; 4 Từ (2) ta có g(t)g( x 1)  t x 1

tai lieu, document7 of 66.

 x 1 x 2 4x 3; 11

5

x

2

k

k 1

26

5

=

( )

x x 1 y 3 y 6y 13 2 1

x 2y 3y - 6 = 0 2

ïïï í

ïï + + ïïî

Có bao nhiêu nghiệm? A.1 B.2 C.3 D.4

x  1 x  x x   1 x x   1 x 0 Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với 2

x  1 x ta được    2  2

Xét hàm số f (t) t t24,  t R Ta có f '(t) 1 2t 0

  t R

2

Do t  4 t

2

t

t 4

t

t 4

 Hàm số luôn đồng biến trên -1;+ Từ phương trình (3) ta có f (y 3)  f ( 2x)   y 3 2x

Thay y 3  2x vào (2) ta được 11y2 + 2y- 13= 0 phương trình có 2 nghiêm nên hệ phương trình có 2 nghiệm chọn (B)

Nhận xét:

Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như:

Từ một phương trình của hệ có chuyển về phương trình đơn giản ngay được không, có phân tích nhân tử được không … Tiếp theo ta thấy có 1 phương trình của hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào phương trình còn lại để được phương trình 1 ẩn để giải…

Bài tập Giải các hệ phương trình sau

2x 2 2x 1 y 3 2 y 0 8x 4 2 y 2 y 1

ïïí

2 2

4x 1 x y 3 5 y 0 4x y 2 3 4x 7

ïï

í

ïî

3/ 2 2x( 1)3 2x 1 (2y 3) y 2

4x 2 2y 4 6

-ïï

í

4/

2

x x.y y y

4x 5 y 8 = 6

ïï

í

ïïî

tai lieu, document8 of 66.

5/

x y x 9y 30 28y

2x 3 x y

ïí

B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ

x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương

pháp hàm số để giải

Cho hàm số y  f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục

trên tập D nếu tồn tại x0  D sao cho f (x )0 0 thì trên D phương trình f (x)0 có

nghiệm duy nhất x x0

Bài tập 11 Giải hệ phương trình: ( ) ( )

x y xy y 6 x 6y 0 1

4 x y 2 2 (2)

ïïí

ïïî Hướng dẫn: Điều kiện 4 * 

2

x y





 

2

x y

é = ê

êë Thay vào (2) ta được 4   4  

Điều kiện 2 x 4 Xét hàm số f (x) 4 x 2 4 4x liên tục trên  2;4

Ta có

 3  3

f '(x)

4 x 2 4 4 x

  , f '(x)  0 x 3

Bảng biến thiên:

Ta có f 3  2 x =3 là nghiệm của phương trình f x 2 Với x=3 y=3 thỏa

mãn (*) Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) (= 3;3)

Bài tập 12 Giải hệ phương trình: ( )

x - 6y + 4xy + x y = 0 1

x + 15 = 3y - 2 + y + 8 (2)

ìïïï í ïïïî Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét y ¹ 0chia hai vế của phương trình (1) cho 3

y ta được

+ + 4 - 6 = 0 1 x y

æ ö æ ö÷ ÷

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

è ø è ø thay vào (2) ta được

x y’

y

0

2

tai lieu, document9 of 66.

Xét hàm số: 2 2

f (x)3x 2 x  8 x 15 liên tục trên R

f x

 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R

Ta có f 1 0 x  1 y =1 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) ( )= 1;1

Bài tập 13 Giải hệ phương trình:

7x 3x y 3xy y 0 (1)

x + 3 + y 8 + y - 6 = 0 (2)

ïï í

ïïî Hướng dẫn: Phương trình (1) « (x+ y)3= ( )2x 3« x+ =y 2x« x= y

x +3 + x + 8 + x - 6 =0 (3) Xét hàm số f (t) = t+3 + t + 8 + t - 6 =0 t ³ 0

f '(t) 1 + 1 + 1>0 t 0

2 t+3 2 t 8

+ ® Hàm số đồng biến và liên tục trên [0;+ ¥ )

Ta có f (t) = « 0 t = 1 Từ (3) 2

« = « = ± … Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y) ( ) (= 1;1 , - 1; 1 - )

3 2

2 + 3 = + 2 1

3 4 2 8 7 2







x y x y x x

Hướng dẫn: Điều kiện

2x y 0 3x y 0

x 0

y 7

ì - ³ ïï

ïï - ³ ïí

ï ³ ïï

ï + ³ ïî

Phương trình (1) « x+ (x- y)+ 2x+ (x- y)= x + 2x (3)

Xét x > y « x - y > 0 từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải Xét x < « y x - y < 0 từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải Xét x=y vế trái bằng vế phải

x 3x 4x 2 x 8 x 7 (1) Hướng dẫn: Điều kiện x 7(*)

        (2)

Xét hàm số 3

f (t)t + t tR, f '(t) 3t +1>0 t R 2   Hàm số luôn đồng biến trên R

x 1

 



của phương trình Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2)

tai lieu, document10 of 66.

Bài tập 15 Giải hệ phương trình:

 

 

4 3

3 2

x + 2x y +12xy - 40y =0 1

2 4 1

2

x x y x

y x y







Hướng dẫn: Điều kiện 3 2

x 0

(*)





Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình

Xét y ¹ 0chia hai vế của (1) cho 3

8y ta được

+ +3 - 5=0

« x 1

2y= « x = 2y thay vào (2) ta được



3

2

x

x 1 1

(4)

Xét

3 2

t

f (t)

t 1



 ,

đồng biến trên R Từ phương trình (4) ta có



Vậy nghiệm của hệ phương trình là   3 5 3 5

Bài tập 16 Cho hệ phương trình:

 

2

3

x - 3 x - y -3y=0 1

2 2 1

1 2

2 1 3

y y y x

x



 Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm (x ;y , x ;y1 1) ( 2 2) và M x ;y , N x ;y( 1 1) ( 2 2)

MN bằng? A 5 B. 2 10 C.3 D.4

2 + Hướng dẫn: Điều kiện x 1, x 13, y0(*)

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được

x y

x 3 y loai do(*)

ì = ïï í

ï = -ïî

Với x=y thay vào (2) ta được

3

x x 2 2x 1

2x 1 3

 

  tai lieu, document11 of 66.

 3

3

Xét f (t) t +t t3 R, f '(t) 3t +1>0 t R 2    Hàm số luôn đồng biến trên R Từ phương trình (2) ta có f3 2x 1  f x 1  3 2x 1  x 1

2



x 0 y 0, x= y

Vậy M 0;0 , N( ) 1 5 1; 5 MN 2 10

Bài tập 17 Cho hệ phương trình:    

 

2

x - 4 x - 4y=0 1

y







Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm (x ;y , x ;y1 1) ( 2 2) và M x ;y , N x ;y( 1 1) ( 2 2)

trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;-1) D.(2;-3) Hướng dẫn: Điều kiện x 3, y3(*)

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được

x y

x 4 loai do(*)

ì = ïï í

ï = -ïî Với x=y thay vào (2) ta được 4 4 4

3 x  3  x 1 5 Điều kiện 3 x 3   Hàm số f (x) 4 x 3 4 3x là hàm chẵn trên 3;3

Xét 0 x 3

 3  3

   x  0 ; 3hàm số luôn nghịch biến trên  0;3 Ta có   4

f 2  1 5 x = 2 là nghiệm

Xét   3 x 0

 3  3

    x  3 ; 0hàm số luôn đồng biến trên 3;0 Ta có   4

f   2 1 5x = - 2 là nghiệm Với x = - ® = - 2 y 2, x=2 ® = y 2 Vậy M(- 2; 2 , N 2;2 - ) ( )

® Tọa độ trung điểm của MN là (0;0) Chọn (A)

 

x + x y + xy - 3y = 0 1





nghiệm? A.0 B.1 C.2 D.3

Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình

tai lieu, document12 of 66.