Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

Nhung năm gan đây các nhà toán hoc trong và ngoài nưóc quan tâmnghiên cúu phương pháp spline collocation giái gan đúng phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng.... Só dĩ như v¾y

LèI CÁM ƠN

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói TS NguyenVăn Tuan ngưòi thay đã t¾n tình hưóng dan, chí báo, giúp đõ trong quátrình nghiên cúu và hoàn chính lu¾n văn này

Tác giá cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các GS, TS giángday chuyên ngành Toán Giái Tích, cùng các thay giáo, cô giáo phòngsau đai hoc trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, ban Giám hi¾u và toToán trưòng THPT Phương Sơn Luc Nam Bac Giang đã tao đieu ki¾n,giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và thnc hi¾n đe tài

Xin gúi lòi cám ơn chân thành đen gia đình, các ban đã luôn quantâm, đ®ng viên giúp đõ tác giá trong quá trình hoc t¾p và hoàn thànhlu¾n văn

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói

sn hưóng dan cna T.S Nguyen Văn Tuan

Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng đưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác

Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011

Tác giá

Tran Vi¾t Phương

Mnc lnc

Ch

ương 1 M®t so kien th Nc c huan b% 9

1.1 Các khái ni¾m cơ bán cna giái tích hàm 9

1.1.1 Không gian v ectơ 9

1.1.2 Không gian metric 11

1.1.3 Không gian đ%nh c h uan 13

1.1.4 Không gian Hilbert 15

1.2 So gan đúng v à sa i so 16

1.2.1 So ga n đúng 16

1.2.2 Làm tròn so 17

1.2.3 Quy tac làm tròn so 17

1.2.4 Sai so tính toán 18

1.3 Ma tr¾n đưòng chéo tr®i và toc đ® h®i tu 20

1.3.1 Ma tr¾n đưòng chéo tr®i 20

1.3.2 Toc đ® h®i tu cna nghi¾m xap xí 20

Chương 2 Phương pháp spline collocation 21 2.1 Khái ni¾m spline đa thúc 21

2.1.1 Spline đa thúc b¾c ba vói moc cách đeu 21

2.1.2 Spline đa thúc tong quát 27

2.2 Sú dung phương pháp spline collocation cho phương trình

vi phân 322.2.1 Phương pháp spline collocation 322.2.2 Giái m®t lóp phương trình vi phân thưòng b¾c 2

bang phương pháp spline collocation 342.3 Sú dung phương pháp spline collocation cho m®t lóp phương trình đao hàm riêng 422.3.1 Sn ton tai nghi¾m duy nhat 422.3.2 Đánh giá toc đ® h®i tu 452.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích

phân Fredholm b¾c hai 472.4.1 Đ%nh lý sn ton tai và duy nhat 472.4.2 Đánh giá toc đ® h®i tu 55

C[a;b] T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]

S3(π) T¾p tat cá các hàm spline đa thúc b¾c 3

"." Chuan

∅ T¾p hop rong

LèI Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Trong khoa hoc tn nhiên, kĩ thu¾t, trong kinh te, cũng như các lĩnhvnc khác cna cu®c song chúng ta g¾p rat nhieu van đe, rat nhieu bàitoán đưa tói vi¾c nghiên cúu các phương trình vi phân, phương trìnhđao hàm riêng Vi¾c tìm nghi¾m đúng cna các phương trình nàythưòng g¾p khó khăn, hơn nua nghi¾m đúng tìm đưoc khi áp dung vàothnc tien tính toán lai phái lay các giá tr% gan đúng Vì v¾y đe tìmnghi¾m cna chúng ngưòi ta thưòng áp dung các phương pháp giái ganđúng khác nhau

Nhung năm gan đây các nhà toán hoc trong và ngoài nưóc quan tâmnghiên cúu phương pháp spline collocation giái gan đúng phương trình

vi phân, phương trình đao hàm riêng Só dĩ như v¾y vì phương phápspline collocation có m®t so ưu điem sau:

- Phương pháp này sú dung các hàm đa thúc trong giái gan đúng.

Các hàm đa thúc rat de dàng l¾p trình đưa lên máy tính, tính toánthu¾n loi, hi¾u quá

- Trong m®t so trưòng hop phương pháp spline collocation thưòng

đat toc đ® h®i tu nhanh, đ® chính xác cna nghi¾m gan đúng tothơn các phương pháp khác

- Có the khái quát cho nghi¾m xap xí bang spline b¾c cao ho¾c

các hàm B-spline.

Do đó vói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Tuan, tôi đã chon đe tài:

”Phương pháp spline collocation và m®t so Úng ding.”

2 Mnc đích nghiên cNu

Tong hop các kien thúc ve phương pháp spline collocation

Úng dung phương pháp đe giái gan đúng m®t so lóp phương trình viphân, phương trình đao hàm riêng

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

H¾ thong các kien thúc liên quan tói phương pháp spline collocation.Nghiên cúu sú dung phương pháp giái gan đúng m®t so lóp phươngtrình vi phân, phương trình đao hàm riêng

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Lu¾n văn trình bày các van đe: Các hàm spline, phương pháp splinecol- location, úng dung phương pháp spline collocation giái m®t so lópphương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung phương pháp phân tích, tong hop

Tham kháo ý kien chuyên gia

6 DN kien đóng góp mái

Đe tài đã trình bày cơ só lý thuyet cna phương pháp spline

collocation tương đoi rõ ràng, đưoc minh hoa bang ví du đơn gián

Lay đưoc ví du ve m®t so lóp phương trình riêng

Úng dung phen mem Maple vào tính toán cho phương pháp trên

N®I DUNG

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

Trong chương này trình bày h¾ thong các kien thúc can thiet sú dungtrong lu¾n văn

Chương 2 Phương pháp spline collocation

Trình bày h¾ thong cơ bán nhat ve các hàm spline, phương phápspline collocation Minh hoa phương pháp cho m®t so lóp phương trình

vi phân, phương trình đao hàm riêng

Chương 3 M®t so Nng dnng

Trong chương này sú dung phương pháp spline collocation đe giáigan đúng m®t so lóp phương trình vi phân Sú dung phan mem Mapletrong tính toán

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1.1 Không gian vectơ

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho t¾p hop E mà các phan tú đưoc kí hi¾u: →−α ,

→−

β , →−γ ,

và trưòng K mà các phan tú đưoc kí hi¾u là: x, y, z,

Giá sú trên E có hai phép toán:

1) Phép toán c®ng, kí hi¾u + : E × E −→ E

(→−α , →− β ) −→ →−α + →− β 2) Phép toán nhân, kí hi¾u là : K × E −→ E

→−

α r + →−α = →−α +

→−

α r = →− θ ;

e) (x + y)→−α = x→−α + y→−α , ∀→−α ∈ E và x, y ∈ K; f) x (→−α + →− β ) = x→−α + x →− β , ∀→−α , →− β ∈ E và x

∈ K;

Khi K = R thì E đưoc goi là không gian vectơ thnc

Khi K = C thì E đưoc goi là không gian vectơ phúc.

Ví dn 1.1.1 De dàng kiem tra C [a, b] là m®t không gian vectơ.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 H¾ vectơ (→−α i ), ∀i = 1, 2, , n goi là đ®c l¾p

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Giá sú E là m®t không gian vectơ.

M®t h¾ vectơ trong E đưoc goi là m®t h¾ sinh cúa E neu moi vectơ cúa

E đeu bieu th% tuyen tính qua h¾ đó.

Khi E có m®t h¾ sinh gom huu han phan tú thì E đưoc goi là không gian vectơ huu han sinh.

M®t h¾ vectơ trong E đưoc goi là cơ só cúa E neu nó là h¾ sinh đ®c l¾p tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Cho E là không gian vectơ có cơ só gom huu han

phan tú thì so phan tú trong cơ só đó đưoc goi là so chieu cúa không gian vectơ.

Khi E là m®t K-không gian vectơ có so chieu n ta kí hi¾u

dimE = n (hay dim K E = n).

Đ%nh nghĩa 1.1.5 T¾p con W ƒ= ∅ cúa m®t K-không gian vectơ E đưoc

goi là không gian vectơ con cúa E neu nó on đ%nh vói hai phép toán cúa

E, nghĩa là thóa mãn các đieu ki¾n sau:

3) d (x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bat đang thúc tam

giác) T¾p hop X cùng vói d là m®t không gian metric, ánh xa d là

hàm khoáng cách (hay metric) trong X Các phan tú cna m®t không

gian metric goi là các điem cna không gian ay, so d(x, y) goi là

Đ%nh nghĩa 1.1.7 M®t dãy điem (x n ), n = 1, 2, trong không

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Dãy điem (x n ) đưoc goi là dãy cơ bán (hay dãy Côsi)

trong không gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc, đeu ton tai

m®t so n0 sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có

d (x n , x m ) < ε.

De thay moi dãy điem h®i tu trong không gian metric đeu là dãy cơbán

Đ%nh nghĩa 1.1.9 M®t không gian metric X đưoc goi là đay đú neu

moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.

Đ%nh nghĩa 1.1.10 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh

xa A : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu như ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X thóa mãn d(x, x0) < δ thì d(A(x), A(x0)) < ε.

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xa

A : X → Y đưoc goi là m®t ánh xa co neu ∃α vói 0 ≤ α < 1 sao cho vói

∀x, x ∈ X ta đeu

có d (A(x), A(xr )) ≤ α d(x, xr ).

Đ%nh lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xa co) Giá sú X là m®t không gian

metric đay đú, và A : X → X là m®t ánh xa co cúa X vào chính nó Khi

đó ton tai m®t và chs m®t điem x ∗ ∈ X sao cho A(x ∗ ) = x ∗

∈

r

1.1.3 Không gian đ%nh chuan

Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng P (P = R ho¾c C)

Đ%nh nghĩa 1.1.12 M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi

tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:

1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú

không); 3) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.

So ||x|| đưoc goi là chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X M®t không

gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian ay, đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan (thnc ho¾c phúc, tùy theo P thnc

hay phúc)

Đ%nh lý 1.1.2 Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan Vói moi x, y ∈

X, đ¾t

d (x, y) = ||x − y||.

Khi đó, d là m®t metric trên X.

Đ%nh nghĩa 1.1.13 Dãy (x n ) trong không gian đ%nh chuan X đưoc

goi là h®i tn đen x0 ∈ X neu lim ||x n − x0|| = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.14 Dãy (x n ) trong không gian đ%nh chuan X đưoc

goi là m®t dãy cơ bán neu

lim

m,n→∞ ||x m − x n || = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.15 Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không

gian metric đay đú (vói khoáng cách d (x, y) = ||x − y||) Khi đó X đưoc

goi là m®t không gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là không gian Banach.

Đ%nh nghĩa 1.1.16 Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng

P Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là ánh xa tuyen tính hay toán tú tuyen tính neu A thóa mãn:

1) A (x + y) = Ax + Ay, vói moi x, y ∈ X;

2) A (αx) = αAx, vói moi x ∈ X, α ∈ P.

- Neu A chí thoá mãn 1) thì A đưoc goi là toán tú c®ng tính.

- Neu A chí thóa mãn 2) thì A đưoc goi là toán tú thuan nhat.

- Khi Y = P thì toán tú tuyen tính A đưoc goi là phiem hàm

tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.1.17 Cho không gian đ%nh chuan X và Y Toán tú

tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu ton tai hang so c > 0 sao cho

||Ax|| ≤ c||x||, vói moi x ∈ X.

Đ%nh nghĩa 1.1.18 Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y Kí

hi¾u L (X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không

gian X vào không gian Y Ta đưa vào L (X, Y ) hai phép toán:

1) Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A + B,

De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai

phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính Khi đó, t¾p L(X, Y )

tró thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng P

Đ%nh lý 1.1.3 Neu Y là m®t không gian Banach thì L (X, Y ) là

không gian Banach.

1.1.4 Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.1.19 Cho không gian tuyen tính X trên trưòng P

(P = R ho¾c P = C) Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi

ánh xa tù tích Descartes X × X vào trưòng P, kí hi¾u (·, ·), thóa mãn các tiên đe:

5) (x, x) = 0, neu x = θ, ∀x ∈ X.

Các phan tú x, y, z, goi là các nhân tú cna tích vô hưóng So (x,

y ) goi là tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2), 3),

4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng

Đ%nh nghĩa 1.1.20 Không gian tuyen tính X trên trưòng P cùng vói

m®t tích vô hưóng trên X goi là không gian tien Hilbert.

Đ%nh lý 1.1.4 Cho X là m®t không gian tien Hilbert Vói moi x ∈ X,

ta đ¾t ||x|| = ,(x, x) Khi đó, ta có bat đang thúc sau (goi là bat

đang thúc Schwarz).

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.

Đ%nh lý 1.1.5 Moi không gian tien Hilbert X đeu là không gian đ

%nh chuan, vói chuan ||x|| = ,(x, x).

Đ%nh nghĩa 1.1.21 Ta goi không gian tuyen tính H ƒ= ∅ trên trưòng P

là không gian Hilbert H thóa mãn các đieu ki¾n:

1) H là không gian tien Hilbert;

2) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = ,(x, x) vói x ∈ X.

Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con cna không gian H.

1.2.1 So gan đúng

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Ta nói rang so a là so gan đúng cúa a ∗ neu a

không sai khác a ∗ nhieu Đai lưong ∆ = |a − a ∗ | phán ánh múc đ® sai l¾ch giua

a và a ∗ goi là sai so th¾t sn cúa a.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 So ∆a ≥ 0 goi là sai so tuy¾t đoi cúa a ∗ neu thóa mãn đieu ki¾n:

c) Neu p − s → −∞(s → +∞) thì a là so th¾p phân vô han.

Làm tròn so a là bó đi m®t so các chu so bên phái cna so a gon hơn

và gan đúng nhat vói a.

r là đao hàm theo x i tai điem trung gian.Vì f khá vi liên tuc ∆ x i

khá bé nên có the coi

1) Sai so cna phép toán c®ng, trù

Chú ý 1 Neu tong đai so y = x i rat bé ve giá tr% tuy¾t đoi

• Neu α = −1 thì đ® chính xác không đoi.

• Neu α = 1 , k ∈ N ∗ thì đ® chính xác tăng lên

4) Sai so cna phép tính logarit y = ln x

1.3.1 Ma tr¾n đưàng chéo tr®i

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho ma tr¾n vuông A = (a) n

Ta nói ma tr¾n A là ma tr¾n đưòng chéo tr®i neu thóa mãn m®t trong hai đieu ki¾n sau:

Đ%nh lý 1.3.1 Moi ma tr¾n đưòng chéo tr®i đeu không suy bien.

1.3.2 Toc đ® h®i tn cúa nghi¾m xap xí

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Cho π là phân hoach đeu cúa đoan [a, b] vói các

Giá sú x n là nghi¾m xap xs cúa phương trình toán tú Lx = f

trong không gian C [a, b] và x là nghi¾m đúng cúa phương trình đó.

Neu có đánh giá ||x n − x|| ≤ ch k , vói c là hang so dương không phn

i,j=

1

n

thu®c h, k ∈ N ∗ thì ta nói nghi¾m xs x n đat toc đ® h®i tn b¾c k tói nghi¾m chính xác x (hay đ® chính xác b¾c h k ).

Chương 2 Phương pháp spline collocation

2.1.1 Spline đa thNc b¾c ba vái moc cách đeu

Xét phân hoach π trên đoan [a,b] vói các moc n®i suy

a = t0 < t1 < t2 < < t n = b.

Kí hi¾u h i = t i − t i−1 , neu h i = h = const thì các moc n®i suy t0, t1, ,

t n

goi là các moc n®i suy cách đeu

Đ%nh nghĩa 2.1.1 M®t spline đa thúc b¾c ba trên đoan [a,b] vói phân

hoach π là hàm so y = s(t) thóa mãn hai đieu ki¾n sau:

1) s (t) ∈ C2[a; b];

2) Han che cúa s (t) trên moi khoáng ∆ i = [t i ; t i+1 ] là đa thúc

s (t)|∆i ,

vói deg (s(t)|∆i ) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, , n.

Không gian gom tat cá các hàm so s (t) thõa mãn hai đieu ki¾n trên kí

hi¾u là S3(π).

Tù đ%nh nghĩa ta có không gian S3(π) chúa tat cá các đa thúc có

b¾c nhó hơn ho¾c bang 3 De dàng kiem tra các tiên đe cna không

gian véctơ suy ra S3(π) là không gian tuyen tính.

M¾nh đe 2.1.1 Không gian S3(π) là không gian tuyen tính và không

gian đó chúa tat cá các đa thúc có b¾c nhó hơn bang 3.

n , trong đó chúng ta bo sung thêm 4 moc n®i suy t n−2 < t n−1 <

t0 và t n+2 > t n+1 > t n đong thòi xét hàm so B i (t) đưoc xác đ%nh bói

Có đo th% xem hình (2.1)

Hình 2.1 Đo th% hàm B i (t).

Bang cách thay vào (2.2) các hàm so B i (t) liên tuc khá vi hai lan trên

Các hàm B-spline khác không nhó gon nhat vói các moc n®i suy

t −2 < t −1 < t0 < < t n < t n+1 < t n+2 đó là, bat kì spline đa thúc

b¾c 3 s(t) đong nhat tri¾t tiêu bang 0 ngoài khoáng (t j−2 , t j+2 ).

Hơn nua moi B i (t) là b¾c 3 trên [t j , t j+1 ] nên B i (t) ∈ S3(π).

De thay h¾ B là đ®c l¾p tuyen tính và B3(π) là không gian n + 3 chieu.

Đ%nh lý 2.1.1 Có duy nhat hàm s (t) ∈ B3(π) thõa mãn bài toán (2.1).

s (t) thõa mãn bài toán (2.1) nên chúng ta có:

n





Vì f (t), g(t) ∈ C2[a, b] nên g(t) ∈ C2[a, b] theo đ%nh lý Rolle thì

g r (t) có n nghi¾m y i thõa mãn t i < y i < t i+1 đong thòi t0, t n là hai

nghi¾m cna g r (t) Như v¾y g r (t) có ít nhat n + 2 nghi¾m do đó g rr (t)

có ít nhat n + 1

nghi¾m z i và x i < z i < y i , 0 ≤ i ≤ n.

Nhưng g rr (t) là đa thúc có b¾c cao nhat bang 1 trên [t i , t i+1] vói

các điem lưói cna phân hoach π, vì g rr (t) nh¾n z i , i = 0, 1, 2, , n là

các nghi¾m

3 3

=

nên chúng ta suy ra g rr (t) ≡ 0 trên [t i , t i + 1].

H¾ quá 2.2 Ton tai duy nhat m®t spline b¾c 3 s (t) là nghi¾m cúa

cúa bài toán (2.1) Hàm s (t) như v¾y goi là spline n®i suy b¾c 3 cúa

f(t).

Các spline b¾c 3 n®i suy đen hàm f (t) không phái chí là đa thúc n®i suy b¾c 3 cna f (t) tai các điem nút t i , 0 ≤ i ≤ n nói trên Thnc

te, nhieu vô han spline, có the chúng minh m®t cách hoàn toàn tương

tn chúng minh đ%nh lý (2.2.1) rang, ton tai duy nhat spline s(t) cho bói

Ma tr¾n A đe xác đ%nh khi giái s(t) sai khác matr¾n A ó dòng cuoi

cùng, tù đó có the chúng minh bang đ%nh lý (2.2.1)

Khái quát [8, tr 83], khi f ∈ C4[a, b] thì

||f − s| | ≤ 5

384|

|f

(4 ) ||h4.

2.1.2 Spline đa thNc tong quát

Đe nghiên cúu khái ni¾m B-spline tong quát chúng ta đi tù khái ni¾m

sai phân cna hàm so

p (x) = x, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 4 thì ∆2p (x0) = p(x2) − 2p(x1) +

p (x0) = 2

Đao hàm cna hàm B-spline đưoc tính theo công thúc

Quan sát đo th% rõ ràng F t (x) là hàm khá vi liên tuc hai lan trên

toàn truc so nhưng không khá vi liên tuc ba lan

Th¾t v¾y: hàm F rrr (x) gián đoan suy ra tù công thúc sau:

De thay F t (x), t ∈ R là m®t spline b¾c ba, hay F t (x) ∈ S3(π) Câu hói đ¾t ra là có hàm K(t) như v¾y không?

Đe trá lòi câu hói này ta có m¾nh đe sau:

, x0 < t ≤ x1,

0, ∀t ∈/ [x0, x4].

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Giá sú π là m®t phân hoach t0 < t1 < t2 <

< t n , (n ≥ m + 1) cúa [a, b], không gian

+

+

S m (π) = .s (t) ∈ C m−1 [a, b]| s(t)|

[t ,t

] là đa thúc b¾c m.

i i+1