Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

322.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2 bằng phương pháp spline collocation.. 342.3 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương trình đạo hàm riêng.. Những n

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS NguyễnVăn Tuấn người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ trong quátrình nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn này

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các GS, TS giảngdạy chuyên ngành Toán Giải Tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sauđại học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban Giám hiệu và tổ Toántrường THPT Phương Sơn Lục Nam Bắc Giang đã tạo điều kiện, giúp đỡtác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn đã luôn quan tâm,động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011

Tác giả

Trần Việt Phương

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011

Tác giả

Trần Việt Phương

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 9

1.1.1 Không gian vectơ 9

1.1.2 Không gian metric 11

1.1.3 Không gian định chuẩn 13

1.1.4 Không gian Hilbert 15

1.2 Số gần đúng và sai số 16

1.2.1 Số gần đúng 16

1.2.2 Làm tròn số 17

1.2.3 Quy tắc làm tròn số 17

1.2.4 Sai số tính toán 18

1.3 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ 20

1.3.1 Ma trận đường chéo trội 20

1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 20

Chương 2 Phương pháp spline collocation 21 2.1 Khái niệm spline đa thức 21

2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều 21

2.1.2 Spline đa thức tổng quát 27

2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình

vi phân 322.2.1 Phương pháp spline collocation 322.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2

bằng phương pháp spline collocation 342.3 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương

trình đạo hàm riêng 422.3.1 Sự tồn tại nghiệm duy nhất 422.3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ 452.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích

phân Fredholm bậc hai 472.4.1 Định lý sự tồn tại và duy nhất 472.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ 55

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như các lĩnhvực khác của cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều vấn đề, rất nhiều bài toánđưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khókhăn, hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toánlại phải lấy các giá trị gần đúng Vì vậy để tìm nghiệm của chúng người

ta thường áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau

Những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâmnghiên cứu phương pháp spline collocation giải gần đúng phương trình viphân, phương trình đạo hàm riêng Sở dĩ như vậy vì phương pháp splinecollocation có một số ưu điểm sau:

- Phương pháp này sử dụng các hàm đa thức trong giải gần đúng.Các hàm đa thức rất dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toánthuận lợi, hiệu quả

- Trong một số trường hợp phương pháp spline collocation thườngđạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơncác phương pháp khác

- Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc cáchàm B-spline

Do đó với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài:

”Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng.”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kiến thức về phương pháp spline collocation

Ứng dụng phương pháp để giải gần đúng một số lớp phương trình viphân, phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kiến thức liên quan tới phương pháp spline collocation.Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải gần đúng một số lớp phươngtrình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn trình bày các vấn đề: Các hàm spline, phương pháp spline location, ứng dụng phương pháp spline collocation giải một số lớp phươngtrình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

col-5 Phương pháp nghiên cứu

Lấy được ví dụ về một số lớp phương trình riêng

Ứng dụng phền mềm Maple vào tính toán cho phương pháp trên.NỘI DUNG

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày hệ thống các kiến thức cần thiết sử dụng

trong luận văn

Chương 2 Phương pháp spline collocation

Trình bày hệ thống cơ bản nhất về các hàm spline, phương pháp splinecollocation Minh họa phương pháp cho một số lớp phương trình vi phân,phương trình đạo hàm riêng

Chương 3 Một số ứng dụng

Trong chương này sử dụng phương pháp spline collocation để giải gầnđúng một số lớp phương trình vi phân Sử dụng phần mềm Maple trongtính toán

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu: −→α ,−→β , −→γ ,

và trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z,

Giả sử trên E có hai phép toán:

g) x(y−→α ) = (xy)−→α , ∀−→α ∈ E và x, y ∈ K;

h) 1 · −→α = −→α , ∀−→α ∈ E và 1 là phần tử đơn vị của trường K;

Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trêntrường K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính

Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực

Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là một không gian vectơ

Một hệ vectơ trong E được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của

E đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là khônggian vectơ hữu hạn sinh

Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độclập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4 Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần

tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ.Khi E là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu

dimE = n (hay dimKE = n)

2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bất đẳng thức tam giác)

Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàmkhoảng cách (hay metric) trong X Các phần tử của một không gianmetric gọi là các điểm của không gian ấy, số d(x, y) gọi là khoảng cáchgiữa các điểm x và y

Ví dụ 1.1.2 C[a, b] là không gian metric với khoảng cách

d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)|

Định nghĩa 1.1.7 Một dãy điểm (xn), n = 1, 2, trong không gianmetric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim

Định nghĩa 1.1.10 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu như ∀ε > 0, ∃δ > 0 saocho ∀x ∈ X thỏa mãn d(x, x0) < δ thì d(A(x), A(x0)) < ε

Định nghĩa 1.1.11 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

A : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu ∃α với 0 ≤ α < 1 sao cho với

∀x, x0 ∈ X ta đều có

d(A(x), A(x0)) ≤ α d(x, x0)

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một không gian metricđầy đủ, và A : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồntại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho A(x∗) = x∗

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C)

Định nghĩa 1.1.12 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X,đặt

d(x, y) = ||x − y||

Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.13 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim

n→∞||xn− x0|| = 0

Khi đó, ta kí hiệu

lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.14 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim

m,n→∞||xm − xn|| = 0

Định nghĩa 1.1.15 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gianmetric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x − y||) Khi đó X được gọi làmột không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.16 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyếntính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P

- Nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính

- Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất

- Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyếntính

Định nghĩa 1.1.17 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyếntính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng

số c > 0 sao cho

||Ax|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.1.18 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu

L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vàokhông gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

Định lý 1.1.3 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là khônggian Banach.

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.19 Cho không gian tuyến tính X trên trường P

(P = R hoặc P = C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh

xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiênđề:

5) (x, x) = 0, nếu x = θ, ∀x ∈ X.

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số (x, y)gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.20 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng vớimột tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ X,

ta đặt ||x|| = p(x, x) Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳngthức Schwarz)

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X

Định lý 1.1.5 Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian địnhchuẩn, với chuẩn ||x|| = p(x, x)

Định nghĩa 1.1.21 Ta gọi không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường P

là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = p(x, x) với x ∈ X

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

1.2 Số gần đúng và sai số

1.2.1 Số gần đúng

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng số a là số gần đúng của a∗ nếu a khôngsai khác a∗ nhiều Đại lượng ∆ = |a − a∗| phản ánh mức độ sai lệch giữa

a và a∗ gọi là sai số thật sự của a

Định nghĩa 1.2.2 Số ∆a ≥ 0 gọi là sai số tuyệt đối của a∗ nếu thỏamãn điều kiện:

a) Nếu p − s> 0 thì a là số nguyên nên a có giá trị chính xác,b) Nếu p − s = −k(k > 0)) thì a có phần lẻ là k chữ số,

c) Nếu p − s → −∞(s → +∞) thì a là số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a gọn hơn vàgần đúng nhất với a

1.2.3 Quy tắc làm tròn số

Giả sử a có dạng (1.2) ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i phần bỏ đi là µ thì

a = ±(αp10p+ + αi+110i+1 + αi10i),

|a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a+ Γa.1.2.4 Sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y = f (x1, x2, , xn)

f0xi

· |xi − x∗i| ,

với f0xi là đạo hàm theo xi tại điểm trung gian.Vì f khả vi liên tục ∆xi

δy = ∆y

|y| =

∆xi

d ln ydx