Phương pháp xác suất và một số ứng dụng

Phương pháp xác suất đặc biệt được ứng dụng trong đại số tổhợp và khoa học máy tính - một lĩnh vực mà gần đây là nguồn gốc của nhiềubài toán tổ hợp hấp dẫn.. Mục đích nghiên cứu Đưa ra m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn: TS NGUYỄN HẮC HẢI

Hà Nội - 2017

Mục lục

1.1 Định nghĩa xác suất 1

1.1.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển 1

1.1.2 Định nghĩa xác suất bằng tần suất 1

1.1.3 Định nghĩa xác suất bằng hình học 2

1.2 Một số tính chất cơ bản của xác suất 2

1.2.1 Tính chất 1 2

1.2.2 Tính chất 2 2

1.2.3 Tính chất 3 3

1.3 Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối 3

1.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên 3

1.3.2 Hàm phân phối 3

1.4 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị 4

2 Phương pháp xác suất và một số ứng dụng 6 2.1 Đại cương về phương pháp xác suất 6

2.2 Một số phương pháp xác suất cơ bản 10

2.2.1 Phương pháp sử dụng tính chất cơ bản của xác suất 10

2.2.2 Phương pháp sử dụng tính chất tuyến tính của kỳ vọng 17

2.3 Chứng minh định lý Weierstrass 26

3 Ứng dụng của phương pháp xác suất trong di truyền quần thể và trong toán sơ cấp 29 3.1 Ứng dụng trong di truyền quần thể 29

3.1.1 Lý thuyết xác suất trong di truyền quần thể 29

3.1.2 Vận dụng xác suất trong di truyền quần thể người 32

3.2 Ứng dụng trong các bài toán sơ cấp 35

3.2.1 Ứng dụng trong chương trình phổ thông 35

3.2.2 Ứng dụng trong các bài toán thi Olimpic 38

3.3 Một số ứng dụng khác 45

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hắc Hải, giảng viênkhoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội đã trực tiếp giao đề tài và hướng dẫn tôitận tình, cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội 2đã dạy bảo tôi tận tình trong suốtquá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2017

Học viên

Trương Thị Thùy Nga

Lời cam đoan

Luận văn của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Nguyễn HắcHải cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình thực hiện tôi có thamkhảo một số tài liệu (được nói đến trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những nội dung được trình bày trong luận văn này là kếtquả của quá trình tìm hiểu, học tập và tiếp thu dưới sự hướng dẫn, chỉ dạy củathầy Nguyễn Hắc Hải Những nội dung đó không trùng lặp với các kết quả củatác giả khác

Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2017

Học viên

Trương Thị Thùy Nga

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, phương pháp xác suất đã được phát triển nhanhchóng và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau Ý tưởng củaphương pháp là xây dựng không gian xác suất hợp lý để chứng minh các tínhchất của một tập hợp các đối tượng nào đó hoặc chứng minh lại các kết quảtoán học đã có Phương pháp xác suất đặc biệt được ứng dụng trong đại số tổhợp và khoa học máy tính - một lĩnh vực mà gần đây là nguồn gốc của nhiềubài toán tổ hợp hấp dẫn Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xácxuất đối với một số vấn đề trong Toán tổ hợp và trong xác xuất, tôi lựa chọn

đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ ỨNGDỤNG ” cho luận văn thạc sĩ của mình

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các nội dung được đềcập đến trong luận văn còn ít Ngoài ra luận văn cũng không thể tránh khỏinhững sai sót ở nhiều góc độ, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quýthầy cô và các bạn

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một khía cạnh khác trong giải quyết một số vấn đề không dựa vàocác cách chứng minh thuần túy mà dựa vào phương pháp xác suất để giải quyếtcác vấn đề đó

Xây dựng một tài liệu về phương pháp xác suất và ứng dụng vào việc tính

xác suất hay chứng minh một vấn đề cụ thể bằng phương pháp xác suất Với

hi vọng đóng góp một phần nhỏ trong hệ thống vô cùng lớn về tài liệu phươngpháp xác suất Và đặc biệt tôi hi vọng rằng các kết quả nghiên cứu được nêutrong luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các cá nhânmuốn tìm hiểu cơ bản về phương pháp xác suất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Qua từng vấn đề được nêu ra trong luận văn, ta sử dụng công cụ là phươngpháp xác suất để làm rõ các vấn đề đó thông qua các tính chất cơ bản của xácsuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và tìm hiểu cách sử dụng phương pháp xác suất và ứng dụngphương pháp xác suất vào trong một số bài toán tổ hợp từ đơn giản đến phứctạp trong các kỳ thi Olimpic trong và ngoài nước, các kết quả đã được chứngminh là đúng của nó trong lý thuyết đồ thị, trong các bài toán về di truyền quầnthể cũng như trong thực tế cuộc sống

5 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu hệ thống khá đầy đủ, khoa học, dễ hiểu các vấn

đề cơ bản về phương pháp xác suất và áp dụng phương pháp xác suất vào giảiquyết một số vấn đề

Luận văn được trình bày theo hướng đi từ các lý thuyết cơ bản qua đó giảiquyết các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp Vì vậy tôi hi vọng rằng đã cung cấpmột tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu và tìm hiểu một cách cơ bản về phươngpháp xác suất cho mọi người

6 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được hoàn thiện dựa trên nghiên cứu lý thuyết cùng nghiên cứuthực tiễn dựa vào phân tích và tổng kết kinh nghiệm cùng quan sát khoa học

Nội dung

Luận văn tốt nghiệp được chia thành ba chương cộng với phần Mở đầu, Kếtluận và Tài liệu tham khảo Nội dung cụ thể trong Chương1, Chương2, Chương

3 của luận văn được phân bố như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa xác suất

1.2 Một số tính chất cơ bản của xác suất

1.3 Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

1.4 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị

Chương 2: Phương pháp xác suất và một số ứng dụng

2.1 Đại cương về phương pháp xác suất

2.2 Một số phương pháp xác suất cơ bản

2.3 Chứng minh định lý Weierstrass

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp xác suất trong di truyền quầnthể và trong toán sơ cấp

3.1 Ứng dụng trong di truyền quần thể

3.2 Ứng dụng trong các bài toán sơ cấp

3.3 Một số ứng dụng khác

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa xác suất

1.1.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển

Cho phép thử C và một sự kiện A Giả sử số các kết quả có thể là hữu hạn

và đồng khả năng Xác suất của sự kiện A là một số không âm, kí hiệu P (A),biểu thị khả năng xảy ra sự kiện A và được xác định như sau :

P (A) = |A|

|Ω|.

1.1.2 Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Cho phép thử C và một sự kiện A Lặp lại phép thử C n lần một cách độclập trong các điều kiện như nhau Gọi k là số lần xuất hiện như nhau, tỷ số

fn(A) = k

n được gọi là tần suất xuất hiện của A

Khi n thay đổi tần suất k

n cũng thay đổi, nhưng nó luôn giao động quanhmột số cố định nào đó, n càng lớn thì k

n càng gần số cố định đó Số cố định ấyđược gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê Trên thực tế khi n đủ lớn, taxấp xỉ P (A) bởi k

n

P (A) ≈ k

n.

1.1.3 Định nghĩa xác suất bằng hình học

Cho miền Ω đo được (trong mặt phẳng, đường thẳng, không gian 3 chiều, )

và miền con đo được S củaΩ Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong miền Ω.Đặt A = [M ∈ S]

Ký hiệu: Độ đo S và độ đo Ω lần lượt là |S| và |Ω|

Khi đó xác suất để điểm M rơi vào miền S (sự kiện A) được xác định như sau:

P (A) = |S|

|Ω|.

Miền Ω chính là không gian sự kiện sơ cấp

Chú ý: Khái niệm độ đo được hiểu như sau:

- Nếu Ω là đường cong hay đoạn thẳng thì "độ đo" của Ω là độ dài của nó

- Nếu Ω là hình phẳng thì "độ đo" của Ω là diện tích của nó

- Nếu Ω là hình khối trong không gian thì "độ đo" của Ω là thể tích của nó

1.2 Một số tính chất cơ bản của xác suất

1.3 Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

1.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên

Cho (Ω, F , P ) là một không gian xác suất X là một hàm đo được, hữu hạn,xác định trên Ω sao cho với mỗi x ∈ R thì {ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ F thì X đượcgọi là một đại lượng ngẫu nhiên (hoặc một biến ngẫu nhiên)

Chúng ta thường gặp hai loại đại lượng ngẫu nhiên sau đây:

ˆ Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận một sốhữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị

ˆ Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Là đại lượng ngẫu nhiên nhận mọi giá trịtrong khoảng (a, b) nào đó, a có thể là −∞, b có thể là +∞

Trong phạm vi của luận văn, chúng ta chỉ đi xem xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

1.3.2 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.1 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X được kýhiệu và xác định như sau:

FX(x) = P {ω : X(ω) < x}, x ∈R 1.3.2.1 Tính chất của hàm phân phối

1.3.2.2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị x 1 , x 2 , , x n ,

với xác suất tương ứng:

Bảng trên được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

X hay gọi tắt là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

1.4 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị

Trong phần này chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của đồ thị

Định nghĩa 1.2 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nốicác đỉnh đó Được mô tả hình thức: G = (V, E), trong đó:

V được gọi là tập các đỉnh còn E được gọi là tập các cạnh trong G, cũng có thểcoi E = {(u, v)|u ∈ V, v ∈ V }

Chúng ta có thể phân loại đồ thị theo đặc tính và theo số lượng của tập các cạnh

trong E.

Ta có một số định nghĩa một cách hình thức về đồ thị G như sau:

Đồ thịG = (V, E) được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có nhiềunhất một cạnh trong E nối từ u tới v hoặc ngược lại

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể

có nhiều hơn một cạnh trong E nối từ u tới v hoặc ngược lại

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị vô hướng nếu các cạnh trong E là không

có hướng, nghĩa là cạnh (u, v) cũng chính là cạnh (v, u) với u, v là các đỉnh trong

V Tập E trong đồ thị vô hướng là tập các cặp (u, v) không phân biệt thứ tự

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong E là cóhướng, nghĩa là cạnh (u, v) khác cạnh (v, u) với u, v là các đỉnh trong V Tập E

trong đồ thị có hướng là tập các cặp (u, v) có phân biệt thứ tự

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mỗi cặp hai đỉnh khác nhaucủa G được nối với nhau bằng đúng một cạnh

Trong đồ thị vô hướngG = (V, E), xét cạnhe ∈ E và nếue = (u, v), u ∈ V, v ∈ V

thì u và v được gọi là hai đỉnh kề nhau và cạnh e được gọi là liên thuộc với đỉnh

u và đỉnh v

Với một đỉnh v ∈ V trong đồ thị vô hướng G = (V, E) ta định nghĩa bậc của

v là số cạnh liên thuộc với v

Chương 2

Phương pháp xác suất và một số

ứng dụng

2.1 Đại cương về phương pháp xác suất

Phương pháp xác suất là một công cụ có sức mạnh trong việc giải quyếtnhiều bài toán trong toán rời rạc, toán tổ hợp, lý thuyết đồ thị, Nói một cáchđại cương, phương pháp xác suất được thực hiện như sau: Để chứng minh mộtcấu trúc với những tính chất muốn có là tồn tại chắc chắn, chúng ta đi địnhnghĩa một không gian xác suất thích hợp của các cấu trúc và rồi chỉ ra rằngnhững tính chất muốn có là đúng trong không gian xác suất này với xác suấtdương hoặc sử dụng tính chất của kỳ vọng các biến ngẫu nhiên để chứng minh.Người ta còn dùng phương pháp xác suất để chứng minh lại các kết quả toánhọc đã biết Để minh họa cho phương pháp xác suất cơ bản ta xét một bài toán

về số Ramsey Số Ramsey R(k, l) là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trongbất kỳ cách tô 2 màu các cạnh của một đồ thị đầy đủ Kn bằng màu đỏ và màuxanh, hoặc là tồn tại một Kk đỏ ( nghĩa là một đồ thị con đầy đủ có k đỉnh màtất cả các cạnh đều được tô màu đỏ ), hoặc tồn tại một Kl xanh Ramsey vàonăm 1929 chỉ ra được rằng R(k, l) là hữu hạn cho bất kỳ hai số nguyên k và l.Chúng ta thu được một cận dưới cho số Ramsey R(k, k) bởi mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 2.1 Nếu nk
.21−(2 ) < 1 thì R(k, k) > n Do đó R(k, k) > b2 2 c với mọi

k ≥ 3

Trước khi vào phần chứng minh cụ thể, chúng ta cùng xem lại một kết quảquan trọng được nêu trong bổ đề dưới đây mà trong phần này chúng ta sẽ sửdụng nó rất nhiều

Bổ đề 2.2 Với mọi tập hợp các sự kiện A1, , An ta luôn có bất đẳng thức:

Ta có điều phải chứng minh

Quay trở lại chứng minh mệnh đề

Chứng minh Xét một cách tô màu cạnh ngẫu nhiên củaKn thu được bằng cách

tô màu mỗi cạnh độc lập hoặc màu xanh hoặc màu đỏ, ở đây mỗi màu là nhưnhau, nghĩa là mỗi màu được tô với cùng xác suất là 1

2 Khi đó không gian sựkiện sơ cấp tương ứng với cách tô màu này là Ω = {X, Đ} và p = 1

với xác suất là p = 1

2 và có 2 cách để tô màu cạnh nên:

Xác suất của sự kiện AR là:



.21−(k2 ) < 1 (Theo giả thiết)

Do đó, với xác suất dương, không sự kiện AR nào xảy ra và tồn tại một cách tô

2 màu các cạnh của Kn mà không có một Kk một màu, nghĩa là R(k, k) > n.Chú ý rằng, nếu k ≥ 3 và chúng ta lấy n = b2k2 c thì



n k



.21−(k2 ) < 21+

k 2 k! .

tố cần thiết trong chứng minh đưa ra ở trên Thật vậy, một chứng minh đơngiản tương tự có thể được miêu tả bằng cách đếm, chúng ta sẽ kiểm tra đượcrằng tổng số cách tô 2 màu các cạnh của Kn là lớn hơn số cách tô 2 màu mà cóchứa một Kk một màu Hơn nữa, từ phần rất lớn các không gian xác suất được

xem xét trong nghiên cứu các bài toán tổ hợp là các không gian hữu hạn, nhậnđịnh này áp dụng cho hầu hết các ứng dụng của phương pháp xác suất trongtoán rời rạc Vì vậy trong thực tế, xác suất là yếu tố rất cần thiết trong các ứngdụng.

Phương pháp xác suất là một khía cạnh thuật toán rất thú vị Xem xét, cho

ví dụ, chứng minh của Mệnh đề 2.1 chỉ ra rằng tồn tại một cách tô 2 màu cáccạnh của Kn mà không có một K2 logn

2 một màu nào Chúng ta có thể thực sựtìm được một cách tô màu như thế không ? Do tổng số khả năng tô màu là hữuhạn, vì vậy chúng ta có thể thử tất cả chúng cho đến khi ta tìm được một cách

tô màu mong muốn Tuy nhiên, cách làm này có thể đòi hỏi 2(n2 ) bước, nên tốnrất nhiều thời gian do khối lượng quá lớn Dù có sự giúp đỡ của giải thuật thìviệc làm đó cũng không thực tế Trong cách chứng minh của mệnh đề, đã chỉ racách tô màu dường như là tốt và hiệu quả

Đây là lý do để k lớn, nếu n = b2k2 c thì



n k



21−(k2 ) < 21+

k 2 k! .(

n

2k2 )k ≤ 2

1+ k 2 k! << 1.

Vì vậy, một cách tô màu ngẫu nhiên của Kn là rất có khả năng không chứa một

11

20!, xác suất nhỏ hơn nhiều

cơ hội tạo ra một lỗi của chúng ta trong bất kỳ chứng minh chặt chẽ rằng mộtcách tô 2 màu các cạnh là tốt Do đó, trong một vài trường hợp phương phápxác suất, không xây dựng, không đưa ra các thuật toán xác suất có hiệu quả.Hơn nữa, những thuật toán này đôi lúc có thể biến đổi vào bên trong cái tấtyếu của nó

Phương pháp xác suất là một công cụ có sức mạnh trong Tổ hợp và trong Lý

thuyết đồ thị Nó cũng vô cùng hữu ích trong Lý thuyết số và trong Hình học tổhợp Gần đây nó được ứng dụng trong phát triển của phương pháp thuật toánhiệu quả và trong nghiên cứu các bài toán tính toán khác nhau Trong phần cònlại của chương này chúng ta cùng đi tìm hiểu cách khai thác, giải quyết một sốvấn đề trong toán sơ cấp và trong lý thuyết đồ thị bằng phương pháp xác suất.

2.2 Một số phương pháp xác suất cơ bản

Trong luận văn chỉ trình bày qua hai phương pháp xác suất là sử dụng tínhchất cơ bản của xác suất và sử dụng tính chất tuyến tính của kỳ vọng Trongmục này chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề trong toán sơ cấp, trong lý thuyết

đồ thị và trong lý thuyết tập hợp thông qua hai phương pháp xác suất trên.Dưới đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể từng phương pháp

2.2.1 Phương pháp sử dụng tính chất cơ bản của xác suất

2.2.1.1 Ứng dụng trong toán sơ cấp

Một bài toán đơn giản trong số học sử dụng tính chất của tổng cấp số nhânlùi vô hạn sau đây sẽ được chúng ta giải quyết bằng phương pháp xác suất

Ta xét thí nghiệm tung đồng xu lên với xác suất xuất hiện mặt sấp là p, xác

suất xuất hiện mặt ngửa là q Ta thực hiện thí nghiệm này cho đến khi mặtsấp xuất hiện thì dừng lại Khi đó không gian sự kiện sơ cấp tương ứng với thínghiệm này là Ω = {S, N } và xác suất xuất hiện mặt sấp là p.

Gọi X là số lần tung, khi đó ta có:

P (X = n) = pqn−1

Thay n lần lượt bằng 1, 2, 3, ta được vế trái của đẳng thức trên bằng

P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + + P (X = n) +

Dĩ nhiên tổng trên bằng 1 Ta được điều phải chứng minh

Nhận xét: Đẳng thức trên được suy ra từ một tính chất mang tính đặc trưngcủa xác suất như sau:

Nếu {A1, A2, , An} là một phân hoạch của không gian xác suất Ω thì

P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) = 1.

Một bài toán khác cũng liên quan đến hai số thực không âm mà có tổng bằng

1 dưới đây cũng được giải quyết bằng công cụ xác suất

Bài toán 2:

Cho p, q là hai số thực không âm có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

(1 − pm)n+ (1 − qn)m ≥ 1.

Lời giảiXét một ma trận ngẫu nhiên kích thước m × n trong đó mỗi một ô được điền số

cấp tương ứng với phép thử này là Ω = {0, 1}.

Gọi A là sự kiện "Trong m dòng của bảng, mỗi dòng có ít nhất một số 1"

Dễ dàng thấy rằng xác suất để cả dòng không có số1 nào là qn, do vậy xác suấtcủa sự kiện A là P (A) = (1 − qn)m

Tương tự, gọiB là sự kiện "Trong n cột của bảng, mỗi cột có ít nhất một số 0"thì xác suất của sự kiện B là P (B) = (1 − pm)n

Khi đó B là sự kiện "Không tồn tại cột nào có chứa số 0" hay chính là sự kiện

"Tất cả các dòng đều chứa toàn số 1"

Định nghĩa 2.3 Một giải đấu, hiểu đơn giản là một đồ thị đầy đủ có hướng

T = (V, E) trên tập V gồm n đỉnh, nghĩa là với mọi cặp đỉnh (x, y) thì hoặc làcạnh hướng từ x đến y hoặc hướng từ y đến x Tên "giải đấu" là hoàn toàn rất

tự nhiên, từ đó chúng ta có thể nghĩ rằng tập V như một tập của n người chơi,trong đó mỗi cặp tham gia trong một trận đấu đơn với cạnh hướng từ (x, y) ởtrong giải đấu nếu và chỉ nếu x thắng y

Định nghĩa 2.4 Một giải đấu T được gọi là có tính chất Sk nếu mỗi tập k

người chơi có một người đánh bại tất cả những người chơi này, hay nói cách

khác với bất kỳ tập gồm k đỉnh của giải đấu, có một đỉnh nào đó mà cạnh nốicủa nó với k đỉnh kia đều xuất phát từ nó.

Ví dụ, một tam giác có hướngT = (V, E), vớiV = {1, 2, 3}vàE = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)},

có tính chất S1 Nó có đúng cho mọi k hữu hạn tồn tại một giải đấu T (trênnhiều hơnk đỉnh)với tính chất Sk không?Như chỉ ra bởi Erdos(1963b), bài toánnày được đề xuất bởi Schutte, có thể giải được rất bình thường bằng áp dụng lý

lẽ xác suất Hơn nữa, những lý lẽ này thậm chí cung cấp một ước lượng mạnhhơn cho số các đỉnh nhỏ nhất có thể trong một giải đấu Ý tưởng cơ bản (và tựnhiên) là rằng nếu n đủ lớn như một hàm của k, thì một giải đấu ngẫu nhiêntrên tập V = {1, , n} củan người chơi là có tính chất Sk giống nhau Bằng mộtgiải đấu ngẫu nhiên chúng ta muốn ở đây, một giải đấu T trên V thu được bằngcách chọn, với mỗi 1 ≤ i < j ≤ n, một cách độc lập, hoặc cạnh (i, j) hoặc cạnh

(j, i), với mỗi cách trong hai cách chọn là ngang bằng nhau Chú ý rằng trongphương pháp này, tất cả 2(n2 ) các giải đấu có thể trên V là như nhau, nghĩa làkhông gian xác suất gồm các sự kiện đồng khả năng Trong những trường hợpnày, chúng ta sẽ có các phần tử của không gian là các phần tử ngẫu nhiên, màkhông có miêu tả một cách rõ ràng sự phân bố xác suất Do vậy, với ví dụ trongchứng minh của Mệnh đề 2.1, những cách tô màu các cạnh của K n là đều cókhả năng Tương tự như vậy, trong chứng minh của kết quả đơn giản tiếp theochúng ta nghiên cứu các giải đấu ngẫu nhiên trên V

Rõ ràng P (Ak) = (1 − 2−k)n−k Đây là vì với mỗi đỉnh cố định v ∈ V \K sẽ có 2

trường hợp xảy ra, hoặc v thắng hoặc v thua là như nhau nên có xác suất bằng

1

mà v không đánh bại tất cả các đỉnh trong K là 1 − 2−k, và tất cả có n − k sựkiện tương ứng để những chọn lựa khác nhau có thể có của v là độc lập.



(1 − 2−k)n−k < 1 (Theo giả thiết)

Do đó, với xác suất dương, không sự kiệnAk nào xảy ra, nghĩa là tồn tại mộtgiải đấu qua n đỉnh mà có tính chất Sk

Cho f (k) định nghĩa số đỉnh nhỏ nhất có thể có của một giải đấu mà có tínhchất Sk

Tiếp theo chúng ta cùng đi tìm hiểu thêm về tính chất của tập trội trongmột đồ thị vô hướng

Định nghĩa 2.6 Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) Một tập U ⊆ V được gọi làtập trội trong G nếu mọi đỉnh v ∈ V \U có ít nhất một đỉnh kề của nó nằm trong

G

Bổ đề dưới đây là do Podderyugin và Matula cùng tìm ra(một cách độc lập)

Bổ đề 2.7 Cho G = (V, E) là một đồ thị với bậc nhỏ nhất δ và gọi V = V1∪ V2

là một cắt có kích thước nhỏ hơn δ trong G Thì với mọi tập trội hơn U của G

có các đỉnh ở trong V 1 và ở trong V 2

Chứng minh Giả sử cái này là sai và U ⊆ V1.

Chọn một cách tùy ý một đỉnh v ∈ V2 và gọi v1, v2, , vδ là δ đỉnh kề của nó.Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ δ định nghĩa một cạnh ei của cắt được cho bởi như sau:

− Nếu vi∈ V1 thì ei= {v, vi},

− Ngược lại vi∈ V2

Và từ U là trội hơn nên tồn tại ít nhất một đỉnh u ∈ U sao cho {u, v i } là mộtcạnh, lấy một u như vậy và đặt e i = {u, v i } δ cạnh e 1 , , vδ dễ dàng nhận thấy

và tất cả nằm trong cắt được cho Mâu thuẫn với giả thiết rằng kích thước của

nó là nhỏ hơn δ Bổ đề được chứng minh xong

1

3.

Chúng ta chọn ngẫu nhiên một số nguyên x, 1 ≤ x < p theo phân phối đều trêntập {1, 2, , p − 1}

Định nghĩa d1, , dn bằng di ≡ xbi(modp), 0 ≤ di < p Một cách bình thường,với mọi i cố định 1 ≤ i ≤ n, x chạy qua tất các số 1, 2, , p − 1, d i chạy qua tất

cả các phần tử khác không của Z p nên

3, sao cho

xa(modp) ∈ C với mọi a ∈ A.

Rõ ràng A là tổng tự do, vì nếu a 1 + a 2 = a 3 với các a 1 , a 2 , a 3 ∈ A thì

Cho n ≥ 2k là một số nguyên dương, và cho C là một tập gồm các tập con k

phần tử giao nhau của {0, 1, , n − 1}

Chứng minh rằng: |C| ≤ n−1k−1

Chú ý: Tương ứng này để xây dựng tất cả các tập con chứa 1 phần tử

Trước khi vào phần chứng minh của định lý, ta xem xét bổ đề dưới đây

Bổ đề 2.12 Với 0 ≤ s ≤ n − 1, đặt As = {s, s + 1, , s + k − 1}, trong đó phépcộng lấy theo modulo n

Khi đó, C chứa nhiều nhất k trong số các tập As

Chứng minh Do tính đối xứng, ta có thể giả sử A0 ∈C Các tập hợp As 6= A0

có giao với A 0 gồm 2k − 2 tập A s với −(k − 1) ≤ s ≤ k − 1, s 6= 0 (trong đó cácchỉ số được lấy theo modulo n) Các tập hợp này có thể được chia thành k − 1

cặp tập hợp rời nhau, Ai, Ai+k với −k ≤ i ≤ −1 Vì C chỉ có thể chứa nhiều nhấtmột trong hai tập của một cặp như thế nên bổ đề được chứng minh xong.Quay trở lại chứng minh định lý Erdos- Ko- Rado

Chứng minh Giả sử hoán vị σ của {0, 1, 2, , n − 1} và i ∈ {0, 1, 2, , n − 1}

được chọn một cách ngẫu nhiên với phấn bố đều và độc lập với nhau và đặt

A = {σ(i), , σ(i + k − 1)}, trong đó phép cộng theo modulo n

Với mọi cách chọn σ, theo bổ đề ta có:

.

Do đó:

|C| ≤ kn



n k

2.2.2 Phương pháp sử dụng tính chất tuyến tính của kỳ vọng

Trong mục này sẽ giới thiệu về số đỉnh của tập trội trong đồ thị vô hướng

và đồ thị tách của lý thuyết đồ thị cùng một vài bài toán sơ cấp được trình bàybằng phương pháp sử dụng tính chất tuyến tính của kỳ vọng

Định nghĩa 2.13 Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị hữu hạn trong

tập X Khi đó giá trị kỳ vọng của X, được ký hiệu E[X] là:

E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].

Chứng minh Đây bản chất là một hệ quả của sự giao hoán của phép cộng Theođịnh nghĩa ta có:

Cho ai, bi, ci là các số nguyên(1 ≤ i ≤ N ) Giả sử rằng với mỗi số i trong ba số

ai, bi, ci có ít nhất một số lẻ Chứng minh rằng tồn tại số nguyênr, s, t sao cho

rai+ sbi+ tci là số lẻ với ít nhất 4N

7 giá trị của i, 1 ≤ i ≤ N

Lời giải

Vì bài toán chỉ quan tâm đến tính chẵn lẻ nên ta có thể chuyển các giả thiết vàyêu cầu bài toán về xét trên Z2 = {0, 1}.

Vì r, s, t chỉ nhận giá trị 0, 1 nên có tất cả 7 bộ (r, s, t) sao cho cả ba số khôngđồng thời bằng0 Với mỗi bộ(a, b, c)có đúng 4trong7bộ sao chora + sb + tc = 1.Thật vậy, ta kiểm tra trực tiếp Vì trong 3 số a, b, c có ít nhất một số lẻ, ta cóthể giả sử là a, nên ta chỉ cần xét các trường hợp sau:

Ta xét một phép chọn ngẫu nhiên (r, s, t) 6= (0, 0, 0) Gọi X là số các bộ (a, b, c)

sao cho biểu thức ra + sb + tclà một số lẻ

Gọi X i là biến ngẫu nhiên xác định bởi

Vì E(X) mang ý nghĩa giá trị trung bình nên tồn tại một bộ r, s, t sao cho

ra i + sb i + tc i là số lẻ với ít nhất 4N

7 giá trị của i, 1 ≤ i ≤ N.Bài toán trên đã sử dụng kỳ vọng và tính chất tuyến tính của kỳ vọng để biểudiễn biến ngẫu nhiên thành tổng các hàm chỉ tiêu, do đó việc tính toán trở nênđơn giản hơn

p n (1) n! pn (k)

Ta có kết quả dưới đây về số đỉnh của tập trội.

Định lý 2.15 Cho G = (V, E) là một đồ thị n đỉnh với bậc nhỏ nhất δ > 1 khi

đó G có một tập trội hơn với nhiều nhất n.1 + ln(δ + 1)

Vì |X| có phân phối nhị thức với hai tham số n và p nên E(X) = np

Với mỗi đỉnh v ∈ V cố định, ta có

P (v ∈ Y ) = P (v và các đỉnh kề của nó không nằm trong X) ≤ (1 − p)δ+1

Từ giá trị kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên là tổng của các kỳ vọng củachúng, thậm chí nếu chúng không độc lập (theo tính chất tuyến tính của kỳvọng) và từ biến ngẫu nhiên |Y | có thể được viết như một tổng củan biến ngẫunhiên chỉ tiêu χv(v ∈ V ), với: