Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

Cuoicùng, tôixinđưocgúilòicámơn chânthànhtóigiađình,banbè,đongnghi¾pđãđ®ngviênvàtaomoiđieuki¾nthu¾nloiđetôihoànthànhbánlu¾nvănnày... Đ%nhnghĩa1.2.2.Hàmfđưocgoilàchínhthưòngneu domfƒ=∅và

Trưóckhitrìnhbàyn®idungchínhc n a khóalu¾n,tôixinbàytólòngbietơnsâusactóiPGS.TS.NguyenNăngTâmngưòiđãđ

%nhhưóngchonđetàivàt¾ntìnhhưóngdanđetôicóthehoànthànhkhóalu¾nnày

Tôicũngxinbàytólòngbietơnchânthànhtóiphòngsauđaihoc,cácthaycôgiáogiángdaychuyênngànhToángiáitíchtrưòngĐaihocSưphamHàN®i2đãgiúpđõtôitrongsuotquátrìnhhoct¾pvàlàmlu¾nvăn

Cuoicùng, tôixinđưocgúilòicámơn chânthànhtóigiađình,banbè,đongnghi¾pđãđ®ngviênvàtaomoiđieuki¾nthu¾nloiđetôihoànthànhbánlu¾nvănnày

HàN®i,tháng11năm2011

TranTh%ThuHien

DưóisnhưóngdancnaPGS.TS.NguyenNăngTâmlu¾nvănThacsĩchuyênngànhToángiáitíchvóiđetài“Nónti¾mc¾n,hàmti¾mc¾nvàúngdung”đưochoànthànhbóichínhsnnh¾nthúccnabánthân,khôngtrùngvóibatcúlu¾nvănnàokhác

Trongkhinghiêncúulu¾nvăn,tôiđãkethùanhungthànhtnacnacácnhàkhoahocvàđongnghi¾pvóisntrântrongvàbietơn

HàN®i,tháng11năm2011

TranTh%ThuHien

Bángkíhi¾u 4

Máđau 6 Chương1.T¾ploivàhàmloi 8 1.1 T¾ploivàcáctínhchat 8

1.2 Hàmloi 14

Chương2.Hàmti¾mc¾nvànónti¾mc¾n 21 2.1 Đ%nhnghĩanónti¾mc¾n 21

2.2 Tínhđoingaucnanónti¾mc¾n 29

2.3 Tiêuchuanvetínhđóng 30

2.4 Hàmti¾mc¾n 36

2.5 Phéptínhviphânóvôcnc 53

Chương3.SNtontainghi¾mvàtínhonđ%nhtrongbàitoántoiưu 57 3.1 Cácbàitoánbúc 57

3.2 Hàmbúcyeu 62

3.3 Sntontainghi¾mtoiưu 71

3.4 Tínhonđ%nhchocácbàitoáncóràngbu®c 75

Ketlu¾n 79

Tàili¾uthamkháo 80

L f

khônggiantuyentínhcnafadc

hangsotheophươngti¾mc¾nals

hàmonđ%nhmúcti¾mc¾n.

1 Lídochonđetài

Giáitíchloiđóngvaitròquantrongtrongvi¾cnghiêncúulýthuyetc á c bàitoáncnctr%vàcácngànhtoánhocúngdungcó

súdungcôngcugiáitíchvàkhônggiantuyentính.Sntácht¾ploivàbienđoiliênhopLegendre-

Fenchellànhungkháini¾mcơbáncótínhcơsódantóisnthànhcôngcnagiáitíchloi.Haikháini¾mcơbánkhácgópphanlàmchogiáitíchloitróthànhcôngcu

giáitíchtuy¾tvòilàkháini¾mcnanónti¾mc¾nvàhàmti¾mc¾n.

Dođó,đưocsngoiýcnacácthaygiángdaychuyênngànhToángiáitíchcùngvóisngiúpđõcnathayNguyenNăngTâm,tôichonđetài“Nónti¾mc¾n,hàmti¾mc¾nvàúngdung”đenghiêncúu

2 MncđíchnghiêncNu

ti¾mc¾nvàhàmti¾mc¾nđebosungkienthúc,cnngcovàhieubietsâuhơnveToángiáitíchvàúngdungcnanó

- Súdungcácphươngphápcnagiáitíchvàđaisotuyentính

- Tonghopkienthúc,v¾ndungchomucđíchnghiêncúu

6 NhÑngđónggópmáicúađetài

Trìnhbàyđưocm®tcáchcóh¾thongcáckienthúccơbánvenónti¾mc¾n,hàmti¾mc¾nvàm®tsotínhchat.Nghiêncúuđưocm®tsoúngdungcnanónti¾mc¾nvàhàmti¾mc¾ntronggiáitíchbienphânvàtoiưuhóa

Chương1T¾pl oivàhàmloi

Tínhloiđóngm®tvaitròcơbántrongcácbàitoántoiưu.Chươngnàytrìnhbàym®tsokháini¾mvàketquácơbánvet¾ploi,hàmloi

lanlưotđưocgoilàphantrongvàbaođóngcnaC.

Đ

%nhnghĩa1.1.6.PhantrongtươngđoicnaC ⊂ R n là phantrongcnaCtron gaffC,kíhi¾uriC

riC={x∈affC|∃ε>0,(x+εB)∩affC⊂C}.

Nh¾nxét1.1.2.x ∈riA⇔tontailânc¾nmóVc ú a xtrongR n s a o choV∩aff A⊂A.

Đ%nhnghĩa1.1.7.T¾pK ⊂R n đưocgoilànónneu

{

Đ%nhnghĩa1.1.9.ChoC ⊂R n làt¾ploikhácrong,nónpháptuyencnaCtaix,kíhi¾uN C( x)đưocđ%nhnghĩa

⇔  ⇔ 

Đ

%nhnghĩa1.1.12.ChoClàt¾ploikhácrongtrongR n Tanóivéctơdlàm®tph ươnglùixacnaCneu

Đ%nhnghĩa1.2.2.Hàmfđưocgoilàchínhthưòngneu domfƒ=∅và f(x)>−∞,∀x∈R n.

-Neu

Đ%nhnghĩa1.2.6.Hàmf :R n → Rđưocgoilànúaliêntucdưói(lsc)taixneu

f(x) liminff(y).

y→x

fđưocgoilànúaliêntucdưóineunónúaliêntucdưóitaimoix∈R n

Khiconvfchínhthưòng,luôncóf ∗ v àf ∗∗ chính thưòng,núaliêntncdưói,loivàc óquanh¾sau

f ∗∗ (x)=convf;f ∗∗ ≤ f.

(a) x∈affC⇔(x,d)=σ C (d),∀dvóiB(d)= 0.

thúccanthietcnagiáitíchloiseđưocsúdungtronglu¾nvănnày.Phanchitietvàchúngminhchocácketquátrongchươngnàycóthethamkháothêmtrongtàili¾uso[1],[2]và[3].

Chương2 Hàmti¾mc¾nvànónti¾mc¾n

Chom®tt¾pconcnaRnchúngtaquantâmtóivi¾cnghiêncúudángđi¾ucnanóóvôt¾n.Đieunàydantóikháini¾mcnanónti¾mc¾n,hàmti¾mc¾nthôngquatrênđoth

%cnanó.Súdunggiáitíchthnccơbánvàcáckháini¾mhìnhhocchúngtapháttrienm®tcôngcutoánhocđayđnđexúlýdángđi¾uti¾mc¾ncnat¾p,hàmvàcácphéptoánhàmcámsinh

M¾nhđe2.1.4.ChoC ⊂R n ,Cƒ=∅vàt¾pchuanhóa,kíhi¾uC N đưocxácđ

C=conv(extC)+C ∞

Chúngminh.(a)Laybatkỳy∈/C ∗ .Khiđó∃0ƒ=d∈C∞ :(d,y)>0

Vìd∈C ∗ ,∃t k →∞,x k ∈C:t −1 → d.Tacó

(d,y)>0⇔(x k ,y)→+∞⇒y∈/domσ C (b) Laybatkỳy∈/domσ C Khiđó∃x k ∈ C:

Vìtd∈(domσ C ) ∗ nên vóibatkỳy∈domσ C tacó

(x+td,y)=(x,y)+(td,y)

≤(x,y)≤sup(x,y)=σ C (y).

x∈C

Vídn2.3.1.ChoC ={x∈R2| x2≥x2}vàánhxatuyentính

A:R2→ R2xácđ%nhbóiA(x1,x2)=(x1,0)làphépchieulêntrucx1

+ 2

óngcnaA(C).

Đ

%nhlý2.3.1.ChoClàt¾pđóngkhácrongvàA :R n → R m là ánhxatuyentính.Gi ású{y k }⊂A(C),{y k }→yvà

VìS=∅nêntontaidãyconcnadãy{x k }b%ch¾nvàcóđiemtu làx ∗ ∈ C.

%nhnghĩatrong(2.3).Giá súrang∀y,∀{y k }⊂A(C),y k →yho¾cS=∅ho¾c

Laybatkỳy∈(A(C)) ∞.Khiđó∃tk → ∞,∃y k ∈ A(C):t − y k → y

vàdo đó∃uk ∈C:y k =Au k.Đ¾t

m

t k

k→∞ "x k

"

k→∞ "x k " k→∞ t k "x k "

k k

(b) z∈KerA∩C ∞ ⇒z∈−C ∞

KhiđóA(C)đóngvàA(C ∞ )=(A(C)) ∞

Chúngminh.Laybatkỳy k ∈ A(C),y k → yvà{x k }∈Slàdãykhôngb

%ch¾nthóamãn(2.3).Khiđóx∈C ∞ ∩KerAvàtùgiáthiet(b)suyrax∈−C ∞ ket hopvóix∈C ∞ su yra−x∈L.

Bođ e 2.3.1.ChoC làt¾pđóngkhácrongtrongR n ,Klànóntrong

Dođó,D ⊂KvàvìK⊂KnênK∪D⊂K.

H¾quá2.3.3.ChoS ⊂R n l àt¾pđóngvói0∈/S.Khiđó

posS=posS∪S ∞ NgoàiraneuSb%ch¾nthìposSđóng.

Chúngminh.LâýKlànóntrongR n+1đưocsinhbói{(1,x)|x∈S}vàchoA:

Chúngminh.(a)Tùđ%nhnghĩa2.4.1tacóepif ∞ =(epif) ∞ và(epif) ∞

làt¾pđóngnênf ∞núaliêntucdưói(dođ%nhlý1.2.1)

Tacó0∈domf∞ Layx∈domf ∞,vìepif∞ lànónnên

f ∞ (d)=l i m

d r →dt →∞ k

f(tdr

f(t k d k )t k

|t k → +∞,d k → d} (2.7)trongđó{t k }⊂R,{d k }⊂R n

Chúngminh.Rõràng,haicôngthúctrênlàtươngđương.

Kíhi¾u

g(d)=inf{lim

k→∞inf

f(t k d k )t k

t −1 (f((1+t)d)−f(d)).

Suyracôngthúcf ∞ótrên

Neu0∈domfthìf(0)<−∞vàcôngthúctrêncóđưoctùcôngthúc(2.9)

n T

Neufnúaliêntucdưói,chínhthưòngđechúngminhbaohàmthúcngư oclaitalayd:f ∞ (d)≤0.

Khiđó,vóimoix∈lev(f,α),λ>0có

f(x+λd)−f(x)≤λf ∞ (d)≤0 Suyrax+λd∈lev(f,λ)vàtùm¾nhđe2.1.5tacód∈(lev(f,α)) ∞

H¾quá2.4.4.C h o f i : R n → R ∪{+∞},i∈Ilàhoc á c hàmchínhthưòngvàch

(a) Neuf ∞ (d)≤0thìl i m supψ(t)<+∞.

→∞

(b) Neu z domf:lim

→+∞ inff(z+td)<+∞thìψđơnđi¾ugiámtrên Rhaym®tcáchtươngđươngf ∞ (d)≤0.

→+∞

f(z+td)=+∞,

mâuthuanvóigiáthiet.V¾yf ∞ (d)≤0.

(a)f(x+td)=f(x)+tµ,∀x∈domf,t∈R.(b)

(d,µ)∈−(epif) ∞ ∩(epif) ∞

(b) Neuf núaliêntncdưóithìf ∞ =σ domf ∗ ,( f ∞)∗ = δ domf ∗

Chúngminh.(a)Súdungđ%nhnghĩaf ∞đưocchobóicôngthúc(2.8)vàđ

x∈domf (x,d)≤µvìv¾yf ∗∗ (d)≥σ domf (d).

(b)Giásúfnúaliêntucdưóisuyraf ∗∗ = f.Thayfbóif ∗∗ trong

côngthúcđãchúngminhó(a),tađưoc

f ∞ = (f ∗∗)∞ =σ domf ∗ TacóC⊂R n ,σ C = σ C ,σ C = δ ∗ ,layliênhopcôngthúctrênđưoc



H¾quá2.4.5.Chof :R n → R∪{+∞}làhàmloichínhthưòngvàgiású0∈E= affdomf,túcElàm®tkhônggiancon.Khiđó

C f ∗ = L f ∗ = E ⊥ Chúngminh.Tùđ%nhnghĩacnakhônggiantuyentínhvàtùđ%nhlý

(a) posf(x)=min{(posf)

(x),f ∞ (x)}=min{infλf(λ −

x),f ∞ (x)}.

(b) Neufloithìposfnúaliêntncdưói,loi,chínhthưòngvàthuannhatdươn g.

Chúngminh.(a)Tùđ%nhnghĩacnabaođóngvàbaodươngcnahàmtacó

epi(posf)=epi(posf)=pos(epif).

({1}×domf)M¾nhđe2.4.7.Chof:R n → R∪{+∞}làhàmnúaliêntnc dưói,chínhthưòngvàloi.Khiđó,hàmp(t,x)đưocchotrong(2.12)làchính

∈/

ripvàposgvàdođóhàmpvàposgcóphantrong

tươngđoitrùngnhauvàvìv¾ybaođóngcnachúngtrùngnhau.Súdungm¾nhđe2.4.5(a),tacó

Súdungđ%nhlý2.4.4(b),tacóσ domf ∗= f ∞

.Dođóm¾nhđe(a)-(d)tươngúngvóicácm¾nhđecnađ

%nhlý1.2.5phátbieuvóihàmgiácnadomf∗

Trongphannàychúngtasepháttrienm®tvàicôngthúchuuíchđetínhtoánhàmti¾mc¾n

M¾nhđe2.5.1.Chof i :R n → R∪{+∞},i=1, ,plàhocáchàmchínhthưòng ,f = .f i vàgiás ú rangf chínhthưòng,túc

Chúngminh.(a)Vóibatkỳhàmmór®nggiátr%thncg i ,tacóvóiy∈R n

liminf(g1(x)+···+g p (x))≥liminf g1(x)+···+liminf g p (x)

batđangthúctrênđúngneuvepháicónghĩa

Vàdođó(a)suyrabangcáchsúdungđ%nhnghĩahàmnúaliêntucdưói.(b)Batđangthúcóphan(b)suyratùbatđangthúcóphan(a)

bangcáchsúdungđ%nhnghĩacnahàmnúaliêntucdưói

Đangthúctrongtrưònghophàmloi,núaliêntucdưóisuyratùcôngthúc(2.9)

M¾nhđe2.5.2.Chofi :R n → R∪{+∞},i∈Ilàhocáchàmchínhthưòngcó

(supf i)∞ ≥sup(f i)∞ và(inf) ∞ ≤inf(f i)∞

M¾nhđe2.5.3.C h o g :R n → R∪{+∞}làhàmchínhthưòng,

A:R n → R m là ánhxatuyentínhvóiA(R n )∩domgƒ=∅.

Đ¾tf(x)=g(Ax)làhàmchínhthưòngphúchop.Khiđó,fcócáctínhchatsau :

ψ

∞ (f ∞ (x)) neud ∈domf ∞

g ∞ (x)= + ∞ neutráilai Chúngminh.Rõràng,hàmhopglàhàmloinúaliêntucdưói.

Layx∈domf,saochof(x)∈domψ.

Vóimois<f ∞ (d),∃τ,saochof(x+td)≥f(x)

+ts,∀t≥τ.Vìψlàhàmkhônggiámnêntacó

g ( x + td ) − g ( x )

ψ ( f ( x ) + ts )

−

ψ ( f ( x ))

.t Chot→∞,tacóg ∞ (d)≤ψ ∞ (s).

−ψ(f(x)) t

=ψ ∞ (f ∞ (d)).

Sntácđ®nglannhaugiuahìnhhocvàgiáitíchđãđưocthehi¾nquachươngnày.Dnatrênkháini¾mnónti¾mc¾ncnatrênđoth

%cnahàm,kháini¾mhàmti¾mc¾nxuathi¾nvàphéptínhviphânóvôcncđưocpháttrien.Vaitròcnanónti¾mc¾n,hàmti¾mc¾ntrongcácbàitoántoiưutongquátseđưocmiêutátrongchương3

Chương3 SNtontainghi¾mvàtínhonđ

%nhtrongbàitoántoiưu

M®tcâuhóitrungtâmtrongtoiưuhóalàtìmđieuki¾nđeđámbáosntontainghi¾mtoiưu.Tronggiáitíchcođienđãtìmracâutrálòichocâuhóinàyđólàđ

%nhlýWeierstrassphátbieurang“Hàmliêntuctrênt¾pcompactcnaRnđatgiátr%cncđai(cnctieu)cnanó”

Cáhaiđieuki¾nđòihóitrongđ

%nhlýlà:tínhcompactvàtínhliêntuc.Đâylàhaitínhratng¾tvàthưòngkhôngđưocthehi¾ntrongcácbàitoáncnctieuđãcho.Tuynhiên,tùđ

%nhlýWeierstrasschúngtaseđưaracácketquávesnton

taicnctieudưóicácgiáthietyeuhơncnaduki¾nbàitoán

Chươngnàyxâydnngm®tsokháini¾mcơbánvàcôngcugiáiquyetquanhhàmti¾mc¾nđesuyrasntontainghi¾mvàtínhonđ

Đautiênchúngtasegióithi¾ucácketquámàtrongđótínhliêntucđưocthaythebangtínhnúaliêntucdưói

M¾nhđe3.1.1.Chof :R n → R∪{+∞}làhàmnúaliêntncdưói,chínhthưòng vàchoClàt¾pcompactkhácrongtrongR n Khiđót¾pnghi¾mtoiưucúabàit oántoiưu

m=inf{f(x)|x∈C}

làt¾pcompactkhácrong.

Chúngminh.Rõràngneuf(x)=∞vói∀x∈Cthìbatkỳx∈Cđatcnctieucna ftrênC.

tncdưói,chínhthưòngvàgiásúranglev(f,λ)b

%ch¾nvóiλ>inff.Khiđó,t¾pnghi¾mtoiưucúabàitoán(P)làt¾pcompact,kh ácrong.

Chúngminh.Vìfchínhthưòngnêninff<∞vàdofnúaliêntucdưóinênvói

∀λ> inffthìlev(f,λ)ƒ=∅ vàđóng,suyralev(f,λ)làt¾pcompact.Ápdun gm¾nhđe3.1.1vóiC=lev(f,λ)tacóđieupháichúngminh.

M¾nhđe3.1.3.Chof :R n → R∪{+∞}làhàmnúaliêntncdưóivàchínhthưòn g.Neufbúcthìt¾pmúccúanób%ch¾n.

%nhnghĩa3.2.1.Chof :R n → Rlàhàmchínhthưòngvànúaliêntucdưói.Kh iđóhàmfđưocgoilà

(a) Hangsotheophươngti¾mc¾n(adc)neu

f ∞ (d)=0⇒f(x+ρd)=f(x),∀x∈domf,∀ρ∈R (3.4)

(b) Búcyeuneuflàhangsotheophươngti¾mc¾nvà

¾nhđesau

M¾nhđe3.2.1.Chof :R n → Rlàhàmchínhthưòng,núaliêntncdưóivàlois aochoflàaffintrênmoiđưòngthangvóiphươnglàphươngti¾mc¾n.Khiđófa dc.Hàmloitoànphương(b¾c2),hàmloiđathúc,vàcáchàmvóidomf ∗ là t¾p affinlàcáchàmadc.

Chúngminh.T ù giáthietf làhàmaffintrênmoiđưòngthangvóiphươngdlàp hươngti¾mc¾n,túcf ∞ (d)≤0.

M®tcáchtongquáthơn,neuflàđathúcloi,khiđóvóimoix,yhàmh:λ→f (x+λy)làhàmđathúcloivóibienλ∈R.Vìh¾socnasohangcób¾ccaonhatl àdươngnênhlàaffinhayhb%ch¾nmúcsuyraflàhàmadc.

f(x k −ρ k x)≤f(x k) (3.8)

M¾nhđe3.2.2.Chof :R n → R∪{+∞}làhàmnúaliêntncdưói,chínhthưòng vàloithóamãnf ∞ (d)≥0,∀dƒ=0.Khiđó,fbúcyeukhivàchíkhif thóamãngiát hiet(A).

Chúngminh.Giásúfbúcyeu,khiđótùsntươngđươngcna(a)và(b)trongđ

%nhlý3.2.1tacó

f(x k −ρ k )=f(x k ),vóimoiρ k

trongđóP E làkíhi¾utoántúchieutùR n v àoE.Khiđó

(a) domh E = domh+E ⊥

(b) intdomh E = ridomh+E ⊥

(c) ∂h E (x)⊂Evà∂h E (x)=∂h E (y)neuy −x∈E ⊥ d)h ∗ (y

)=h ∗ ( P E (y)).

(e) Layy =u+vvóiu∈∂h E (x),v∈E ⊥,tachúngminh

f(x)=(f ∗ P E ) ∗ (P E (x)),vóiE=aff(domf ∗) (3.9)vàfbúcyeu⇔(f ∗ P E ) ∗ búc.

f i (x)≤0,i=1,2, ,m},f=f0+δ C

(.),

(b) Neufbúcyeuthìf k búcyeuvóikđúlón.

Phannàysesúdungnhungketquáđãnêuraócácphantrưócđesuyrađieuki¾ncanvàđntongquátchosntontainghi¾mtoiưu

Chúngminh.GiásúH0,H1thóamãnvàlay{ε k }làm®tdãykhôngtăngcácsoth

ncdươngh®itutói0

Vóimoik∈N,đ¾t

f k (x)=f(x)+ε k g(x),g(x)="x"

" 2

1

1

1 2

giáthietH1,dođó{xk }b%ch¾n.Giásúl i m

k→∞ x k = x ∼.Vìf(x k )+ε k "x k2 ≤f(x)+ε k "x k " ,∀x∈R n

Chúngminh.G i á súC(y)∩domfƒ=∅ vàđ¾ty k =y,∀k.Khi đóvì

1[y]thóamãnnênF ythóa mãnđieuki¾nH 1⇒ S(y)ƒ=∅.Bâygiò,tach

Lu¾nvănđêtrìnhbăycâckienthúccơbânvenónti¾mc¾n,hămti¾mc¾ncùngm®tsoúngdungcnachúng.Cuthe

Chương1:Gióithi¾um®tsokhâini¾mvăketquâquantrongvet¾ploivăhămloiseđưocsúdungtronglu¾nvăn

Chương2:Vóimuctiíutrongtđmlănghiíncúuvenónti¾mc¾n,hămti¾mc¾n,chươngnăytrìnhbăym®tcâchcóh¾thongcâcketquâvenónti¾mc¾n,hămti¾mc¾n.Tùđóđưaramoiliính¾giuahămgiâcnam®tt¾pvănónti¾mc¾ncnanó,moiliính¾giuanónti¾mc¾ncnadưóiviphđncnahămloivănónphâptuyencnamienxâcđ

%nh,câctiíuchuanvetínhđóngvăcuoicùnglăphĩptínhviphđnóvôcnc.Chương3:Tríncơsóxđydnngcâckhâini¾mvăcâctínhchatcnanónti¾mc¾n,hămti¾mc¾n,chươngnăynghiíncúusntontainghi¾mvătínhonđ

%nhchocâcbăitoâncnctieuhóaloivătongquât

Vóiphamvilu¾nvănvăthòigiancũngnhưkhânăngcònhanche,vi¾cnghiíncưúcâcúngdungcnanónti¾mc¾nvăhămti¾mc¾ncòncanđưocnghiíncúusđuhơnđetìmđưocnhieuhơncâcketquấngdungtronggiâitíchbienphđnvătoiưuhóa

, Princeton,NewJersey.

[6]R.T RockafellarandR.J.B

Wets(1998),VariationalAnalysis,Springer-Verlag,NewYork

1