Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

Nguyễn Năng Tâm luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệmcận và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân,không trùng với bất cứ

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóaluận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôihoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Trần Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệmcận và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân,không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựacủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Trần Thị Thu Hiền

Mục lục

Bảng kí hiệu 4

Mở đầu 6 Chương 1 Tập lồi và hàm lồi 8 1.1 Tập lồi và các tính chất 8

1.2 Hàm lồi 14

Chương 2 Hàm tiệm cận và nón tiệm cận 21 2.1 Định nghĩa nón tiệm cận 21

2.2 Tính đối ngẫu của nón tiệm cận 29

2.3 Tiêu chuẩn về tính đóng 30

2.4 Hàm tiệm cận 36

2.5 Phép tính vi phân ở vô cực 53

Chương 3 Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định trong bài toán tối ưu 57 3.1 Các bài toán bức 57

3.2 Hàm bức yếu 62

3.3 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 71

3.4 Tính ổn định cho các bài toán có ràng buộc 75

Kết luận 79

Tài liệu tham khảo 80

R đường thẳng thực

R đường thẳng thực mở rộng

Rn không gian Euclid n - chiều

hx, yi tích vô hướng của x và y

kxk chuẩn của x

conv C bao lồi của tập C

aff C bao affine của tập C

pos C bao dương của tập C

intC phần trong của tập C

C bao đóng của tập C

ri C phần trong tương đối của tập Cext C tập các điểm biên của tập Cextray C tập các tia cực biên của tập C

f∗, f∗∗ liên hợp, liên hợp bậc hai của f

lev(f, λ) tập mức của hàm f

inf f cận dưới đúng của hàm f

sup f cận trên đúng của hàm f

min f giá trị nhỏ nhất của hàm f

max f giá trị lớn nhất của hàm f

Ker f hạt nhân, hạch của hàm f

rge f ảnh của hàm f

dom f miền hữu hiệu của hàm f

epi f trên đồ thị của hàm f

Lf không gian tuyến tính của f

adc hằng số theo phương tiệm cận

als hàm ổn định mức tiệm cận

Do đó, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toángiải tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đềtài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng” để nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được các khái niệm và ứng dụng của nón tiệm cận và hàmtiệm cận để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toángiải tích và ứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dungnghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích và đại số tuyến tính

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về nóntiệm cận, hàm tiệm cận và một số tính chất Nghiên cứu được một sốứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận trong giải tích biến phân

và tối ưu hóa

Nhận xét 1.1.1 aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A

Mệnh đề 1.1.2 (Xem [4]) Giả sử C ⊂ Rn khi đó,

(a) conv C là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc C, tức là,

Ci lồi với ni = n, ∀i

(d) Ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là một tập lồi

Định lý 1.1.1 (Định lý Caratheodory) (Xem [2])

Cho C ⊂ Rn, khi đó ∀x ∈ conv C là tổ hợp lồi của không quá n + 1 điểmkhác nhau của C, tức là ∃a0, , am ∈ C và λ0, , λm ≥ 0 với m ≤ n saocho

int C = {x ∈ Rn| ∃ε > 0, x + εB ⊂ C}

C = \

ε>0

(C + εB)lần lượt được gọi là phần trong và bao đóng của C

Định nghĩa 1.1.6 Phần trong tương đối của C ⊂ Rn là phần trongcủa C trong aff C, kí hiệu ri C

ri C = {x ∈ aff C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ aff C ⊂ C}

Nhận xét 1.1.2 x ∈ ri A ⇔ tồn tại lân cận mở V của x trong Rn saocho V ∩ aff A ⊂ A.

Ví dụ 1.1.1 Trong R2, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b)

Định nghĩa 1.1.7 Tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu

∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K

Nếu K là nón và là tập lồi thì ta nói K là nón lồi

Ví dụ 1.1.2 Các tập sau đây trong Rn

Lưỡng cực (hay là song cực) của K là nón K∗∗ = (K∗)∗

Tính trực giao của các không gian con là một trường hợp đặc biệtcủa cực của nón Cho M là không gian con của Rn

Định nghĩa 1.1.9 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng, nón pháp tuyếncủa C tại x, kí hiệu NC(x) được định nghĩa

là ánh xạ tuyến tính và K là nón lồi đóng của Rn.Khi đó

Định nghĩa 1.1.12 Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn Ta nói véc

tơ d là một phương lùi xa của C nếu

Định nghĩa 1.1.13 Cho C ⊂ Rn là tập khác rỗng, nón nhỏ nhất chứa

C được gọi là bao dương (hay bao conic) của C, kí hiệu pos C

pos C = {λx | x ∈ C, λ > 0} ∪ {0}

Bao dương pos C cũng được gọi là nón sinh bởi C

Định nghĩa 1.1.14 Tập P ⊂ Rn được gọi là tập đa diện nếu nó códạng

P = {x ∈ Rn| hai, xi ≤ bi, i = 1, , p}

trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R, i = 1, , p

Khi bi = 0, ∀i = 1, , p thì P được gọi là nón đa diện

Định nghĩa 1.1.15 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng Tập F ⊂ C đượcgọi là mặt (hay diện, bề mặt) của C nếu

∀x, y ∈ C, F ∩ [x, y] 6= ∅ thì [x, y] ⊂ F

Định nghĩa 1.1.16 Điểm z ∈ C được gọi là biên của C nếu {z} làmặt, tức z không thể viết được dưới dạng

z = λx + (1 − λ)y, x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1)

Tập các điểm biên của C, kí hiệu ext C

Định nghĩa 1.1.17 Tia cực biên của C là hướng của nửa đường thẳng

là mặt của C

Tập các tia cực biên của C kí hiệu là extray C

Định lý 1.1.2 (Định lý Krein - Milman) (Xem [4])

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng không chứa đường thẳng nào Khi đó

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và

f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn

Trái lại, f được gọi là phi chính

Định nghĩa 1.2.3 Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức của f

lev(f, α) = {x ∈ Rn| f (x) ≤ α}

Cho f : Rn → R, kí hiệu

inf f = inf{f (x) | x ∈ Rn}argmin f = argmin{f (x) | x ∈ Rn}

= {x ∈ Rn| f (x) = inf f }

Định lý 1.2.1 (Xem [4])

Cho f : Rn → R, các mệnh đề sau tương đương:

(a) f nửa liên tục dưới trên Rn;

Hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi

Định lý 1.2.2 (Xem [2])

Hàm f : Rn → R được gọi là lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) ⇒ f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

y→xinf f (y).

f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ Rn

conv f (x) = inf{r ∈ R | (x, r) ∈ conv(epi f )}

f∗(y) = sup

x

{hx, yi − f (x)}

được gọi là hàm liên hợp của f

Hàm liên hợp bậc hai của f được xác định

được gọi là hàm giá của C

Định nghĩa 1.2.15 Miền xác định của σC được định nghĩa bởi

dom σC = {x ∈ Rn| σC(x) < ∞}

được gọi là nón chắn của C, kí hiệu là b(C)

Định nghĩa 1.2.16 Hàm π : Rn → R ∪ {+∞} thuần nhất dương nếu

Chương 2

Hàm tiệm cận và nón tiệm cận

Cho một tập con của Rn chúng ta quan tâm tới việc nghiên cứudáng điệu của nó ở vô tận Điều này dẫn tới khái niệm của nón tiệmcận, hàm tiệm cận thông qua trên đồ thị của nó Sử dụng giải tích thực

cơ bản và các khái niệm hình học chúng ta phát triển một công cụ toánhọc đầy đủ để xử lý dáng điệu tiệm cận của tập, hàm và các phép toánhàm cảm sinh

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm sau:

Dãy xk trong Rn được gọi là hội tụ tới x nếu

Một dãy trong Rn hội tụ tới x khi và chỉ khi dãy đó bị chặn và x

là điểm tụ duy nhất của nó

Cho {xk} là một dãy trong Rn Chúng ta quan tâm tới việc làmthế nào để giải quyết các trường hợp khi dãy {xk} không bị chặn Đểdẫn tới một vài tính chất hội tụ chúng ta xét phương dk = xkkxkk−1

Từ định lý Bolzano-Weierstrass trong giải tích cổ điển suy ra tồn

tại dãy con hội tụ

d = lim

k→∞dk, K ⊂ N, d 6= 0

Giả sử dãy {xk} thỏa mãn kxkk → +∞

Khi đó, ∃tk = kxkk , k ∈ K ⊂ N sao cho

Chứng minh Nếu C bị chặn thì hiển nhiên C∞ = {0}.

Ngược lại, nếu C∞ = {0}

Giả sử C không bị chặn, khi đó ∃{xk} ⊂ C, xk 6= 0

C tiệm cận đều nếu C∞ = C∞1

Mệnh đề 2.1.3 Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn Khi đó, C tiệmcận đều tức C∞ = C∞1

Chứng minh Từ định nghĩa của C∞, C∞1 ta có C∞1 ⊂ C∞

Lấy bất kỳ d ∈ C∞ ⇒ ∃{xk} ∈ C, ∃sk → ∞ sao cho

d = lim

k→∞sk−1xk

Ta có C bị chặn nên theo mệnh đề 2.1.2 C∞ = C∞1 = {0}, nhưng

C không phải là tập lồi

Mệnh đề 2.1.4 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ và tập chuẩn hóa, kí hiệu CN đượcxác định

Chứng minh Ta luôn có pos CN ⊂ C∞

Ngược lại, lấy bất kì d 6= 0, d ∈ C∞ ⇒ ∃tk → +∞, ∃xk ∈ C sao cho

d = lim

k→∞t−1k xk = lim

k→∞t−1k kxkk x

kxkk,với kxkk → ∞

Vì vậy dãy {t−1k kxkk} là dãy bị chặn không âm

Do đó, từ định lý Bozano-Weierstrass suy ra tồn tại dãy con

Chuyển qua giới hạn ta có: x + td ∈ C ∀t > 0

suy ra, d ∈ D(x) Vậy C∞ ⊂ D(x)

Ta có D(x) ⊂ E ∀x ∈ C Bây giờ ta chứng minh E ⊂ C∞

Lấy d ∈ E, x ∈ C sao cho x(t) = x + td ∈ C, ∀t > 0

Khi đó, vì lim

t→∞t−1x(t) = d và x(t) ∈ C nên d ∈ (C)∞ = C∞

và D(x) không phụ thuộc vào x Vậy ta có D(x) = D = C∞ = E

Cuối cùng ta chứng minh F = C∞

Lấy bất kỳ d ∈ C∞ Theo chứng minh trên C∞ = D

Nhận xét 2.1.2 Từ mệnh đề 2.1.5 ta có nếu C ⊂ Rn là tập lồi đóngthì D = C∞ = o+(C)

Chú ý rằng trong định nghĩa tập D ở trên, giả thiết bao đóng củatập lồi C là cốt yếu và không thể bỏ đi Thật vậy, xét tập lồi

C = {x ∈ Rn| x1 > 0, x2 > 0} ∪ {(0, 0)}

Từ định nghĩa 2.1.2 ta có C∞ = R2+, trong khi đó từ ba công thứcnhận được trong mệnh đề 2.1.5 dẫn tới kết quả sai C∞ = o+(C) = C.Mệnh đề 2.1.6 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong Rn có

C = C + C∞.Chứng minh Ta có C ⊂ C + C∞

Ngược lại, lấy bất kỳ x ∈ C + C∞ ⇒ ∃c ∈ C, d ∈ C∞ sao cho

Chứng minh Từ mệnh đề 2.1.6 ta có conv(ext C) + C∞ ⊂ C

Ngược lại, lấy bất kỳ x ∈ C theo định lý 1.1.3

C = conv(ext C ∪ extray C)nên

(ri C)∞ = (ri C)∞ = (C)∞ = C∞.(b) Suy ra từ (a) và nguyên lý chia đường thẳng

(c) Dễ thấy pos C lồi

Vì C ⊂ C∞ nên pos C ⊂ pos C∞ = C∞

⇒ pos C ⊂ C∞ = C∞ và do C∞ ⊂ pos C nên

pos C = C∞ = C∞ ⇒ ri pos C = ri C∞

(d) Từ mệnh đề 2.1.5 ta có C∞ = D và theo giả thiết 0 ∈ C và Cđóng suy ra điều phải chứng minh.

i∈I

Ci)∞ = T

i∈I

(Ci)∞.Nếu I là tập hữu hạn thì (S

Do đó, ∃tk → ∞, ∃xk ∈ Ci, ∀i ∈ I sao cho t−1k xk → d suy ra

d ∈ (Ci)∞

(b) Chứng minh tương tự phần (a)

Kết quả đặc biệt với trường hợp lồi suy ra bằng cách sử dụng tínhchất đã có trong mệnh đề 2.1.5

Mệnh đề 2.1.10 Cho Ci ⊂ Rn, i = 1, , m có

(C1 × · · · × Cm)∞ ⊂ (C1)∞ × · · · × (Cm)∞.Mệnh đề 2.1.11 Cho A : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính và C là tậplồi đóng trong Rn sao cho A−1(C) 6= ∅ Khi đó (A−1(C))∞ = A−1(C)∞.Chứng minh Vì A liên tục và C là tập lồi đóng nên A−1(C) đóng và lồi.Lấy bất kỳ x ∈ A−1(C) Khi đó

d ∈ (A−1(C))∞ ⇔ A(x + td) = Ax + tAd ⊂ C, ∀t ≥ 0,

suy ra Ad ∈ C∞ ⇒ d ∈ A−1(C∞)

2.2 Tính đối ngẫu của nón tiệm cận

Có sự liên hệ giữa hàm giá của một tập và nón tiệm cận của nó.Định lý dưới đây sẽ chỉ ra rằng với tập lồi đóng C ⊂ Rn có thể đưa rađặc tính đối ngẫu của nón tiệm cận theo nón chắn của C

Định lý 2.2.1 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ và C∞∗ là nón cực của C∞ Khi đó(a) dom σC ⊂ C∗

∞.(b) Nếu int C∞∗ 6= ∅ thì int C∞∗ ⊂ dom σC

(c) Nếu C lồi thì (dom σC)∗ = C∞

Chứng minh (a) Lấy bất kỳ y /∈ C∞∗ Khi đó ∃0 6= d ∈ C∞ : hd, yi > 0

Vì d ∈ C∞∗ , ∃tk → ∞, xk ∈ C : t−1k → d Ta có

hd, yi > 0 ⇔ hxk, yi → +∞ ⇒ y /∈ dom σC.(b) Lấy bất kỳ y /∈ dom σC Khi đó ∃xk ∈ C : hxk, yi → +∞.Không mất tính chất tổng quát ta giả sử rằng

kxkk−1xk → d 6= 0, d ∈ C∞ ⇒ Dkxkk−1xk, yE ≤ 0

Vì vậy ∀ε > 0 ta có

hd, y + εdi = hd, yi +  kdk2 ≤ ε kdk > 0

Suy ra y + εd /∈ C∞∗ ⇒ y /∈ int C∞∗ Vậy int C∞∗ ⊂ dom σC

(c) Theo giả thiết C lồi nên C∞ là nón lồi đóng và C∞∗∗ = C∞

Từ (a) ta có

dom σC ⊂ C∞∗ ⇒ C∞ = C∞∗∗ ⊂ (dom σC)∗.Ngược lại, lấy bất kỳ d ∈ (dom σC)∗, t > 0, x ∈ C

Vì td ∈ (dom σC)∗ nên với bất kỳ y ∈ dom σC ta có

hx + td, yi = hx, yi + htd, yi

≤ hx, yi ≤ sup

x∈C

hx, yi = σC(y)

Vì y /∈ dom σC nên σC(y) = +∞, bất đẳng thức trên đúng với

∀y ∈ Rn

Sử dụng định lý 1.2.5 ta có ∀t > 0, x + td ∈ C và theo mệnh đề2.1.5 suy ra d ∈ C∞

2.3 Tiêu chuẩn về tính đóng

Cho tập đóng khác rỗng trong Rn, câu hỏi đặt ra là với điều kiện

gì thì ảnh của tập đóng qua ánh xạ tuyến tính vẫn là tập đóng Kết quảnày có ý nghĩa rất quan trọng trong việc phân tích sự tồn tại nghiệmcủa bài toán cực trị Nón tiệm cận đóng vai trò then chốt khởi nguồnnhững kết quả này

Cho C là tập đóng khác rỗng và A : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính

Ker A = {x | Ax = 0} = A−1(0)

Như chúng ta sẽ thấy điều kiện đủ để A(C) đóng là

Hơn nữa, từ (2.1) ta cũng có A(C)∞ = (A(C))∞

Nếu C là tập lồi, điều kiện đủ để A(C) đóng yếu hơn là

Ker A ∩ C∞ là không gian con tuyến tính (2.2)Nhưng ngay cả trong trường hợp lồi điều kiện trên có thể sai Xéthai ví dụ sau:

Ví dụ 2.3.1 Cho C = {x ∈ R2| x2 ≥ x21} và ánh xạ tuyến tính

A : R2 → R2 xác định bởi A(x1, x2) = (x1, 0) là phép chiếu lên trục x1

Ker A ∩ D∞ = {x ∈ R2| x1 = 0, x2 ≥ 0}

Điều kiện (2.2) sai nhưng A(D) vẫn đóng

Vì vậy chúng ta cần các điều kiện để giải quyết các mâu thuẫntrong hai ví dụ trên Các kết quả sau sẽ thiết lập các điều kiện cần và

đủ để đảm bảo tính đóng của A(C)

Chứng minh Lấy bất kỳ {yk} ⊂ A(C), yk → y

Khi đó ∃xk ∈ C : yk = Axk ⇒ kA(xk − y)k = ky − ykk

Vì S = ∅ nên tồn tại dãy con của dãy {xk} bị chặn và có điểm tụ

là x∗ ∈ C

Chuyển qua giới hạn trong đẳng thức trên ta có

kA(xk − y)k = 0 ⇒ y = Ax∗ ⇒ y ∈ A(C)Vậy A(C) đóng

(b) Giả sử S = ∅ và (2.4) thỏa mãn và yk → y trong đó

yk = Ax0k, x0k ∈ CĐặt Sk = {x ∈ C | kAx − yk ≤ ky − ykk}

Xét bài toán tối ưu:

inf{kxk | x ∈ Sk}

Vì x0k ∈ Sk nên S 6= ∅

Ngoài ra Sk đóng nên ∃xk ∈ argmin{kxk | x ∈ Sk}

Bây giờ ta chứng minh dãy {xk} bị chặn

Thật vậy, Giả sử dãy {xk} không bị chặn Không mất tổng quát tagiả sử kxkk−1xk → x 6= 0

Cho k → ∞ ta có kx − zk ≥ 1, mâu thuẫn với giả thiết kx − zk < 1

Vậy {xk} bị chặn

Ngược lại, giả sử A(C) đóng và yk ∈ A(C), yk → y

Vì A(C) đóng nên ∃x ∈ C : y = Ax

Đặt zk = kxkk−1(xk− x), ρk = kxkk Khi đó (2.4) được thỏa mãn

Để đơn giản và thuận tiện hơn trong định lý 2.3.1 chọn zk = x haytổng quát hơn zk = αx, α ∈ (0, 2) Với α = 1 chúng ta có thể nói nhiềuhơn về ảnh của C trong định lý dưới đây

Định lý 2.3.2 Cho C là tập đóng khác rỗng và A : Rn → Rm là ánh xạtuyến tính, {yk} ⊂ A(C), {yk} → y và S là tập định nghĩa trong (2.3).Giả sử rằng ∀y, ∀{yk} ⊂ A(C), yk → y hoặc S = ∅ hoặc

∀{xk} ∈ S, ∃{ρk} ⊂ R++ sao cho với k đủ lớn xk − ρkx ∈ C, ρk ≤ kxkkKhi đó A(C) đóng và

Chứng minh Nếu S = ∅ từ định lý 2.3.1 suy ra A(C) đóng

Nếu S 6= ∅ lấy zk = z = x ta có Ax = 0, do đó (2.4) thỏa mãn VậyA(C) đóng

Từ định nghĩa của nón tiệm cận ta có A(C∞) ⊂ (A(C))∞ Bây giờ

ta chứng minh (A(C))∞ ⊂ A(C∞)

Lấy bất kỳ y ∈ (A(C))∞ Khi đó ∃tk → ∞, ∃yk ∈ A(C) : t−1k yk → y

và do đó ∃uk ∈ C : yk = Auk Đặt

Sk = {x ∈ C | Ax = yk}

Khi đó Sk 6= ∅ và Sk đóng Ta sẽ chứng minh lim

k→∞t−1k kxkk 6= +∞.Thật vậy, giả sử trái lại ta có lim

Từ (2.3) suy ra ∃ρk ∈ (0, kxkk] : xk − ρkx ∈ C và vì Ax = 0 nên

xk − ρkx ∈ Sk

Do định nghĩa của xk nên kxkk ≤ kxk − ρkxk và như chứng minhtrong định lý 2.3.1 ta có x−1k xk − zk ≥ 1

Chuyển qua giới hạn suy ra mâu thuẫn Vậy {t−1k kxkk} bị chặn

Do đó tồn tại dãy con của dãy {t−1k kxkk} hội tụ tới x∞

Vì xk ∈ Sk ⇒ x∞ ∈ C∞ và t−1k Axk → y = Ax∞ ⇒ y ∈ A(C∞).Vậy A(C) đóng và ta có A(C∞) = (A(C))∞

Hệ quả 2.3.1 Cho C là tập đóng khác rỗng và A : Rn → Rm là ánh xạtuyến tính Cho L(C) = C∞∩ −C∞ và L = L(C) ∩ Ker A và giả sử haiđiều kiện sau thỏa mãn:

(a) Với k đủ lớn Ck+ L ⊂ C với Ck = {x ∈ C | kxkk ≤ k};

(b) z ∈ Ker A ∩ C∞ ⇒ z ∈ −C∞

Khi đó A(C) đóng và A(C∞) = (A(C))∞

Chứng minh Lấy bất kỳ yk ∈ A(C), yk → y và {xk} ∈ S là dãy không

bị chặn thỏa mãn (2.3) Khi đó x ∈ C∞∩ Ker A và từ giả thiết (b) suy

ra x ∈ −C∞ kết hợp với x ∈ C∞ suy ra −x ∈ L

Lấy ρ > 0, từ giả thiết (a) với k đủ lớn ta có xk − ρx ∈ C

Áp dụng định lý 2.3.2 suy ra A(C) đóng và A(C∞) = (A(C))∞.Nhận xét 2.3.1 Có thể thay giả thiết (a) trong hệ quả 2.3.1 bằng giảthiết mạnh hơn C + L ⊂ C

Hệ quả 2.3.2 Cho C là tập đóng khác rỗng và A : Rn → Rm là ánh xạtuyến tính Khi đó A(C) đóng và A(C∞) = (A(C))∞ nếu một trong haiđiều kiện sau thỏa mãn:

(a) Ker A ∩ C∞ = {0};

(b) C lồi và Ker A ∩ C∞ là không gian con tuyến tính

Chứng minh Giả sử Ker A∩C∞ = {0} Lấy bất kỳ {yk} ⊂ A(C), yk → y.Khi đó không tồn tại bất kỳ dãy {xk} ∈ C thỏa mãn (2.3)

Ngoài ra, vì xk ∈ C nên x ∈ C∞ với kxk = 1.

Suy ra x ∈ Ker A ∩ C∞ mâu thuẫn với giả thiết Ker A ∩ C∞ = {0}

Áp dụng định lý 2.3.1 suy ra A(C) đóng và A(C∞) = (A(C))∞

Vì C lồi nên giả thiết (a) trong hệ quả 2.3.1 thỏa mãn do mệnh đề2.1.5 Ngoài ra, vì Ker A ∩ C∞ là không gian con tuyến tính nên

z ∈ Ker A ∩ C∞ ⇒ −z ∈ −C∞ và do đó giả thiết (b) trong hệ quả 2.3.1thỏa mãn

Vậy áp dụng hệ quả 2.3.1 ta có A(C) đóng và A(C∞) = (A(C))∞

Bổ đề 2.3.1 Cho C là tập đóng khác rỗng trong Rn, K là nón trong

Rn+1 được sinh bởi {(1, x) | x ∈ C}, tức là K = pos{(1, x) | x ∈ C} Định nghĩa D = {(0, x) | x ∈ C∞} Khi đó K = K ∪ D

Chứng minh Do K ⊂ Rn là nón sinh bởi {(1, x) | x ∈ C} nên ta có

K = {λ(1, x) | λ ≥ 0, x ∈ C} = {λ(1, x) | λ > 0, x ∈ C} ∪ {0}.Lấy bất kỳ y = (t, x) ∈ K Khi đó, ∃tk ≥ 0, tk → t, xk ∈ C sao cho

Do đó, D ⊂ K và vì K ⊂ K nên K ∪ D ⊂ K

Hệ quả 2.3.3 Cho S ⊂ Rn là tập đóng với 0 /∈ S Khi đó

pos S = pos S ∪ S∞.Ngoài ra nếu S bị chặn thì pos S đóng

Chứng minh Lâý K là nón trong Rn+1 được sinh bởi {(1, x) | x ∈ S} vàcho A : (α, x) → x Khi đó pos S = A(K)

Theo bổ đề 2.3.1 K = K ∪ {(0, x) | x ∈ S∞} và A(K) = pos S ∪ S∞

Vì 0 /∈ S nên Ker A ∩ (K) = {0} Áp dụng hệ quả 2.3.2(a) suy rapos S ∪ S∞ đóng

Vì pos S ⊂ pos S ∪ S∞ và S∞ ⊂ pos S nên

pos S ⊂ pos S ∪ S∞ = pos S ∪ S∞ ⊂ pos S ∪ pos S ⊂ pos S

(b) f∞(0) = 0 hoặc f∞(0) = −∞

(c) Nếu f∞(0) = 0 thì f∞ chính thường

Chứng minh (a) Từ định nghĩa 2.4.1 ta có epi f∞ = (epi f )∞ và (epi f )∞

là tập đóng nên f∞ nửa liên tục dưới (do định lý 1.2.1)

Ta có 0 ∈ dom f∞ Lấy x ∈ dom f∞, vì epi f∞ là nón nên

(x, f∞(x)) ∈ epi f∞ ⇒ (λx, λf∞(x)) ∈ epi f∞, ∀λ > 0 ⇒ f∞(λx) ≤ λf∞(x).Mặt khác, ta có (λx, f∞(λx)) ∈ epi f∞, ∀x ∈ dom f∞, ∀λ > 0 nên

Điều này vô lý Vậy f∞ là hàm chính thường

Bây giờ ta có thể đưa ra biểu diễn giải tích của hàm tiệm cận f∞.Định lý 2.4.1 Cho hàm chính thường f : Rn → R ∪ {+∞} Khi đóhàm tiệm cận cho bởi

hay tương đương

f∞(d) = inf{ lim

k→∞inf f (tkdk)

tk | tk → +∞, dk → d} (2.7)trong đó {tk} ⊂ R, {dk} ⊂ Rn

Chứng minh Rõ ràng, hai công thức trên là tương đương

Kí hiệu

g(d) = inf{ lim

k→∞inf f (tkdk)

tk | tk → +∞, dk → d}

Đầu tiên ta chỉ ra rằng (epi f )∞ ⊂ epi g

Thật vậy, lấy (d, µ) ∈ (epi f )∞ Khi đó theo định nghĩa 2.1.2

∃tk → ∞, (dk, µk) ∈ epi f sao cho t−1k (dk, µk) → (d, µ)

Vì f (dk) ≤ µk nên t−1k f (t−1k dktk) ≤ t−1k µk

Chuyển qua giới hạn ta có g(d) ≤ µ và do đó (d, µ) ∈ epi g

Ngược lại, lấy (d, µ) ∈ epi g Theo định nghĩa của g suy ra

Ta có (epi f )∞ là tập đóng và ε > 0 là tùy ý nên (d, µ) ∈ (epi f )∞

Hệ quả 2.4.1 Cho C là tập khác rỗng trong Rn Ta có (δC)∞ = δC∞

Hệ quả 2.4.2 Cho hàm chính thường f : Rn → R∪{+∞}, dom f∗ 6= ∅.Khi đó f∞(0) = 0

f∞(d) = sup{f (x + d) − f (x) | x ∈ dom f } (2.8)và

Từ định nghĩa của hàm tiệm cận ta có epi f∞ = (epi f )∞ Theomệnh đề 2.1.5, biểu diễn thông qua F của nón tiệm cận có

(d, µ) ∈ (epi f )∞ ⇔ ∀(x, α) ∈ epi f, (x, α)+(d, µ) ∈ epi f ⇔ f (x+d) ≤ α+µ.Suy ra f (x + d) − f (x) ≤ µ, ∀x ∈ dom f

Vì f∞ nửa liên tục dưới nên f∞ chính thường suy ra từ công thức(2.8)

Lấy x ∈ dom f Sử dụng mệnh đề 2.1.5, biểu diễn qua D của nóntiệm cận ta có với x ∈ dom f

(epi f )∞ = {(d, µ) ∈ Rn × R | (x, f(x)) + t(d, µ) ∈ epi f, ∀t > 0}

Và do đó

(d, µ) ∈ (epi f )∞ ⇔ ∀x ∈ dom f có f (x + td) ≤ f (x) + tµ, ∀t > 0

Nếu 0 ∈ dom f công thức trên vẫn đúng với ∀d ∈ Rn.

Chứng minh Nếu 0 /∈ dom f , sử dụng công thức (2.9) với x = d ∈ dom f

ta có

f∞(d) = lim

t→+∞t−1(f ((1 + t)d) − f (d))

Suy ra công thức f∞ ở trên

Nếu 0 ∈ dom f thì f (0) < −∞ và công thức trên có được từ côngthức (2.9)

Ví dụ 2.4.1 (a) Cho Q là ma trận nửa xác định dương đối xứng cấp(n × n) và f (x) = (1 + hx, Qxi)12

Áp dụng hệ quả 2.4.3 f∞(d) = lim

t→0 +tf (t−1d)

Ta có

f (t−1d) = (1 + −1d, Q(t−1d))12 = (1 + t−2hd, Qdi)12