Toán giải tích Hàm trụ và ứng dụng

NHỮNG KÍ HIỆUTrong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong bảng sau R tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập rỗng −∞ âm vô cùng ∞ dương vô cùng tương đương với

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS NGƯT

Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả,

thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất

cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ

nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi

cho em trong thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần

xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn

sớm được hoàn thành

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giảđược thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi.Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Phùng Thị Nhàn

NHỮNG KÍ HIỆU

Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong

bảng sau

R tập hợp số thực

C tập hợp số phức

∅ tập rỗng

−∞ âm vô cùng

∞ dương vô cùng (tương đương với +∞)

ber là phần thực của hàm

bei là phần ảo của hàm

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời cam đoan 3

Những kí hiệu 4

Mở đầu 7

Chương 1 HÀM TRỤ 9 1.1 Hàm chỉnh hình 9

1.2 Hàm Gamar Euler 12

1.3 Hàm trụ 16

1.3.1 Hàm trụ loại 1 18

1.3.2 Các hàm trụ khác 29

1.3.3 Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ 39

1.3.4 Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm 47

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết 53

2.1.1 Định lý cộng đối với các hàm Bessel 53

2.1.2 Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53

2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54

2.1.4 Tích phân Sonhin 56

2.1.5 Tích phân của thuyết sóng điện 58

2.1.6 Dao động của dây xích 60

2.1.7 Dao động của màng tròn 63

2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64

2.1.9 Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn 67

Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ Nhiều tính chất quantrọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tínhthực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng .

Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toánhọc đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiềuchiều và đạt được nhiều kết quả to lớn Với những kết quả đã đạt được trongkhông gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tíchmặt, thể tích khối Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cáchtriệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt đượcbiểu diễn thông qua hàm trụ

Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiêncứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống

về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài

“Hàm trụ và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứuTìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ

3 Nhiệm vụ nghiên cứuLuận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Hàm trụ

Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic

và hệ thống

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài

nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn

đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán học

Chương 1 HÀM TRỤ

được gọi là vi phân của f tại điểm z0.Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0nếu nó C− khả

vi trong lân cận của điểm ấy

Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗiđiểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùngnhau)

Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M ⊂ C nếu nó có thểthác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D ⊃ M

Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnhhình của hàm ϕ(z) = ϕ(1

z) tại z = 0 Định nghĩa này cho phép ta xét hàmchỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C

Định lý 1.1 Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnhhình trong miền ấy

Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên mộtvành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D) H(D) là một không gianvector trên C

Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của nó

theo tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D, đồng luân với không trong miền này là bằng

hàm f có nguyên hàm F trong U và do đó nguyên hàm của f dọc theo γ1

sẽ là hàm F (z1(t)) Vì z1(0) = z1(1) = a (tuyến γ1 là tuyến đóng) nên theo

hàm trong miền ấy

Định lý 1.6 (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f ∈ H(D) tại

mỗi điểm hữu hạn z ∈ D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó trên

đường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z

f (z) = 12π

Khai triển (1.6) là khai triển Mittag-Leffer của hàm ψ (1 + z), từ đó suy

ra nó là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm

Mũ hóa (1.7) ta được

1

Γ (1 + z)e

C zY∞ k=1



1 +zk



tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinπz,ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = πz) Từ (1.8) suy ra rằnghàm 1

Γ(1+z)nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, )

và chỉ có tại các điểm đó Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàmphân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại cácđiểm đó mà thôi

Từ (1.8) suy ra Γ (1) = 1 Do khẳng định trên Γ (2) 6= 0 và bởi vì hằng số

Cchưa xác định, nên ta có thể buộc Γ (2) = 1 Khi đó từ (1.7) ta nhận được



1 +1k



−k1

,hay



= lim

n →∞

( nX

= lim

n→∞

( nX

k=1

1

k− ln (n + 1)

),khi thêm vào trong dấu móc số hạng 1

n+1 → 0 (nó không làm thay đổi giớihạn) và thay n + 1 bằng n, ta nhận được biểu thức cuối cùng đối với C

vì tất cả các số hạng đều đã được giản ước Lấy tích phân không định hạn

hệ thức này ta nhận được ln Γ (z + 1) − ln Γ (z) = ln z + ln A, trong đó A là

hằng số nào đó từ đó Γ (1 + z) = AzΓ (z) Ở đây khi đặt z = 1 và sử dụng

tính chất Γ (1) = Γ (2) = 1 ta tìm được A = 1, từ đó

Công thức truy hồi vừa nhận được cho phép ta tính ngay được giá trị của

Γ (z) trong dải k < Re z≤ k + 1 và k − 2 < Re z ≤ k − 1, nếu đã biết giá trị

của nó trong dải k − 1 < Re z ≤ k Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm

Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) trên toàn mặt phẳng nếu

đã biết giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1

Nói riêng khi z = 1 thì (1.11) có dạng

Từ đó ta thấy rằng Γ (1 + z) là sự mở rộng trong miền phức của hàm n!

đối số nguyên

Nhờ công thức (1.11) cũng có thể tìm được thặng dư của Γ (z) tại các cực

điểm của nó Dựa vào công thức này ta có



1 +zk

Theo công thức sin z = zQ∞

πsin πz Như vậy, Γ (z) Γ (1− z) = π

sin πz.Công thức nhận được ở trên cho phép tính Γ (z) trong dải 0 < Re z ≤ 1(nghĩa là trên toàn phẳng) Về việc tính giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤12.Đặc biệt khi z =1

2 từ công thức đó ta nhận được Γ2 1

= π, từ đó

Γ

12



=√π

Để kết thúc ta đưa ra bảng các giá trị Γ (x) trong khoảng (1.2) của trụcthực với bước nhảy của x là 0,1 cùng với đồ thị của các hàm Γ (x) và 1

Hình 1.1

Hình ảnh chung của đồ thị hàm Γ (x) đã rõ ràng do các tính chất của nó

đã nói ở trên hình 1.1 Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ (x)

với nửa trục âm khi x → −∞ có liên quan đến sự giảm nhanh các thặng dư

của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −π, ta có

Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ

quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các

bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ Điều này được giải thích

rằng phương pháp giải các phương trình vật lý toán có chứa đựng các toán

tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , bằng phương pháp cổ điển để phân

chia các biến số dẫn tới phương trình

17

Hàm trụ J0(x) được nghiên cứu đầu tiên bởi Danhil Bernull trong côngtrình nghiên cứu tính giao động của các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm1732).D Bernull nghiên cứu từng phần của phương trình (1.14) với λ = 0,sau khi giải phương trình tìm ra biểu thức J0(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa,hơn nữa ông nhận ra rằng biểu thức J0(x) có tập hợp vô hạn những nghiệm

số thực

Trong nghiên cứu tiếp theo ( Peterburg, năm 1738) được tiến hành bởiLeonard Euler người ta bắt gặp những hàm trụ Trong nghiên cứu này Eulersau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động của các màng tròn, đưa ra biểuthức (1.14) với giá trị λ = n nguyên Sau khi giải phương trình này, ông ta

đã tìm ra biểu thức Jλ(x) cho n nguyên dưới dạng lũy thừa x, và trong cácnghiên cứu sau này ông đã phổ biến biểu thức này trong trường hợp nhữnggiá trị độc lập của chỉ số λ, bằng 0 với nửa hàm Jλ(x) được thể hiện thôngqua những yếu tố cơ bản, chúng ta nhận ra một cách hiển nhiên với nhữnggiá trị λ thực thì hàm Jλ(x) có tập hợp vô số các đường trung tính thực tế

và đưa ra các khái niệm tích phân đối với Jλ(x)

Cuối cùng, với λ = 0 và λ = 1 trong nghiên cứu của mình năm 1769,Euler đã đưa ra biểu thức dưới dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai(1.14), phụ thuộc một cách tuyến tính với Jλ(x)

Vì thế Euler nhận được các kết quả cơ bản có liên quan tới hàm trụ vànhững phụ lục của môn vật lý toán học

Nhà thiên văn học người Đức P Bessel mà tên tuổi của ông luôn gắn liềnvới hàm trụ trong mối tương quan nghiên cứu chuyển động của trái đất xungquanh mặt trời, trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa ra các phươngtrình truy toán đối với hàm ,Jλ(x) những phương trình vẫn mang những đặctrưng cơ bản mặc cho tính quan trọng của chúng, ông đã thu được khái niệmtích phân mới Jn(x) cho số nguyên n, ông cũng đã chứng minh tập hợp vô

số các đường trung tính J0(x) và lập ra những bản đầu tiên cho J0(x), J1(x)

và J2(x)

1.3.1 Hàm trụ loại 1

1) Những khái niệm tích phân của Sonhin Chúng ta cùng nghiên

cứu biểu thức vi phân của hàm trụ

t2x00+ tx0+ (t2+ λ2)x = 0 (1.15)

ở đó t là biến số độc lập, x− hàm ẩn và λ là tham số, chỉ số của biểu thức

(1.15) chúng ta sẽ tính bằng số thực Chúng ta sẽ giải biểu thức này bằng

ở đó x0= x(0), x1= x0(0), là những dữ liệu có sẵn (những dữ liệu ban đầu

không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), hoặc t = 0 được coi là điểm đặc

biệt của biểu thức (1.15)), vì thế những phương trình toán tử tương ứng với

đó λ > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phầnpp2+ 1 mà trêntrục tâm s nhận các giá trị dương Khi đó hàm X(p) sẽ tiến gần tới 0 với

|ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện.Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ vàđặt biểu tượng Jλ(x) (cho λ = n nguyên) Ta tìm ra hàm Jλ(x) như sau

Jλ(t) = 12πiZ

L

eptdpp

p2+ 1(p +p

p2+ 1)λ, (1.18)trong đó L là đuờng thẳng tự do Re ρ = a > 0

Tiếp tục tới một biến số mới

Jλ(t) = 12πiZ

!

Hình 1.2

Không thay đổi giá trị tích phân, khi đường cong C có thể được thay thế

bởi bất cứ một đường thẳng đứng nào Im ω = α > 0

Vì thế trên vùng lân cận |ω| = R thì hàm e−2ωt

ωλ+1 tiến dần tới 0 với R → ∞,khi đó t > 0 theo bổ đề của Giordan thì tích phân (1.20) dọc theo đuờng

vòng cung C có thể thay thế bởi đường chu tuyến C∗đã được chỉ trong hình

1.2, đuợc vẽ từ các điểm −∞ theo giới hạn dưới của bán trục âm ξ , chạy

vòng quanh vùng lân cận từ đầu toạ độ và quay về −∞ theo giới hạn trên

của bán trục này Vì thế chúng ta thu được một khái niệm tích phân của

hàm trụ, cũng như thuộc về N Ya Sonhin (chúng ta viết z thay t)

Jλ(z) = 12πiZ

Tích phân Sonhin (1.21) chúng ta nhận được đối với những số dương z,

nhưng phần phải của nó là hàm phân tích trong nửa mặt phẳng phải z, hoặc

nhờ Re z > 0 tích phân (1.21) cùng bằng z Vì vậy tích phân Sonhin tiếp

tục phân tích Jλ(z) ở nửa mặt phẳng phải

Ngoài ra khi Re z > 0 tích phân Sonhin hội tụ không chỉ đối với những số

dương mà còn đối với các giá trị tổng hợp bất kỳ của tham số λ, hoặc trên

phần thẳng đứng của chu tuyến C∗số nhân đặc trưng tiến tới 0 càng nhanh

21

ωλ+1 càng phát triển Cho nên tích phân Sonhin xác định ở nửa mặt phẳngphải những hàm Bessel bậc tổng hợp tự do

2) Tính chất giải tích Nhờ những giá trị nguyên của tham số λ =

n, n = 0,±1, ±2, hàm thuộc tích phân của tích phân (1.21) có 1 giá trị,cho nên những tích phân các phần nằm ngang của chu tuyến C∗ biến mất

và tích phân (1.21) có dạng

Jλ(z) = 12πiZ

(bán kính đường tròn thuộc chu tuyến C∗chúng ta có thể lấy bằng 1) Bởi

vì tích phân ở vế phải (1.22) hội tụ đối với z bất kỳ và hơn nữa hội tụ đều,điều đó có thể khảng định rằng nhờ các giá trị số nguyên tham số λ = n cáchàm Jλ(z) là nguyên

Giả sử tiếp theo z là số dương, còn λ là bất kỳ Khi thay biến số ω =2ζ

z

ở tích phân Sonhin (1.21), ta được tích phân Sonhin - Slepply

Jλ(z) = 12πi(

số λ Nhưng hệ thức Jλ(z)

zλkhi tổng hợp bất kỳ là hàm nguyên

3) Những biểu diễn tích phân khác Giả sử Re z > 0, chúng tathay ω = ei ζ trong tích phân Sonhin, từ đó chu tuyến C∗được thay bằngchu tuyến II, được miêu tả ở hình 1.3 (Bán kính đường tròn ở chu tuyến C∗

chúng ta coi là bằng 1)

Tích phân Sonhin đi qua tích phân Slepply

Jλ(z) = 12πZ

II

ei z sin ζ −i λ ζdζ,

biểu diễn hàm hình trụ ở nửa mặt phẳng phải

Hình 1.3

Khi những giá trị nguyên của tham số λ = n, n = 0, ±1, ±2, do tính

tuần hoàn của hàm số einζvà sin ζ tích phân phần thẳng đứng của chu tuyến

II được rút gọn tương quan, và chúng ta nhận được

(chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và

hàm lẻ sin) Đó là tích phân Bessel

4) Biểu diễn bởi chuỗi Chúng ta khai triển ở tích phân Sonhin –

C ∗

eζζ−λ−1−kdζ

Chúng ta nhớ lại biểu diễn tích phân Khakeli đối với hàm Gamma, chúng ta

tìm thấy khai triển cần tìm của hàm hình trụ ở chuỗi

ω)vào chuỗi Laurent bậc ω ta có

6)Quan hệ truy toán Từ khai triển vào những chuỗi (1.24) ta được

Jλ(z)

zλ =−Jλ+12λ(z) (1.30)Công thức cuối cùng có thể được viết lại dưới dạng

dzdz

z

2)

2λ+2k −1=

= zλX∞ k=0

dn

(zdz)nzλJλ(z) = zλ−nJλ−n(z) (1.33)Các công thức (1.30) và (1.32) được ghi lại dưới dạng

J0

λ(z) =λ

zJλ(z)− Jλ+1(z), J0

λ(z) = Jλ −1(z)−λzJλ(z) (1.34)Khi trừ phương trình khác từ phương trình thứ nhất (1.34), chúng ta tìmthấy hệ truy toán, không chứa những đạo hàm

J00(z) = J1(z)

7) Những hàm trụ có bậc bằng số nguyên cộng 1

2 Như Euler đãchỉ những hàm biểu diễn qua hàm cơ bản Từ công thức (1.23) theo khi tính

πzsin z

(1.37)và

πzcos z.

(1.38)Sau đó khi sử dụng hệ thức (1.31) và (1.33), ta được

J

n+12(z) = (−1)n

r2

πz

n+1

2 dn(zdz)n

sin z

z ,

J

−n−12(z) =

r2

πz

n+1

2 dn(zdz)n

Sau những biến đổi đơn giản những công thức này có dạng

ở đó

S1=

"n2

( [a] ký hiệu phần nguyên của số dương a)

8) Tính trực giao Khi xác định hàm trụ y = Jλ(x) thỏa mãn phươngtrình vi phân

x2J00

λ(x) + xJ0

λ(x) + (x2− λ2)Jλ(x) = 0 (1.42)Đặt x = αt , trong đó α− là hằng số, và chúng ta xem xét hàm số y =

Jλ(αt) = y(t) Chúng ta có J0

λ(x) = 1α

Bây giờ chúng ta xem xét 2 hàm số y1= Jλ(αt) và y2= Jλ(βt), trong đó

αvà β là hằng số, theo cái đã chứng minh chúng thoả mãn phương trình

1y2− y1y0

2thì u0= y0

1y2− y1y00

2, khi đó chúng ta nhậnđược

u0+1

tu = (β

2− α2)y1y2.Sau khi nhân với t vế trái sẽ bằng d

dt(u t), vì thế khi lấy tích phân của t từ

Như đã chứng minh với số thực λ thì mỗi phương trình trong phương trình

(1.45) và (1.46) có tập hợp vô số các nghiệm thực Giả sử α1, α2,···, α3,··· là hệ

thống các nghiệm của một trong các phương trình này, khi đó dựa trên công

thức (1.47) có thể khẳng định rằng các hàm số Jλ(α1t), Jλ(α2t), , Jλ(αkt),···

tạo nên tổ hợp trực giao với t ở khoảng (0, l)

Điều này chỉ ra sự tương tự giữa những hàm trụ Jλ(αt) (thoả mãn phương

cũng là tổ hợp trực giao trong khoảng nào đó

9) Những chuỗi theo hàm trụ Giả sử α1, α2,· · ·, αk, là những

nghiệm dương của phương trình (1.45) hoặc (1.46) và f(t) là hàm phẳng,

đoạn ở trong khoảng (0; l) Ta giả thiết rằng trong khoảng này f(t) là chuỗi

(0; l), thì hệ số của chuỗi (1.48) được xác định theo công thức

ck= 1

d2 k

Chúng ta tính tích phân cuối Khi đó chúng ta sử dụng công thức (1.44),

mà trong đó chúng ta giả thiết rằng α là một trong những nghiệm của

,

từ đó ta thấy rằng khi β → αkmột lần nữa có dạng không xác định 0

0 Khixét dạng không xác định này theo công thức Lôpital , chúng ta tìm được

Nhưng từ phương trình vi phân (1.42), giả sử trong phương trình x = αkl

và khi sử dụng công thức (1.45), chúng ta tìm thấy J00

(z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượng

được đưa ra ở đây là tổng hợp) Ta đi tìm cách giải phương trình (1.52) bằng

phương pháp biến đổi tích phân, có nghĩa chúng ta sẽ tìm cách giải dưới

dạng

ω =Z

C

ở đó W là hàm phải tìm mới, còn hàm K(z, ζ) và chu tuyến C được chọn

sao cho như chỉ ở dưới Khi đặt (1.53) vào phương trình (1.52), chúng ta sẽ

có (giả sử hoán vị thứ tự vi phân và phép lấy tích phân)

KW0 bằng 0, thì từ tích phân (1.53) sẽ cho cách giải phương trình (1.52)

Dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (1.54) sẽ được thỏa mãn nếu đặt K =

ei z sin ζ Để lấy tích phân chúng ta chọn các chu tuyến C và C trên hình 1.4,

31

vì trên trục ảo sin ζ = sin iη = i sh η, còn trên những đường thẳng ±π + iη

ta có sin ζ = − sin iη = −ish η, nên trên đoạn thẳng đứng C1 và C2 chúng

Từ đó nếu x = Re z > 0, thì khi η → +∞ tương ứng khi η → −∞,

|K| hướng tới 0 với tốc độ e−

được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia

2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3 Nếu cộng hai công thức(1.55), thì tích phân theo nửa trục ảo được rút gọn Chúng ta nhận được

Hλ(1)(z) + Hλ(2)(z) =1

πZ

Q

eiz sin ζ−iλζdζ = 2Jλ(z)

(Π là chu tuyến hình 1.4) Bằng cách đó, đối với tất cả giá trị tổng hợp λ ở

nửa mặt phẳng phải Rez > 0 hàm Bessel bằng

Jλ(z) =H

(1)

λ (z) + Hλ(2)

Để tìm biểu thức hàm Khankelia thông qua hàm Bessel, ta tìm mối liên

hệ ban đầu giữa các hàm Khankelia trái dấu Chúng ta có, ví dụ

H−λ(1)(z) =1

πZ

C 1

ei z sin ζ+iλ ζdζ

và khi đưa vào biến số mới của tích phân ω = −ζ + π, từ đó chu tuyến C1

chuyển đến chu tuyến C−

1, trùng với C1, nhưng chuyển qua hướng đối lập,chúng ta nhận được

H−λ(1)(z) =−e

iλπ

πZ

C − 1

eiz sin ω−iλωdω = eiλπHλ(1)(z)

tương tự khi đưa ω = −ζ − π, chúng ta nhận được công thức cho H(2)

được biểu thức hàm Khankelia qua hàm Bessel

Nói đúng ra những công thức (1.58) nhận được khi cho λ khác với những

số nguyên, nhưng chúng vẫn đúng cả trong trường hợp λ là số nguyên, nếu

λ , như cả H(1)

λ Khi sử dụng công thức (1.36) vàcông thức J0

0(z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được

H(1)12(z) =−i

r2

πze

iz; H(2)12(z) =−i

r2

Nhờ λ hướng đến những số nguyên n, chúng ta nhận được dạng0

0 Khi xemxét nó theo quy tắc Lôpital, chúng ta nhận được đối với số nguyên λ = n

2, được biểu diễn qua hàm

cơ bản, hoặc từ công thức

(z), Y

−n−12

(z) = (−1)nJ

n+12(z) (1.65)

Chúng ta tìm được biểu thức của hàm Vêber bậc số nguyên ở chuỗi luỹ

thừa Đối với việc này có thể sử dụng công thức (1.63) và khai triển trong

chuỗi

Jλ(z) = (z

2)

λX∞ k=0

(1.60) đối với đạo hàm Lôgarit Gamma, giả sử trong nó z = n−1 (n = 0, 1, 2, · · ·),

dt

1Γ(t)

n!, tiếp theo ở ngoại vi điểm

t =−n khai triển đúng

1Γ(t)= (−1)nn!(t + n){1 + C1(t + n) +· · ·} ·

Từ đó rõ ràng rằng đối với n = 0, 1, 2, ta có

ddt

 1Γ(t)

1Γ(t)

1Γ(t)

= 2 isin λ π,

khác 0 và kết thúc khi số λ không nguyên bất kỳ, khi đó cách giải tổng quát

có thể biểu diễn cả ở dạng

ω = C1Jλ(z) + C2J−λ(z) (1.73)Khi số nguyên λ = n những hàm Jn và J−n trở thành hàm độc lập tuyến

tính, và thay (1.73) cần chọn cách giải tổng quát dạng (1.71) và (1.72)

37

5) Các hàm trụ biến thuần ảo Ở một vài ứng dụng thường gặpnhững hàm trụ có biến thuần ảo z = ix Từ công thức (1.39) rút ra rằnghàm y = Jλ(ix) thoả mãn phương trình vi phân

x

2)

λ+2k

Từ đây rõ ràng nếu chúng ta muốn nhận hàm số thực đối với những số thực

λvà z, chúng ta cần nhân với số nhân cố định Jλ(ix), tích đó có ký hiệu

x

2)

λ+2k (1.75)

Hàm I−λ(z) cũng là cách giải hàm (1.74) và nếu λ không nguyên, thì Iλ(z)

và I−λ(z) là phụ thuộc tuyến tính Nếu λ = n là nguyên thì từ (1.75) và hệ

J−n(z) = (−1)nJn(z) chúng ta nhận được

Để có được cách giải thứ hai của hệ số độc lập tuyến tính với In, ở đây cầnphải sử dụng các hàm đã nhận được từ các hàm trụ khác Được sử dụngnhiều hơn trong số các hàm đó là hàm nhận được từ hàm Hankel đầu tiên

từ biến số ảo bằng cách nhân thành số nhân bất biến nào đó