phân dạng và 100 bài tập tọa độ trong mặt phẳng download các bài giảng bất đẳng thức cauchy nguyễn vũ lương download chuyên đề bđtlê xuân đại download kỹ thuật sử dụng bđt cauchy download ôn tập

Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trì[r]

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ

BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIPhần một: Phần Mở Đầu

Lí do chọn đề tài

Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là

hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán Chúng được sử

dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi

tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi Đề tài về hai bất đẳng thức này

là không mới Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến thức em

thích, em đã giải khá nhiều bài toán có ứng dụng hai bất đẳng thức này nhưng

bản thân em vẫn chưa tổng kết được các phương pháp sử dụng hai bất đẳng

thức trên trong giải toán Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này sẽ giúp em hệ thống

lại các kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức này một cách rõ ràng hơn Và sau

này khi trở thành giáo viên em sẽ thấy tự tin hơn khi giảng dạy về mảng kiến

thức này từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn Bên cạnh đó, em thấy đề tài này

cũng hợp với khả năng của mình, đặc biệt em thực hiện đề tài này với sự

hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn cùng với nguồn tài liệu không ít

nên em tin mình có thể hoàn thành tốt đề tài này

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu là chủ yếu

Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu

MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng

ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định

hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải

Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán

cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù

một số bài không yêu cầu trình bày phần này

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính

xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất

đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các

dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị

thường đạt được tại vị trí biên

Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến

trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các

biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ

ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Cho n số thực không âm a1, a2, , a n , n ∈ Z ,n ≥ 2, ta luôn có:

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

(a+ b) (b+c ) (c +a) ≥ 8 abc

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

(a+b) (b+c ) (c +a) ≥ 2√ab 2√bc 2√ac=8 abc (đpcm)

Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:

⇒√ac+√bd ≤√(a+b )( c+ d ) (đpcm)

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a>c b>c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1(1+c )+

c 1+c)1

3(1+a 1+a+

1+b 1+b+

1+c 1+c)=1

Dấu “=” xảy ra

⇔ a

(a+1 )2 hay a= −2 ±

4

√82

Vậy GTNN của A=2√2+2

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=a+2

a2 , ∀ a>0Giải:

2 CMR:

( p −a )( p −b )( p − c) ≤1

8abcGiải:

Ta có:

c+ a+

c a+ b ≥

32

(Bất đẳng thức Nesbit)

Giải:

Ta có:

a b+c+

b c+a+

c a+b=(1+ a

b+c)+(1+ b

c +a)+(1+ c

a+b)−3

¿a+b+c b+c +

b+c +a

c +a +

c+a+b a+b −3

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: c

2

a+b+

a2b+c+

b2c+ a ≥

a+b+c

2Giải:

c2a+b+

a2b+c+

b2c+ a=(c+ c

b c+a)−( a+b+c) (a+b+c )(a+b c +

a b+c+

b c+a − 1)

Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

a b+c+

b c+ a+

c a+ b ≥

32

Do a+b+c ≤1 ta có:

Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận

biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về

dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn

Bài 1: Cho Δ ABC , AB=c , BC=a , CA=b CMR:

Hay (b+c − a) (c+ a −b )( a+b −c ) ≤ abc (đpcm)

Bài 2: Cho Δ ABC , AB=c , BC=a , CA=b CMR:

a b+c −a+

b

c +a −b+

c a+b− c ≥ 3(1)

Ta có: p −a= b+c −a

2 >0 Tương tự:

c a+b ≥

3

2(1) Giải:

Đặt:

b+c=x c+a= y a+b=z

b c+a+

c a+b ≥

Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

xyz=1 Tìm GTNN của biểu thức:

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong

bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại

tâm

Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại

biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ

thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho số thực a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A=a+1a

Sai lầm thường gặp là: A=a+1

a ≥2√a 1

a=2 Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 ⇔ a=1

a ⇔a=1vô lý vì theo giả thuyết thì a ≥ 2.

Lời giải đúng: A=a+1

Dấu “=” xảy ra ⇔ a

4=

1

a hay a=2 Vậy GTNN của A là 52

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật

chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt

GTNN khi a=2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2” Ta không

thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số avà 1

avì không thỏa quy tắc dấu

“=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì

thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

a và ta có lời giải như trên.

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số (α a ,

1

a) ta có thể chọn các các cặp số sau: (αa,1

a) hoặc (a , α

a) hoặc (a , 1

αa) Bài toán 2: Cho số thực a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=a+1

a2

Sơ đồ điểm rơi:

a=2 ⇒ a

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=2

Vậy GTNN của A là 94

Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b ≤1 Tìm GTNN của A=ab+ 1

abPhân tích:

Dấu “=” xảy ra ⇔ ab=1

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a=6 Ta có

sơ đồ điểm rơi:

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+2b+3 c ≥ 20 Tìm GTNN của A=a+b+ c+3

b=3 ⇒ b

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=2 , b=3 , c=4

12112Phân tích:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi

ab=12bc=8

43

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 ⇔ a=b=1

a=

1

b ⇔a=b=1 Khi đó a+b=2 ≥ 1 trái giả thuyết

a=b=1

2⇒ a

Sơ đồ điểm rơi:

a=b=c=1

2⇒ a

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c =1

Sơ đồ điểm rơi:

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c =12

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b

b+c=

b c+a=

c a+b=

12

A=(b+c a +

b c+a+

c a+b+

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c Vậy GTNN của A là 15

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=1

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Dấu “=” xảy ra

⇔ 1+a2+b2=6 ab

a=b a+b=1

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=1

a=b=1

2⇒

4 ab=11

(a+b )3+ab(a+b) ≥25

⇔a=b=1

2

¿{ {

Vậy GTNN của A là 20

Bài 9: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa 1

Kỹ thuật nhân thêm hệ số

Bài 1: Tìm GTLN của : A=a2(1-a ) , a∈ (0,1)

⇔6 − 2 a=12 −3 b=2 a+3 b=6 ⇔

a=0 b=2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

b −6=3

c −12=4

⇔

¿a=4 b=9 c=16

Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=”

xảy ra khi:

a=b=c=1 ⇒ a+2 b=3 b+2c=3

c +2 a=3

¿{ {

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 (*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a2+b2

+c2

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a2

+b2+c2 và a+b+c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a2

+b2+c2 Nhưng ta cần áp

dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a,

b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a2

, b2và c2cùng với 1 hằng số dương tương ứng

khác để làm xuất hiện a , b và c Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên

ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a=b=c, từ (*) ta có a=b=c=13 Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có lời giải như sau:

cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện √a và √b Do a, b

dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi a=b, từ

3 b7+3 c7+1 ≥7 b3c3 (2) ; 3 c7

+3 a7+1 ≥7 c3a3 (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

+b3+c3≥ a2√bc+b2√ca+c2√abGiải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a3,1 số b3 và 1 số c3ta có:

4 a3+b3+c3≥ 6√6a12 b3 c3=6 a2√bc (1)Tương tự:

4 b3+c3+a3≥ 6 b2√ca (2) ; 4 c3+a3+b3≥ 6 c2√ab (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(m+n)(am+n+bm+n

+c m +n)≥( m+n )( a m b n+bm c n+cm a n)

a m+n+bm+n+c m +n ≥ a m b n+bm c n+cm a n (đpcm)

Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng trong chứng

minh các bài toán sau này.

Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc=1 Chứng minh bất đẳng thức

Tương tự:

1

b3+c3+1≤

a a+b+c (2)

1

c3+a3+1≤

b a+b+ c (3)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+ bc+ca=1 Chứng

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+ bc+ca=5

b3

=89

⇔

¿a=

3

√33

b=2

3

√33

Dấu “=” xảy ra

⇔ a+b+c=3

4 a2=4

6 b2

=83

3 c2

=163

⇔

¿a=1 b=2

√abc −3

4=

34

32Giải:

⇒ a3b+ c+

⇒ a3b+ c+

c3c+2 a+

a2b+c+

b2c+ a+

16 c2a+b ≥

Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức

sau đó sẽ đổi chiều:

1

3

√abc≥

32

Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế

của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1 Khi đó dấu của bất đẳng

thức ban đầu sẽ không đổi chiều

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3

32Giải:

1+bc≥ 1−

√bc

2 (2);

11+ca≥1 −

√ca

2 (3)Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3

Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3

b2c +1 ≥ a −

1

4(ab+abc) (1) Tương tự ta có:

b

2 c3+1+

c

2 a3+1≥1Giải:

a 2b3

b2b+2 c3≥ b −2

a2a+2 b3+

b2

b +2 c3+

c2c+2a3≥ a+b+c −

c+a a+b+c)=6

⇒√a+b+c a+b +√a+b+c b+c +√a+b+c c +a ≤√6

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab+ bc+ ca=4 CMR:

a4+b4+c4≥16

3Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :(12+12+12

Bài 6: Cho các số thực dương a, b thỏa a2

⇒15

4 ≤ −2 a+b+5 ≤

254

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :(a+3 b4 )4=[ (a4+

16 ) (a2+b2+b2+b2) ]2

(b+3 c4 )4≤ b

4

+3 c4

4 (2) (c +3 a4 )4≤ c4+3 a4

4 (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

c (a+b )2]

Mà ta có:

b+c a + b

c+ a+

c a+ b ≥

32 (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước)

⇒(b+c a +

b

c +a+

c a+b)2≥9

4

⇒(a+b+c)[(b+c ) a 2+

b (c +a )2+

c (a+b )2]≥9

1

βc c

¿{ {

, chọn

α=4 β=1

4=

1

b b

4=

1

c c

1

βc c

¿{ {

, chọn

α=4 β=1

1

βc c

¿{ {

, chọn

α=4 β=1

¿ ≥(4a+a)+(4b+b)+(4c+c)+(2 a+ bc)+(2 b+ ac)+(2 c+ ab)+6 (a+ b+c )

¿ ≥ 2√4a a+2√4b b+2√4c c+2√2 abc ++2√2abc ++2√2abc +6 (a+b+c )

Như vậy đề tài đã giới thiệu bảy kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy

và hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski trong chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị

Chứng minh bất đẳng thức là một quá trình đầy sáng tạo Ngoài các kỹ thuật này thì còn rất nhiều kỹ thuật hay và sáng tạo hơn nữa Tuy nhiên trên cơ

sở các kỹ thuật được trình bày trong đề tài, em mong có thể giúp người đọc tìm được nhiều ý tưởng mới về phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy vàbất đẳng thức Bunyakovski

Sau này, nếu có điều kiện thì em sẽ tiếp tục tìm nghiên cứu đề tài này,

để có thể tìm ra nhiều kỹ thuật mới nữa Từ đó, ngày càng hoàn thiện vốn kiến thức của mình và giúp cho công tác giảng dạy của mình tốt hơn

Tài Liệu Tham Khảo

EE Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải toán sơ cấp, người dịch Hoàng

Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986

Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải một bài toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh

Hóa

Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi

dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh

Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM (CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước.

Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức và bất đẳng thức, Chương

trình bồi dưỡng chuyên đề toán, Hà Nội, 11/12/2009

Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng

kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa

Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức.

Tạp chí Toán học Tuổi trẻ

Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán, Nhà xuất bản Hà Nội, 2004.

www.hsmath.netwww.mathvn.com