Phương trình tổng quát của đường thẳng a Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTPT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng d đi qua điểm 0 0 ; : 0 b Phương trình tổng
Trang 1Tài liệu bài giảng
Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải
I VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG (VTCP) VÀ VÉCTƠ PHÁP TUYẾN (VTPT) CỦA ĐƯỜNG THẲNG
- Véctơ a
(khác 0
) được gọi là VTCP của đường thẳng d khi và chỉ khi nó có giá song song hoặc trùng với d
- Véctơ n
(khác 0
) được gọi là VTPT của đường thẳng d khi và chỉ khi nó có giá vuông góc với d
Chú ý: - Nếu đường thẳng d có VTCP là a ( ; )a a1 2 thì VTPT n ( ;a2 a1) hoặc n ( a a2; )1
- Nếu đường thẳng d có VTPT là n ( ; )A B thì VTPT a( ;B A ) hoặc a ( B A; )
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy , đường thẳng d đi qua điểm )
0 0
( ; )
- Phương trình tham số là 0 1
d
y y a t
- Phương trình chính tắc là 0 0
d
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTPT
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy , đường thẳng d đi qua điểm )
0 0
( ; )
: ( ) ( ) 0
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
Thu gọn phương trình trên ta được :d Ax ByC , phương 0
trình này được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
Chú ý: Từ phương trình :d Ax ByC ta suy ra được 0
- VTPT của đường thẳng d là n ( ; )A B
- Điểm M x y( ; )0 0 thuộc d khi và chỉ khi Ax0By0 C 0
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy cho hai đường thẳng ) d A x1: 1 B y1 C1 0, d2:A x2 B y2 C2 0
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d d1, 2 phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình
a
d
a
d x O
y
0 0 ( ; )
M x y
( ; )
n A B
d x O
y
0 0 ( ; )
M x y
Trang 21 1 1
0 0
A x B y C
A x B y C
A x B y C
A x B y C
Chú ý: Nghiệm duy nhất của hệ ( )I chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d d1, 2
- Hệ ( )I vô nghiệm d1d2
- Hệ ( )I có nghiệm duy nhất d d1, 2 cắt nhau
- Hệ ( )I có vô số nghiệm d1 d2
1 2
,d d
A B C
A B C
A B C
A B C
IV GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Định nghĩa: Hai đường thẳng d d1, 2 cắt nhau tạo thành 4 góc Góc có số đo nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 Kí hiệu là ( , )d d1 2
Khi d d1, 2 song song hoặc trùng nhau thì góc tạo bởi chúng bằng 0 0
2 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT
- Nếu hai đường thẳng d d1, 2 có hai VTCP lần lượt là a1 và a2 thì
1 2
cos( , ) cos ,
a a
d d a a
a a
- Nếu hai đường thẳng d d1, 2 có hai VTPT lần lượt là n1 và n2 thì
1 2
cos( , ) cos ,
n n
d d n n
n n
- Trong mặt phẳng (Oxy , cho hai đường thẳng ) d A x1 : 1 B y1 C1 0, d2 :A x2 B y2 C2 0 Gọi
0 90 là góc giữa hai đường thẳng d d1, 2 ta có 1 2 1 2
cos
A A B B
A B A B
2
d x O
y
1
d
1
d
2
d O y
x
1
d
2
d
O y
x
Trang 3V KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
- Trong mặt phẳng (Oxy , cho đường thẳng ) :Ax ByC và điểm 0 M x y0( ; )0 0 Khoảng cách từ
0
M đến đường thẳng được tính bởi công thức
0 0 0 0
d M M H
A B
- Trong mặt phẳng (Oxy , cho đường thẳng ) :Ax ByC và hai điểm 0 M x y( M; M), N x y( ;N N) Khi đó
Hai điểm M N nằm cùng phía đối với , Ax M By M C Ax N By N C 0
Hai điểm M N nằm khác phía đối với , Ax M By M C Ax N By N C 0
BÀI TẬP Bài 1 Cho hai điểm (2; 3), (1;1)A B Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm ,A B
Bài 2 Cho hai điểm (2; 3), (4;1)A B Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng
AB
Bài 3 Cho điểm M ( 3;2) và đường thẳng : 2d x 3y 1 0
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 1 đi qua M và song song với d
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 2 đi qua M và vuông góc với d
Bài 4 Cho tam giác ABC có (2; 3), (4;1), ( 1;2)A B C
a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC
b) Viết phương trình tổng quát của các đường cao của tam giác ABC
c) Viết phương trình tổng quát của các đường trung tuyến của tam giác ABC
Bài 5 Cho điểm M(1;2) và đường thẳng :d x y 3 0
a) Tìm tọa độ điểm N nằm trên d sao cho MN 10
b) Tìm tọa độ điểm P nằm trên d sao cho độ dài MP nhỏ nhất
Bài 6 Cho ba điểm ( 2;2), (1; 2), (1; 3)A B C Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
C và cách đều , A B
Bài 7 Cho ba điểm (1;2), (0; 2), ( 5; 0)A B C và đường thẳng :d x y 3 0
a) Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho MAMB nhỏ nhất
b) Tìm tọa độ điểm N nằm trên d sao cho NANC nhỏ nhất
c) Tìm tọa độ điểm P nằm trên d sao cho PAPB nhỏ nhất
Bài 8 Cho điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt các tia Ox Oy lần lượt tại , ,
A B sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
Bài 9 Cho tam giác ABC có ( 1; 3)A , đường cao xuất phát từ B và C có phương trình lần lượt là
d x y , d2 :x 3y 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh ,B C và tính diện tích của tam giác ABC
Bài 10 Cho tam giác ABC có ( 1;2)A , đường trung tuyến xuất phát từ B và C có phương trình lần
lượt là d1: 4x5y 8 0, d2 :x 7y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh ,B C và tính diện tích của tam giác ABC
0
M
Trang 4Bài 11 Cho tam giác ABC có C ( 3;1), phương trình đường trung tuyến xuất phát từ B là
d x y , phương trình đường cao xuất phát từ A là d2 : 7x2y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh ,A B và tính diện tích của tam giác ABC
Bài 12 Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB: 2x , y 3 0
BC x , điểm (1;2)y M nằm trên đường thẳng AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 13 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 13 , (1; 1), (5; 2)B C , trọng tâm G nằm trên đường thẳng
d x y Tìm tọa độ điểm A
Bài 14 Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng BC : 2x 5y , phương trình đường 3 0
phân giác trong xuất phát từ A là : d x và (3; 0)1 0 M là trung điểm của cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 15 Cho tam giác ABC có M(0;2) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x2y và 63 0 x Viết phương trình đường y 4 0
thẳng AC