HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Thi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐAThi HK1 lớp 10 trắc nghiệm, tự luận có ĐA

O M

C

D

T

R

Chủ Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

CHỦ ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CSLT:

Cho ABC cĩ: – Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c – Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c

– Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – Nửa chu vi tam giác: p

– Diện tích tam giác: S

1 Định lí cơsin

a2b2 c2 2 cosbc A; b2c2a22 cosca B; c2a2b22 cosab C

2 Định lí sin

R

sin sin sin 

3 Độ dài trung tuyến



 2 2 2

2

a

2

b

2

c

m

4 Diện tích tam giác

S = 1ah a 1bh b 1ch c

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

= abc

R

4

= pr

= p p a p b p c(  )(  )(  (cơng thức Hê–rơng), với )

2

a b c

p  

(Nữa chu vi tam giác)

Giải tam giác là tính các cạnh và các gĩc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng (nhắc lại)

Cho ABC vuơng tại A, AH là đường cao

 BC2 AB2AC2 (định lí Pi–ta–go)

 AB2BC BH , AC2BC CH

 AH2BH CH ,

AH2 AB2 AC2

 AH BC AB AC 

 b a sinB a cosC c tanB c cotC; c a sinC a cosB b tanC b cotC

6 Hệ thức lượng trong đường trịn (bổ sung)

Cho đường trịn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

PM/(O) = MA MB MC MD MO uuur uuur uuur uuuur   2R2

 Nếu M ở ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT

PM/(O) = MT2MO2R2

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC BẰNG ĐỊNH LÍ COSIN HOẶC ĐỊNH LÍ SIN

Chủ Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

CSLT:

1 Định lí cơsin (Khi biết độ dài hai cạnh và số đo gĩc giữa hai cạnh đĩ)

a2b2 c2 2 cosbc A; b2c2a22 cosca B; c2a2b22 cosab C

2 Định lí sin (Khi biết số đo hai gĩc và độ dài một cạnh giữa hai gĩc đĩ)

sin sin sin 

Chú ý: Giải tam giác tức là đi tìm độ dài các cạnh và các gĩc cịn lại của tam giác đĩ

Bài 1. Tìm các cạnh và các gĩc cịn lại của tam giác ABC, biết:

a) a6,3;b6,3;� C600 b) b32;c45;� A1200

c) a7;b23;� C300 d) b14;c10;� A440

a) a14;b18;c20 b) a6;b7,3;c4,8

c) a4;b5;c7 d) a2 3;b2 2;c 6 2

Bài 3. Tính độ dài hai cạnh cịn lại của tam giác ABC, biết:

a) c14;� A60 ;0 � B400 b) b4,5;� A30 ;0 � C750

c) c35;� A40 ;0 � C1200 d) a137,5;� B83 ;0 � C570

DẠNG 2: DÙNG CÁC HỆ THỨC LƯỢNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ CƠNG THỨC CSLT: Dùng các hệ thức lượng trong tam giác đã học để thay thế và biển đổi

a) b2c2a b( cosC c cos )B b) b( 2c2)cosA a c ( cosC b cos )B

b) sinAsin cosB Csin cosC Bsin(B C )

c) h a2 sin sinR B C d) m m m a2 b2 c2 3(a2 b2 c2)

4

e) S ABC 1 AB AC2 2 AB AC 2

2

a) Nếu b + c = 2a thì

2  1  1 b) Nếu bc = a 2 thì sin sinB Csin2A h h, b ch a2

Chủ Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

c) A vuơng  m b2m c25m a2

Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là gĩc hợp bởi hai đường chép AC và BD

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi cơng thức: S 1AC BD .sin

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc

a) Chứng minh AH a sin cos ,B B BH a cos ,2B CH a sin2B

b) Từ đĩ suy ra AB2BC BH AH , 2BH HC

a) Tính các cạnh của OAK theo a và 

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và 

c) Từ đĩ tính sin2 , cos2 , tan2   theo sin , cos , tan  

DẠNG 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC KHI BIẾT MỘT ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

a) Nếu a b c b c a(   )(   ) 3bc thì �A600 b) Nếu b c a

a

b c a

2

  thì �A600 c) Nếu cos(A C ) 3cos B  thì �B1 600 d) Nếu b b( 2a2)c a( 2c2) thì �A600

c

2 2

2

   thì ABC cân đỉnh C.

b) Nếu B

A C

sin

2cos sin  thì ABC cân đỉnh B

c) Nếu a2 cosb C thì ABC cân đỉnh A

cos cos sin sin thì ABC vuơng tại A

e) Nếu S2 sin sinR2 B C thì ABC vuơng tại A.

nhau là: b c2 25a2

a) Cĩ a = 5, b = 6, c = 3 Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2.

Chủ Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Tính MK

b) Cĩ cosA 5

9

 , điểm D thuộc cạnh BC sao cho � ABC DAC� , DA = 6, BD 16

3

 Tính chu vi tam giác ABC

DẠNG 4: TÍNH DIỆN TÍCH, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC

CSLT: Dùng các cơng thức liên quan tới bán kính đường trịn ngoại tiếp R và nội tiếp r của tam giác

4

abc S

Bài 14. Cho tam giác ABC cĩ a6;b8;c10

a) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC

Bài 15. Cho ABC cĩ �B900, AQ và CP là các đường cao, SABC  SBPQ.

a) Tính cosB

b) Cho PQ = 2 2 Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ABC

a) Cĩ �B600, R = 2, I là tâm đường trịn nội tiếp Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ACI.

b) Cĩ �A900, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp

BCM

c) Cĩ a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp BCM