Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60 o.. Khi tàu đỗ ở ga.[r]
Trang 1VẤN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I Định lý hàm số cosin
Định lý: Trong tam giác ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
a2 = b2 + c2 -2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ca cosB
c2 = b2 + a2 – 2ab cosC
Hệ quả: Từ các đẳng thức trên ta có:
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh các khẳng định sau:
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2;
b) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2;
c) Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2
Bài 2: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
60o Tàu B chạy với tốc độ 20 hải límột giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí = 1,852 km)
Bài 3: Giải tam giác là gì? Hãy giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) a = 17,4; góc B = 44o30’; góc C = 64o
b) a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47o20’
c) a = 24, b = 13, c = 15
d) góc A = 71o30’, b = 12,9, c = 16,5;
e) c = 37; A = 101o2’; B = 31o38’
Bài 4: Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, c = 23 Tính góc A
Bài 5: a) Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7 Tính AC
b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo
Bài 6: Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 40o cường độ của hai lực đó là 3N và 4N Tính cường độ của lực tổng hợp
Bài 7: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
B 600 1 1 3
Bài 8: Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3 Lấy điểm D đối xứng với B qua C Tính độ dài AD
Bài 9: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi
Trang 2
1 1 1 1
p a p p b p c
II Định lý hàm số sin
Định lý: Trong tam giác ABC, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a2 sin ;R A b2 sin ;R B c2 sin R C
Bài tập áp dụng:
Bài 10: Chứng minh định lý hàm số sin trong tam giác
Bài 11: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6 Chứng minh rằng sinA – 2sinB + sinC = 0
Bài 12: Từ hai vị trí A, B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn
núi Biết rằng độ cao AB = 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang
góc 30o, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15o30’ Hỏi ngọn
núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất (độ dài đoạn thẳng CH trong hình 1)?
Bài 13: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình trang 67) Biết AH = 4m, HB = 20m, góc BAC =
45o Tính chiều cao của cây
Bài 14: Trên nóc một toà nhà có một cột ăng ten cao 5m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có
thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng ten dưới góc 50o và 40o so với phương nằm ngang Tính chiều cao của toà nhà?
Bài 15: Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B Khi tàu đỗ ở ga A qua ống nhòm người đó nhìn
thấy một tháp C Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60o Khi tàu đỗ ở ga
B người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp ngược với hướng đi của tàu một góc 45o Biết rằng đoạn đường AB dài 8 km Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu? (6km)
Bài 16: Hình trang 65 vẽ một hồ nước nằm bởi góc tạo bởi hai con đường Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức
dự đoán khoảng cách từ B đến C lần lượt là 5; 6; 7; 5,5 Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3 km khoảng cách từ A đến C là 4 km góc BAC là 120o Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất
Bài 17: Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC Chứng minh rằng bán kính các đường tròn
ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau
Bài 18: Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân
Bài 19: Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi sin 2
sin cos
A
Bài 20: Chứng minh rằng nếu là góc trong khoảng 0 0
(0 ; 180 ) thì sin 2 2sin cos
III Công thức độ dài đường trung tuyến
Định lý: Trong tam giác ABC, kí hiệu ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B
và C Ta có:
15o30’
A
B
C
H
30o
70
Hình 1
Trang 3
Bài tập áp dụng:
Bài 21: Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 6 Tính độ dài các đường trung tuyến ma, mb, mc lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB của tam giác
Bài 22: Cho hai điểm phân biệt P, Q và PQ = a Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP2 + MQ2 = k2, trong
đó k là số cho trước
Bài 23: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi:
5ma2 = mb2 + mc2
Bài 24: Chứng minh rằng trong tam giác ABC,BM CN b2c2 5a2 (trong đó BM và CN là các đường trung tuyến hạ từ B và C)
Bài 25: Cho tam giác ABC có 3
2
c
m c Chứng minh rằng:
3
2
Bài 26: Cho tam giác ABC có b 1
c
m c
b m Chứng minh rằng:
1
2
IV Công thức tính diện tích tam giác
Công thức:
ABC
4
ABC
ABC
ABC
abc S
R
Trong đó
2
p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp
Bài tập áp dụng:
Trang 4Bài 27: Tính diện tích của tam giác ABC có ba cạnh AB = 13, BC = 14, CA = 15 theo các công thức khác
nhau trong bài trên
Bài 28: Tam giác ABC có b = 6,12, c = 5,35, góc A bằng 84o Tính diện tích tam giác đó
Bài 29: Chứng minh rằng trong tứ giác ABCD, ta có:
S ABCD = 1
2AC.BD sin(AC BD , )
Bài 30: Trong tam giác ABC Chứng minh rằng:
4
S
Bài 31: Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng S =
2R 2 sinA.sinB.sinC
Bài 32: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
p a p b p c
Bài 33: Cho tam giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến lần lượt là m a , m b , m c Chứng minh công thức diện tích tam giác sau:
1