Phần 4.Dùng đa thức phụ.Bài toán 10. Cho đa thức f(x) bậc 4 với các hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãnf(1) = 10,f(2)=20,f(3)=30. Tính Lời giải. Đặt g(x)=f(x)10x g(1)=g(2)=g(3)=0 do bâc f(x) là 4 nên bậc g(x) là 4 và từ g(x) chia hết cho (x1), (x2), (x3) suy ra g(x)=(x1)(x2)(x3)(xx ). Từ đó f(x)=g(x)+10x=(x1)(x2)(x3)(x )+10x.Tính được: =1984+15=1999.Trong lời giải trên có vẻ thiêú tự nhiên ở chỗ đặt đa thức phụ g(x) = f(x)10x.Tại sao lại tìm được đa thức phụ g(x)=f(x)10x như thế? Để trả lời câu hỏi này ta đưa ra thuật toán “ tìm đa thức phụ”Bước 1. Đặt g(x)=f(x)+h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x), đồng thời bậc cuả h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x). Trong đề bài h(x) có bậc nhỏ hơn 3, nghĩa là g(x) = f(x)+ax +bx+c.Bước 2. Tìm a,b,c để g(1)=g(2)=g(3)=0 tức là: Giải hệ này được a=0, b=10, c=0, theo phương pháp hệ số bất định suy ra h(x)=10x hay g(x)=f(x)10x.Bằng phương pháp dùng đa thức phụ như trên, ta có thể giải được các bài toán khác dưới đây.Bài toán 11. Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x là một số nguyên, thỏa mãn f(1999)=2000 và f(2000)=2001. Chứng minh rằng f(2001)f(1998) là hợp số.(Thi vàò chuyên toán ĐHSPHNI,1999).Lời giải. Tìm đa thức phụ.Đặt g(x)=f(x)+ ax+b. tìm a,b để g(1999)=g(2000)=0 tương đương với a,b là nghiệm của hệ giải hệ ta được a=b=1 nên đặt g(x)=f(x)x1.Tính giá trị f(x).Giả sử k Z, k 0 là hệ số của x cuả đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc của g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x1999), (x2000) nên.g(x)=k(x1999)(x2000)(xx ). f(x)=k(x1999)(x2000)(xx )+x+1.Tính được giá trị của f(2001)f(1998)=3(2k+1) là hợp số.
Trang 1BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 Lời giới thiệu.
Những năm gần đây, trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp huyện, thành phố hay có dạng bài toán về đa thức Khi gặp loại toán này các em thường nhanh chóng giải bằng phương pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định để đưa đến việc tìm các hệ số của đa thức vào việc giải hệ phương trình Việc giải hệ phương trình này cũng khá khó khăn khi gặp hệ phương trình 3 , 4 ẩn nhất là đối học sinh lớp 8
Vấn đề đặt ra là : có cách nào xác định nhanh chóng các hệ số của một đa
thức cần tìm hay không ? Bài viết này nhằm trang bị cơ sở cho các em một vài phương pháp giải bài toán về đa thức với các nội dung chính đó là :
+ Định lí Bơ-zu về đa thức:
+Phương pháp hệ số bất định
+ Phương pháp nội suy NEWTON
+ Dùng đa thức phụ
Để giúp cho tất cả học sinh học và thi đạt kết quả tốt, tôi đã nghiên cứu và đưa
ra chuyên đề “ Một số dạng bài tập về đa thức” Về nội dung chuyên đề , sau khi
giới thiệu những phương pháp cơ bản có ví dụ cụ thể, tôi đã giới thiệu các bài tập
có lời giải vận dụng các phương pháp trên
Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên trong việc giảng dạy ở các trường THCS sau này
2 Tên sáng kiến:
“Một số dạng bài tập về đa thức”
3 Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Đỗ Xuân Hoàn – Lê Thị Phú
- Địa chỉ: Trường THCS Tích Sơn-Vĩnh Yên-Vĩnh Phúc
- Số điện thoại 0978023942-Email: Dohoan1976@gmail.com
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Đỗ Xuân Hoàn – Lê Thị Phú Chức vụ: Giáo viên
5 Lĩnh vức áp dụng sáng kiến:
Bộ môn toán lớp 8 và lớp 9 trong trường THCS
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoạc dùng thử:
Ngày 25 tháng 9 năm 2016
7 Mô tả bản chất sáng kiến.
7.1 Về nội dung sáng kiến.
7.1.1 Cơ sở lý luận:
1
Trang 2Để nghiờn cứu đề tài này tụi căn cứ vào một số cơ sở lý luận sau:
- Học sinh cũn lỳng tỳng khi giải bài toỏn về đa thức
- Đề thi học sinh giỏi thường cú bài tập về đa thức và học sinh cũn chưa tỡm
ra cỏch giải
-Trong chuyờn đề được đưa ra một số dạng bài toỏn về đa thức thường gặp trong chương trỡnh toỏn lớp 8 và lớp 9 và thi học sinh giỏi.Trang bị cho học sinh một số dạng bài giải cơ bản áp dụng để làm bài tập
Chọn lọc một số bài tập hay gặp phự hợp cho từng phương phỏp giải, cỏch biến đổi
Tụi hi vọng đề tài này sẽ giỳp ớch cho học sinh ở trờng THCS trong việc học
và giải bài tập về đa thức Qua đú cỏc em cú phương phỏp giải đỳng, trỏnh được tỡnh trạng định hướng giải bài toỏn sai hoặc cũn lỳng tỳng trong việc trỡnh bày lời giải, giỳp học sinh làm việc tớch cực hơn đạt kết quả cao
7.1.2 Cơ sở khoa học
Để thực hiện đề tài này tụi sử dụng một số kiến thức sau:
a Một số khỏi niệm cơ bản :
- Đa thức
Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đú
V
ớ d ụ :
Biểu thức: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x
Biểu thức: g(y) = 7y2+ 3y - 6 là một đa thức của biến (ẩn) y
Biểu thức: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 là một đa thức của hai biến (ẩn) x và y
b Định lý Bơ - zu và ứng dụng
- Định lý Bơ-zu :
Phần dư của phộp chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a bằng giỏ trị của
đa thức tại điểm a tức là f(a)
Chứng minh :
Gọi phần dư của phộp chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là r(x)
Do bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia nờn r(x) là một hằng số r và ta
cú :
f(x) = (x - a ) q(x) + r
Thay x = a ta được : f(a) = ( a - a ) q(a) + r ị f(a) = r ( đpcm )
- Hệ quả :
Nếu a là nghiệm của f(x) thỡ f(x) M ( x -a )
c Phương phỏp hệ số bất định
Theo định nghĩa hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau nếu chỳng nhận giỏ trị bằng nhau tại mọi giỏ trị của biến x Rừ ràng nếu f(x) và g(x) cú cựng bậc và với mỗi
Trang 3các hệ số của x tương ứng bằng nhau thì f(x) bằng g(x) Người ta đã chứng minh điều ngược lại cũng đúng
Cụ thể : f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x1 + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b1x1 + b0
f(x) = g(x) ai = bi với i = o n
d Phương pháp nội suy NEWTON
Trong bộ môn phương pháp tính - Toán cao cấp - có một phương pháp xác định nhanh các hệ số của một đa thức đó là phương pháp nội suy NEWTON
Nội dung chính của phương pháp nội suy NEWTON đó là :
Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n+1 điểm
C 1 ,C 2 , , C n+1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
P(x)= b 0 + b 1 (x - C 1 )+ b 2 (x - C 1 )(x - C 2 ) + + b n (x -C 1 )(x -C 2 ) (x - C n )
Bằng cách thế x lần lượt các giá trị C 1 , C 2 , , C n+1 vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b 0 , b 1 , , b n
Ở đây ta không diễn giải việc tìm tòi chứng minh phương pháp trên mà hãy vận dụng để giải bài toán xác định một đa thức
7.1.3 Thực trạng vấn đề nghiên cứu
a.Thực trạng.
Qua gần gũi tìm hiểu thì các em học sinh cho biết cũng rất muốn học môn toán, xong nhiều em chưa biết cách tư duy sáng tạo trong việc biến đổi đa thức, giải phương trình, tìm đa thức, khai thác bài toán
b Nguyên nhân.
Về giáo viên
Chưa khai thác hết các cách xác định đa thức,các dạng toán về đa thức cho học sinh
Về học sinh
Kỹ năng thực hiện các phép tính về đa thức còn chậm
Áp dụng các phương pháp và các dạng toán về đa thức còn chậm
7.1.4 Các giải pháp thực hiện
Phần 1 : Định lý Bơ - zu và ứng dụng
Bài toán 1 :
Tìm a , b để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 dư -6 và chia cho x-2 dư 21
Lời giải :
Đặt f(x) = 2x3+ax+b Theo định lý Bơ-zu ta có :
f(x):(x+1) dư -6 f(-1) =-6 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 -a+b = -4
f(x): (x-2) dư 21 f(2) = 21 2.23 + a.2 + b = 21 2a +b = 5
Để tìm a , b ta giải hệ phương trình sau :
3
1
3 3
4 9
3
4 5
2
4
b
a a
b a a
b a b
a b a
Trang 4Vậy đa thức cần tìm là f(x) = 2x3+3x-1
Bài toán 2:
Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 , khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm số dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)
Lời giải:
Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) dư 4 f(-1) = 4
Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức dư có bâc nhỏ hơn 3 Vì thế ,đa thức dư có dạng ax2 + bx + c Theo định nghĩa phép chia còn dư ta có :
f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c
= (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c
= (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a
= [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a
Mà f(x) : (x2 + 1) dư 2x + 3 Vậy ta phải có :
Vậy đa thức dư cần tìm là :
Bài toán 3 :
Cho đa thức A(x) = x4 + ax2 + b
a Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A(x) biết A(x) chia hết cho đa thức
B(x) = x2 - 3x + 2
b Xác định thương trong phép chia trên
Lời giải :
a Ta có : B(x) = x2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) Theo định lý Bơ-zu , ta có :
Vậy đa thức A = x4 - 5x2 + 4 b)
b Để tìm thương trong phép chia trên, ta đặt phép chia A(x) :B(x):
Thương của phép chia A cho B là x2 + 3x + 2
Nhận xét : Qua 3 bài toán ta có thể rút ra một lời nhận xét: Khi sử dụng định lý
Bơ-zu giúp ta giải quyết nhanh việc tìm hệ số của đa thức cần tìm Thông thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc tìm hệ số của đa thức về việc giải hệ phương trình 2, 3
4
5 16
4
1 0
2 2
0 1
1 0
0
2 4
2 4
) 2 (
) 1 (
b
a b
a
b a b
a
b a
A
A B
AM
2 3 2 9 2
6 3 2 4
3 2
a c b
c a
a c b c
b a
a c b
2
9 2 2
3 2
x x
Trang 5ẩn Đối với hệ phương trình 3 ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ
bằng phương pháp Gau-xơ Thông qua việc giải dạy trực tiếp của mình, tôi nhận
thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt và giải quyết tốt một số bài toán như xác định hệ
số của đa thức biết số dư khi chia cho một đa thức khác hay tìm số dư trong phép chia đa thức cho đa thức
Phần 2 : Phương pháp hệ số bất định
Bài toán 4 :
Xác định a , b để đa thức ax3 + 12x2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác
Lời giải:
Vì đa thức ax3 + 12x2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác , nên bậc của đa thức cần tìm phải là bậc nhất Hay đa thức cần tìm có dạng: mx + n
Theo bài ra ta có :
ax3 + 12x2 + bx + 1 = ( mx + n )3
= m3x3 + 3m2x2n + 3mxn2 + n3
Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có :
2
3
2 8 6
2
8 1
1
6
m
b
m
a n
n
b
Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện bài toán đó là :
8x3 + 12x2 + 6x2 + 1 = (2x + 1)3
hoặc - 8x3 + 12x2 - 6x2 + 1 = (-2x + 1)3
Bài toán 5 :
Tìm các số a , b , c để x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c)
Lời giải:
Theo bài ra ta có :
x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c)
= (x2 - bx - ax + ab)(x - c)
= x3 - bx2 - ax2 + abx - cx2 + bcx + acx - abc
= x3 - (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x - abc
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có :
5
abc c
bc b
c b abc
c
bc c b a b
c b abc
c
ca bc ab b
c b a
) ( 0
Trang 6Do b = bc nên b(1 - c) = 0 vậy có hai trường hợp xảy ra :
- Nếu b = 0 thì c = 0 và a là tuỳ ý
- Nếu b ¹ 0 thì c = 1 và a = -1 ; b = -1
Bài toán 6 :
Cho đa thức A = ax3 + 6x2 + bx – 10
a Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A, biết A chia hết cho đa thức B= x2 - 3x+ 2
b Xác định thương trong phép chia trên
Lời giải :
a Do bậc của đa thức A là 3 và bậc của đa thức B là 2 nên bậc của đa thức thương
phải là bậc nhất và có dạng : mx + n
Theo bài ra ta có :
AM B ax3 + 6x2 + bx - 10 = (x2 - 3x + 2)(mx + n)
= mx3 + nx2 - 3mx2 - 3nx + 2mx + 2n
= mx3 + ( n -3m ) x2 + (2m -3n ) x + 2n
Dùng phương pháp hệ số bất định,ta phải có :
5
2 3 3
1 1 3 11 5
15 2 3 5 6 2
10
3
2
3
6
n m a
n m b
m m a
n
n m
b
n
m
a
Vậy đa thức cần tìm là: A = 10
3
23 6
3
11 3 2
x x
x
b Đa thức thương trong phép chia A cho B là : 5
3
11
x
Nhận xét: Đây là phương pháp khá “chủ lực” của học sinh lới 8 khi giải quyết bài
toán xác định một đa thức Cần lưu ý về sự “cân bằng” bậc của đa thức và giải hệ phương trình
Phần 3 : Phương pháp nội suy NEWTON
Bài toán 7 :
Tìm một đa thức bậc 3 , P(x) biết : P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = 4 ; P(3) = 1
Lời giải :
Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 0 , P(0) = d , suy ra d = 10
P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 1 , P(1) = 10 + c , suy ra c = 2
P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 2 , P(2) = 10 + 4 + 2b , suy ra b = -5
P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 3 , P(3) = 10 + 6 - 30 + 6a , suy ra a = 5/2
P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 x(x-1)(x-2)
Rút gọn ta được đa thức cần tìm là :
10 12 2
25 2
5 )
x P
Trang 7Bài toán 8 :
Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn : P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1)
a Xác định P(x)
b Suy ra giá trị của tổng sau đây (n là số nguyên dương)
S = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n+1)(n+2)
Lời giải :
a.Cho x = 0 ,Suy ra P(0) - P(-1) = 0 mà P(-1) =0 , vậy P(0) = 0
Cho x lần lượt các giá trị x = -1 ; x = 1 ; x = 2 , ta nhận được
P(-1) = 0Þ P(-2)=0 ;P(1) = 6 ; P(2) = 36
Đặt P(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)
Cho x = -2 , P(-2) = e , suy ra e = 0
Cho x = -1 , P(-1) = d , suy ra d = 0
Cho x = 0 , P(0) = 2c , suy ra c = 0
Vậy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)
Cho x = 1 , P(1) = 6b , vậy b = 1
Cho x = 2 , P(2) = 24 + 24a = 36 vậy a = 1/2
Đa thức cần tìm là : P(x)= .( 1 ) ( 2 )
2
x x
x
b Theo bài ra : P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1)
Cho x = 1 ; 2 ; ; n ta có : P(1) - P(0) = 1.2.3
P(2) - P(1) = 2.3.4
P(n) - P(n-1) = n(n+1)(n+2)
Cộng vế với vế ta được : P(n) - P(0) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2)
Do đó S = P(n) = .( 1 ) ( 2 )
2
n n
n
Bài toán 9 :
Xác định đa thức bậc 3 f(x) thoả mãn f(x) - f(x-1) = x2
Từ đó suy ra công thức tính tổng S = 12 + 22 + + n2
Lời giải :
Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 0 , suy ra f(0) = d
Cho x = 1 , suy ra f(1) = d+c vì f(1) - f(0) = 1 nên (d+c)-d = 1Þ c = 1
Khi đó f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 2, suy ra f(2) = d+2+2b vì f(2) - f(1) = 4 nên (d+2+2b)-(d+1) = 4Þ b = 3/2 Khi đó f(x) = d+x+3/2 x(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 3 , suy ra f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a vì f(3) - f(2) = 9
nên (d+12+6a)-(d+5) = 9 Þ a = 1/3
Theo bài ra ta có :f(x) - f(x-1) = x2
7
Trang 8Khi đó f(x)=d+x+3
2x(x-1)+1
3x(x-10(x-2)= 1
3x3+1
2x2+1
6x+d (d R ) Cho x = 1 , 2 , , n ta được f(1) - f(0) = 12
f(2) - f(1) = 22
.
f(n) - f(n-1) = n2
Cộng vế với vế ta sẽ được : f(n) - f(0) = 12 + 22 + +n2
Vì f(0)=d
Nhận xét : Phương pháp nội suy NewTơn khá hay trong bài toán xác đa thức Nhờ
phương pháp đặt “khéo léo” f(x) khi tính giá trị tại các điểm mà ta nhẩm được thuận tiện, giúp ta nhanh chóng trong việc xác định các hệ số của đa thức
Phần 4.Dùng đa thức phụ.
Bài toán 10 Cho đa thức f(x) bậc 4 với các hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn
f(1) = 10,f(2)=20,f(3)=30 Tính 15
10
) 8 ( ) 12 (
f f
Lời giải
Đặt g(x)=f(x)-10xÞ g(1)=g(2)=g(3)=0 do bâc f(x) là 4 nên bậc g(x) là 4 và từ g(x) chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3) suy ra g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-x0)
Từ đó f(x)=g(x)+10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-x0)+10x
Tính được:
15 10
) 8 ( )
12
(
f
f
=1984+15=1999
Trong lời giải trên có vẻ thiêú tự nhiên ở chỗ đặt đa thức phụ g(x) = f(x)-10x Tại sao lại tìm được đa thức phụ g(x)=f(x)-10x như thế? Để trả lời câu hỏi này ta
đưa ra thuật toán “ tìm đa thức phụ”
Bước 1 Đặt g(x)=f(x)+h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
f(x), đồng thời bậc cuả h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x) Trong đề bài h(x)
có bậc nhỏ hơn 3, nghĩa là g(x) = f(x)+ax2 +bx+c
Bước 2 Tìm a,b,c để g(1)=g(2)=g(3)=0 tức là:
c b a
c b a
c b a
3 9
30
0
2 4
20
0
10
0
Giải hệ này được a=0, b=-10, c=0, theo phương pháp hệ số bất định suy ra
h(x)=-10x hay g(x)=f(x)-10x
Bằng phương pháp dùng đa thức phụ như trên, ta có thể giải được các bài toán khác dưới đây
6
1 2 1
6
3 2 6
1 2
1 3
2 3
n n n S
n n n d d n n n S ra
Suy
Trang 9Băi toân 11 Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 lă một số nguyín, thỏa mên f(1999)=2000 vă f(2000)=2001 Chứng minh rằng f(2001)-f(1998) lă hợp số
(Thi vằ chuyín toân ĐHSPHNI,1999)
Lời giải
-Tìm đa thức phụ
Đặt g(x)=f(x)+ ax+b tìm a,b để g(1999)=g(2000)=0 tương đương với a,b lă nghiệm của hệ
b a b a
2000 2001
0
1999 2000
0
giải hệ ta được a=b=-1 nín đặt g(x)=f(x)-x-1
-Tính giâ trị f(x)
Giả sử kZ, k ¹ 0 lă hệ số của x3 cuả đa thức f(x) Do bậc của f(x) bằng 3 nín bậc của g(x) bằng 3 vă g(x) chia hết cho (x-1999), (x-2000) nín
g(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0)
Þ f(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x0)+x+1
Tính được giâ trị của f(2001)-f(1998)=3(2k+1) lă hợp số
Băi toân 12 Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất lă 1 vă thỏa mên
f(1)=3; f(3)=11; f(5)=27 Tính giâ trị của f(-2)+7f(6)
Lời giải
-Tìm đa thức phụ
Đặt g(x)=f(x)+ ax2 +bx+c Tìm a,b,c để g(1)=g(3)=g(5)=0 a,b,c lă nghiệm của hệ:
c b a
c b a
c b a
5 25
27
0
3 9
11
0
3
0
Giải hệ ta được a=-1, b=0, c=-2 nín đặt g(x)=f(x)-x2-2
-Tính giâ trị f(x)
Bậc f(x) lă bậc 4 nín bậc g(x) = 4 vă g(x) chia hết cho (x-1), (x-3), (x-5) nín
g(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-x0)
Þ f(x) =(x-1)(x-3)(x-5)(x-x0)+x2+2
Tính được f(-2)+7f(6)=1112
Băi toân13 Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết f(0)=10, f(1)=12, f(2)=4, f(3)=1.
Lời giải
-Tìm đa thức phụ
Đặt g(x)=f(x) +ax2 +bx+c Tìm a,b, c để g(0)=g(1)=g(2)=0 a, b, c lă nghiệm của hệ phương trình
c b a
c b a c
2 4
4 0 12 0
10 0
Giải hệ ta được: a=5, b=-7, c=-10 nín đặt g(x)=f(x)=5x2 -7x-10 với g(0)=g(1)=g(2)=0
-Xâc định f(x)
Do bậc f(x) bằng 3 nín bậc g(x) bằng 3 vă g(x) chia hết cho x, (x-1),(x-2)
9
Trang 10Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x)=mx(x-1)(x-2).
Þ f(x)=mx(x-1)(x-2)-5x2+7x+10
Mặt khác theo giả thiết f(3)=1Þ m=
2 5
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = 12 10
2
25 2
5 3 2
x
Bµi to¸n 14 :Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x-1), (x-2),
(x-3) đều được dư là 6 và f(-1)= -18
Lời giải.
-Tìm đa thức phụ
The định lí Bơ-zu ta có f(1)=f(2)=f(3)=6
Đặt g(x)=f(x)+ ax2 +bx+c Ta tìm a,b,c là nghiệm của hệ phương trình
c b a
c b a
c b a
3 9
6
0
2 4
6
0
6
0
Giải hệ này ta được a=b=0, c=-6 nên đặt g(x)=f(x)-6 với g(1)=g(2)=g(3)=0
-Xác định f(x)
Do bậc f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3)
suy ra g(x) =m(x-1)(x-2)(x-3) do đó n là hệ số của x3của đa thức f(x)
Þ f(x)=m(x-1)(x-2)(x-3)+6
Mặt khác f(-1)=-18 Þ m=1
Þ f(x)=x3-6x2+11x
Bài tập.
Bài 1 Tìm đa thức f(x) bậc hai biết f(0)=19, f(1)=5, f(2)=1995
Bài 2 Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết f(0)=2, f(1)=9, f(2)=19, f(3)=95
7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến :
- Sáng kiến áp dụng trong các tiết dạy toán ở lớp 8 và lớp 9 và trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi và đại trà
8 Những thông tin bảo mật: không
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.
- Giáo viên cần linh hoạt trong việc áp dụng sáng kiến
- Máy tính, máy chiếu, phiếu học tập
10 Đánh giá lợi ích thu được.
- Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Đa số học sinh hình thành được kỹ năng tìm đa thức và giải các bài tập về đa thức
- Kết quả cụ thể khi dạy lớp 8D,8E