SKKN sử DỤNG kết QUẢ một bài TOÁN HÌNH học 11 để HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI một số bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Trong chương trình Toán THPT hiện hành, hình học không gian là mảng kiến thức khá dài, xuyên suốt chương trình hình học lớp 11 và kéo dài ba trong số bốn chương của lớp 12. Tính chất đặc trưng của hình học không gian là mô tả một khối hình trong không gian trên một mặt phẳng mà vẫn đảm bảo được các mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Chính vì tính chất đó mà nó đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy trừu tượng rất tốt mới có thể giải được toán hình không gian, đặc biệt là các bài toán khoảng cách. Khoảng cách là bài học cuối cùng của chương trình hình học lớp 11 nhưng nó có sự liên quan chặt chẽ trong các bài toán hình học không gian lớp 12 và xa hơn là sự xuất hiện các bài toán tính khoảng cách trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Do đó, nếu học tốt các bài toán khoảng cách sẽ là tiền đề vững chắc để các em giải thành thạo các bài toán hình học 12. Qua một thời gian giảng dạy môn toán lớp 11, phần Hình học không gian các em có kết quả không cao, mắc khá nhiều lỗi trong từ vẽ hình và giải toán. Thậm chí là các em thấy “sợ” học hình học không gian. Chính vì thế, giúp các em định hướng cách giải các bài toán hình học không gian nói chung và các bài toán khoảng cách nói riêng luôn là mục tiêu mà tôi quan tâm. Và nhiều khi các bài toán này trở nên đơn giản nếu biết biến đổi về một bài toán mà ta đã biết.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 11 ĐỂ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Trịnh Thanh Tùng Chức vụ: Giáo viên.

SKKN thuộc môn Toán

THANH HOÁ, NĂM 2015

có thể giải được toán hình không gian, đặc biệt là các bài toán khoảng cách Khoảng cách là bài học cuối cùng của chương trình hình học lớp 11nhưng nó có sự liên quan chặt chẽ trong các bài toán hình học không gian lớp

12 và xa hơn là sự xuất hiện các bài toán tính khoảng cách trong các đề thituyển sinh Đại học – Cao đẳng Do đó, nếu học tốt các bài toán khoảng cách

sẽ là tiền đề vững chắc để các em giải thành thạo các bài toán hình học 12 Qua một thời gian giảng dạy môn toán lớp 11, phần Hình học khônggian các em có kết quả không cao, mắc khá nhiều lỗi trong từ vẽ hình và giảitoán Thậm chí là các em thấy “sợ” học hình học không gian Chính vì thế,giúp các em định hướng cách giải các bài toán hình học không gian nói chung

và các bài toán khoảng cách nói riêng luôn là mục tiêu mà tôi quan tâm Vànhiều khi các bài toán này trở nên đơn giản nếu biết biến đổi về một bài toán

mà ta đã biết

Từ kinh nghiệm thực tế trong giảng dạy và sự đóng góp của các đồngnghiệp trong tổ chuyên môn của trường THPT Vĩnh Lộc, tôi mạnh dạn đưa ra

sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng kết quả một bài toán hình học 11 để giải

một số bài toán tính khoảng cách trong không gian” nhằm nâng cao hiệu

qủa dạy học phần Hình học không gian tổng hợp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Cở sở lý luận.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau là hai dạng khoảng cách trọng tâm của hình họckhông gian Xác định và tính toán hai dạng khoảng cách luôn là vấn đề khóđối với học sinh

Ngoài cách làm mà học sinh đã quen thuộc, qua các bài toán khoảngcách được phát triển từ kết quả của một bài toán trong bài Đường thẳng vuônggóc với mặt phẳng, hi vọng giúp học sinh cách nhìn thật dễ dàng về các bàitoán khoảng cách đồng thời giúp học sinh dần thoát khỏi nỗi “sợ” Hình họckhông gian và cảm thấy có hứng thú hơn với môn học “tưởng tượng” này

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

Đề tài này được thực hiện trong phạm vi hai lớp 11B5, 11B7 của

trường THPT Thường xuân 2 Tôi đã yêu cầu học sinh làm hai bài toán nhưsau, đây là hai dạng toán học sinh hay gặp trong chương trình Sau khi có kếtquả, tôi đưa ra những nhận xét về tình trạng chung khi giải toán của học sinh:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,

tâm O, có SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Tính khoảng cách từ O đếnmặt phẳng (SCD)

Nhận xét:

- Với bài toán 1: Cách giải thông

thường nhất là xác định mặt phẳng

chứa điểm O, vuông góc và cắt mặt

phẳng (SCD) theo giao tuyến ,

xác định hình chiếu của O trên và

tìm hiểu H có mối liên hệ như thế

nào với tam giác SCD Từ đó, tính

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có

cạnh SA =h và SA(ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

a) SB và AD b) AB và SC

Nhận xét:

Đối với câu a: Việc xác định đường

vuông góc chung của SB và AD là khó

khăn, do đó để tính khoảng cách dựa

vào mối quan hệ song song của SD và

Đối với câu b: Dùng cách xác định đường vuông góc chung EF như sau:

- Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, từ A kẻ AK vuông góc với SDtại K, qua K dường thẳng song song với CD cắt SC tại E, từ E kẻ đường thẳngsong song với AK và cắt AB tại F Chứng minh: EF là đường vuông gócchung của SC và AB và EF = AK Tính AK

Đối với bài toán 1

- Việc xác định được mặt phẳng chứa điểm O, vuông góc và cắt mặtphẳng (SCD) theo giao tuyến  rất khó đối với học sinh

- Việc tìm mối liên hệ giữa điểm H và tam giác SCD không dễ dàng,

do đó việc tính toán gặp nhiều khó khăn

Đối với bài toán 2, trong cả hai trường hợp, tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau khá dài và việc dựng thêm điểm, đường là cách làmkhó đối với học sinh

Chính vì phải tư duy trừu tượng trong việc xác định điểm, đường và việctính toán phức tạp đã khiến học sinh thấy “ngán ” hình học không gian

III Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Trong sáng kiến này, tôi đưa ra một cách làm khác dễ dàng hơn đối với

học sinh: Sử dụng kết quả Bài tập 4 - §3: Đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng, tôi đặt tên là bài toán gốc, phát triển từ bài toán gốc ra ba bài toán

khoảng cách cơ bản mà việc vận dụng các bài toán này có thể giải quyết nhiềubài toán khoảng cách và khắc phục được các nhược điểm khi giải toán khoảngcách theo những cách thông thường mà học sinh đã làm giống như hai bàitoán trên đây Ta tìm hiểu bài toán gốc và các bài toán được phát triển từ bàitoán gốc

1 Các bài toán:

Bài toán gốc (Bài tập 4 - § 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi

H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng(ABC) Chứng minh rằng:a) H là trực tâm của tam giác ABC

Vậy: H là trực tâm của tam giác ABC

b) Ta thấy: OK là hình chiếu của AK trên (OBC) mà AK BC nên OKBC

Nhận xét 1: Từ bài toán trên và sau khi học xong bài khoảng cách thì ta

nhận thấy ngay rằng OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Do đó,bài toán trên được phát biểu thành một bài toán khác về cách tính khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng như sau:

Bài toán 1: Cho tứ diện OABC có

ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông

Nhận xét 2: Ta có thể khái quát bài toán 1 bằng cách thay giả thiết ba cạnh

OA, OB, OC đôi một vuông góc bằng giả thiết hai trong cặp đó vuông góc

Ta có bài toán 2 như sau:

Bài toán 2: Cho tứ diện OABC có OA

(OBC) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu

vuông góc của O trên BC và AK Chứng

mặt phẳng(ABC) nên OH (ABC) tại H Nối A với H cắt BC tại K

Do OH(ABC) nên OH BC

Nhận xét 3: Bằng cách thay giả thiết tam giác OBC vuông ở O bằng giả thiết

tam giác OBC vuông ở B hoặc C, ta có bài toán 3 và 4 như sau:

Bài toán 3: Cho tứ diện OABC có

đáy là tam giác OBC vuông tại C và

OA (OBC) Gọi H là hình chiếu

vuông góc của O trên AB Chứng

Từ bài toán 2, ta suy ra:

Nếu tam giác OBC vuông ở B

(hoặc C) thì K trùng với B (hoặc C)

Do đó: H nằm trên AB (hoặc AC)

Bài toán 4: Cho tứ diện OABC có đáy là

tam giác OBC vuông tại B và OA (OBC) Gọi H là hình chiếu vuông góccủa O trên AC Chứng minh rằng: OH làkhoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Tam giác OBC vuông tại C

Chú ý: Nếu hai điểm A và B nằm ngoài ( ) và đường thẳng AB cắt () tại

O thì d A d B( , ( ))( , ( )) OB OA

  hoặc d B d A( , ( ))( , ( )) OB OA

 

Các bài toán trên vận dụng trong dạng toán:

- Dạng 1: Tính khoảng cách từ một đỉnh đến một mặt phẳng của tứ diện

có giả thiết giống các bài toán trên

- Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cáchtính khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đườngthẳng kia, và việc tính toán này quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặtphẳng ở dạng 1

Sau đây, ta lần lượt vận dụng để giải một số bài toán tính khoảng cách:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O,

SA  (ABCD) và SA = a 2 Tính khoảng cách từ O đến (SCD)

Phân tích:

Việc xác định trực tiếp hình chiếu H của O trên (SCD) tương đối khó Ta

thay đổi tên gọi mặt phẳng để tạo ra tứ diện đỉnh vuông tại O Lấy I là trungđiểm của SC thì OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI//SA Dođó: OI (OCD)

Ta thấy: Tứ diện OIDC có OI, OC, OD đôi

một vuông góc nên theo bài toán 1: d(O,

(SCD))=D(O,(ICD))=d(O,IK)=OH với K là

hình chiếu của O trên CD và H là hình

chiếu của O trên IK

Bài giải:

Gọi I là trung điểm của SC thì OI là

đường trung bình của tam giác SAC nên

OI//SA và OI =

2

2 2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh

SA = h và SA(ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

a) SB và AD b) AB và SC

Bài giải:

a) Do AD // BC nên AD // (SBC)

Ta có: d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))

Tứ diện S.ABC có SA(ABC) và tam giác ABC vuông tại B, theo bài toán 3:d(A,(SBC)) = AH, H là hình chiếu của A trên SB và

Ta có: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))

= d(A,(SCD))

Tứ diện S.ACD có SA(ACD) và đáy

là tam giác ACD vuông tại D, theo bài

toán 4: d(A,(SCD)) = AK, K là hình

chiếu của A trên SD và

Ta thấy: Tứ diện AA’BD có

AA’, AB, AD đôi một vuông góc

với nhau nên d(A,(A’BD)) = AH

với H là hình chiếu vuông góc của

A trên A’O và tính theo bài toán 1

B'

C'

C B

D'

D A

A'

O H

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có: AOBD Tứ diện AA’BD có AA’, AB, AD đôi một vuông góc với nhau nên áp dụng bài toán 1 ta có: d(A,(A’BD)) = AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên A’O và

3

3 3

'

3 1

1 '

1

1

2 2 2

2 2

2

a AH a

AA AD

AB AA

AH       

Vậy: d(A,(A’BD)) =

3 3

a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ABCD cạnh a và

có góc BAD=600 Gọi O là giao điểm của AC và BD Đường thẳng SO

(ABCD) và SO=3a4 Gọi E là trung điểm của à F là trung điểm của BE

2 2 2

a OB

AB    

Ta thấy: Tứ diện S.OBC có OB, OS, OC đôi

một vuông góc với nhau nên theo bài toán 1,

d(O,(SCD)) = OH với H là hình chiếu của O

E F H

3 9

64 3

4 4 9 16 4 3 1 4

1 16 9

1 1 1 1

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a OH a

a a a a a a OD OC

OS

OH            

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C nên 2

)) ( , (

)) ( , (





OC

AC SBC

O d

SBC A d

 d(A,(SBC))= 2d(O,(SBC))=3a4

Vậy: d(A,(SBC))= 3a4 và d(O,(SBC))=3a8

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh

SA =h và SA(ABCD) Ttính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

a) SB và AD b) AB và SC

Bài giải:

a) Do AD // BC nên AD // (SBC) chứa SB nên d(AD, SB) = d(AD,(SBC))

= d(A,(SBC))

Ta thấy: Tứ diện S.ABC có SA(ABC)

và có đáy là tam giác ABC vuông tại B

nên theo bài toán 3: d(A.(SBC)) = AH,

với H là hình chiếu của A trên SB và

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

h a

ah

AH

h a

h a a h AB SA

Ta thấy: Tứ diện S.ACD có SA(ACD) và có đáy là tam giác ACD vuông tại

D nên theo bài toán 3: d(A,(SCD)) = AK, với K là hình chiếu của A trên SD

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

1

h a

ah AK

h a

h a a h AD SA

Bài 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA=OB=OC =a Gọi I là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa haiđường thẳng AI và OC

Bài giải:

Qua I kẻ đường thẳng song song vói

OC cắt OB tại K Khi đó: K là trung điểm

của OB nên IK OBvà OK=

2

a

Do OC // IK nên OC // (AIK) chứa AI nên

d(OC, AI) = d(OC,(AIK)) = d(O,(AIK))

Tứ diện OAIK có OA(OIK) và đáy là

tam giác OIK vuông tại K, theo bài toán 3,

B

A

I K

H

d(O,(AIK)) = OH, với H là hình chiếu của O trên AK và

5 5

4

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

a OH a

a a OK OA

Vậy: d(O,(AIK)) =

5

5

a

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, có cạnh

AB=a cạnh a Đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy (ABCD)

và SO = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB

Tứ diện OSCD có OS, OC, OD đôi

một vuông góc nên theo bài toán 1:

d(O,(SCD)) = OH, H là hình chiếu

của O trên SK và K là hình chiếu của

Ta có: OC = OD =

2

2 2

2

a BC AB

AC   

5 2

a OH a

OH OS OC OD OS OC a  a  

2 5 ( ,( ))

Bài 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B,AB=BC = a, AD =2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =a 2 Gọi H làhình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông

và tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

và EB= BA = a=BC Do đó tam giác ACE

vuông tại C và AC = AB2 BC2 a 2

Vì (( ,,(( )))) 12

AE

BE SCD

SB

SH SCD

Bài 9: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008).

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC

=a, cạnh bên AA’ =a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cáchgiữa hai đường thẳng AM và B’C

Bài giải:

Gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là

đường trung bình của tam giác BB’C nên

MN // B’C  B’C // (AMN) Do đó: d(B’C,AM)

= d(B’C,(AMN))=d(B’,(AMN))

Mặt khác:

)) (

, ( )) (

, ' ( 1

' ))

d AMN B

d NB

NB AMN

Tứ diện B.AMN có BA, BM, BN đôi một vuông

góc nên theo bài toán 1,

B'

B

C'

C A

A'

M N

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

7 4 2 1 ) 2 (

1 ) 2

2 (

1 1

1 1

1 )))

a BM BN

BA AMN

B

7

7 ))

3 Các bài tập đề nghị:

Nhằm củng cố lại sáng kiến đã trình bày trong đề tài, tôi đã sưu tầm vàđưa ra một số bài tập cho học sinh luyện tập, kèm theo là đáp án để các em sosánh

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Các

cạnh bên SA=SB=SC=SD=a 2 Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD vàBC

a) Chứng minh rằng: (SIK) vuông góc với (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a,

có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC=7a

a) Tính góc giữa SA và BC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Mặt bên

SAB là tam giac cân tại đỉnh S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc  Tính:

a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD

b) Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SCD)

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, góc A=1200, BD

= a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy là

600 Tính:

a) Đường cao của hình chóp

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,

CA=b, CB=a, cạnh SA = h và SA (ABC) Gọi D là trung điểm của AB.Tính:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD

Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA =

AB = BC = a và SA  (ABC).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và

SB

Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD Tam

giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = CD = 2a, SA = SB = SC = a 2.Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,

SA= 6

2

a và SA  (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC) theo a

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

đường tròn đường kính AD = 2a, các mặt bên (SAD ) và (SAB ) vuông gócvới đáy, SC tại với đáy một góc 450 Tính khảng cách giữa hai đường thăng

AD và SB

Bài 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB= BC = 2a, AA’ = a.

Gọi M là trung điểm của AD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

Kết quả ban đầu và kết quả kiểm tra khảo sát được thể hiện trong bảngsau:

3) Là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 26 tháng 04 năm 2015

Tôi xin cam đoan đây là SSKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Người thực hiện

(Ký, ghi rõ họ tên)

Trịnh Thanh Tùng

PHỤ LỤC SÁCH THAM KHẢO

1) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Cơ bản

2) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Nâng cao

3) Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng từ năm 2007 đến 2013.4) Hình học không gian – Chủ biên: Trần Văn Hạo- NXB GD VN.5) Báo Toán học và Tuổi trẻ