Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ

Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -HOÀNG THANH NGA

BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC

Mục lục

Một số ký hiệu 2

Lời nói đầu 3

1 Cơ sở toán học 5 1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 5

1.1.1 Bài toán ổn định 5

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 7

1.1.3 Bài toán ổn định hóa 8

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ 9

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 9

1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ 10

1.3 Bài toán điều khiển tối ưu 11

1.3.1 Một số bài toán tối ưu đặc biệt 12

1.3.2 Bài toán tối ưu toàn phương tuyến tính 13

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 14

2 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu 15 2.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính 15

2.2 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu hệ tuyến tính có trễ 18 3 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi 24 3.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi 24

3.2 Ví dụ 36

Tài liệu tham khảo 40

Lời nói đầu

Lý thuyết điều khiển tối ưu ra đời vào cuối những năm 50 của thế kỉ haimươi Trải qua quá trình phát triển mạnh mẽ nó đã thu được nhiều thành tựurực rỡ Ngày nay, các bài toán điều khiển tối ưu có tầm quan trọng đặc biệt,thu hút sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học Lý thuyết điều khiểntối ưu đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học, cónhiều ứng dụng to lớn trong đời sống kinh tế, khoa học và kĩ thuật

Phát triển từ bài toán tối ưu hóa cổ điển, bài toán điều khiển tối ưu là bàitoán tìm quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình toánhọc Trên thực tế các hệ thống điều khiển thường bị tác động bởi nhiều điềukiện phát sinh từ đặc tính vật lí của đối tượng và yêu cầu thiết kế đặt ra Vìvậy, việc nghiên cứu hệ thống điều khiển tối ưu là một nhiệm vụ quan trọngcủa lý thuyết điều khiển toán học

Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán điều khiển giá trị tối ưucho các hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ Luận vănbao gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về

hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ, bài toán ổn định, ổn định hóa

hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ, một số bổ đề dùng để chứngminh kết quả ở chương sau

Chương 2: Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu

Chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ sở giải bài toán đảm bảogiá trị điều khiển tối ưu Phần đầu chương trình bày về bài toán đảm bảo giátrị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương Phầntiếp theo chúng tôi trình bày bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho

hệ tuyến tính có trễ Phần cuối của chương là mở rộng kết quả định lí cho

hệ có trễ biến thiên

Chương 3: Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính

có độ trễ không khả vi Mục đích của chương này là việc tìm lời giải cho bàitoán đảm bảo giá trị điều khiển cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi

Trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quảchứng minh.

Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy

đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt thời gian tôi làm luận văn

Tôi rất biết ơn Trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán, Khoa Sau đại học

đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại trường

Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động, viên tôitrong quá trình làm luận văn

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian và trình độ còn hạn chếnên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm Tôi rất mongnhận được sự chỉ bảo và những đóng góp của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về tính ổn

định và ổn định hóa được của hệ phương trình vi phân thường và hệ phươngtrình vi phân có trễ và một số bổ đề bổ trợ cho chứng minh các định lý chính

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa

hàm véc tơ cho trước Giả thiết f(t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho

luôn có nghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức

t 0

f (s, x(s))ds

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số

ε > 0, t0 ≥ 0sẽ tồn tại số δ > 0 ( phụ thuộc vào ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm

đẳng thức

k y(t) − x(t) k< ε, ∀t ≥ t0

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ cógiá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trongsuốt thời gian t ≥ t0.

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó

lim

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm

khi t tiến tới vô cùng

trình (1.1) sẽ được đưa về dạng

trong đó F (τ, 0) = 0, và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của

hệ (1.1) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2)

Để ngắn gọn, từ nay ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay vào nói nghiệm 0 của

hệ là ổn định Do đó, từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0,

Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kì  > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 ( phụ

Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời điểm

(hay ổn định tiệm cận đều)

Định nghĩa 1.1.3 Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0 δ > 0

k x(t) k≤ M e−δ(t−t0 )

k x0 k, ∀t ≥ t0

là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nótiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov

Trước tiên ta xét hệ phương trình phi tuyến dừng

(ii) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

nếu

(ii) V (x) là hàm xác định dương

Hàm V(x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm vào

đó, bất đẳng thức trong điều kiện iii) là thực sự âm, với mọi x nằm ngoàimột lân cận 0 nào đó, chính xác hơn:

nghiệm x(t) với x(t0) = x0, t0 ≥ 0

Đối với hệ phi tuyến không dừng tổng quát (1.4) thì hàm Lyapunov được

định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V(t, x) Kí hiệu K là tập các hàm liên

Định lý 1.1.6 Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ

ổn định Nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

1.1.3 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân

(

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t0,

Định nghĩa 1.1.8 Hệ (1.5) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm

vi phân

˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0

là ổn định Như vậy, mục đích của bài toán ổn định hóa là tìm các hàm điềukhiển ngược h(.) hoặc ma trận K sao cho hệ là ổn định theo nghĩa Lyapunov.

Định lý 1.1.9 Hệ điều khiển (1.5) được gọi là ổn định hóa được dạng mũ

˙x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0

là ổn định mũ

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mốiquan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x(t) và vận tốc thay

đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t

Song trên thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan

đến quá khứ, đều ít nhiều mang tính di truyền Vì vậy, khi mô tả quá trìnhnày, chúng sẽ được biểu diễn bằng lớp các phương trình vi phân có trễ.Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 ≤ h ≤ +∞), với

x(t) là một hàm có trễ liên tục trên R+ nhận giá trị trong Rn, chúng ta xây

đạo trên [t − h; t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi

mũ cho hệ

ì C → R sao cho(i) ∃λ1, λ2 > 0 : λ1 k x(t) k2≤ V (t, xt) ≤ λ2 k xt k2, ∀t ≥ 0

mọi nghiệm x(t) là bị chặn, tức là

∃N > 0 :k x(t, φ) k≤ N k φ k, ∀t ≥ 0

Nếu điều kiện ii, được thay bằng điều kiện

(iii) ˙V (t, xt) < 0 thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận

Nếu điều kiện ii, được thay bằng điều kiện

(iv) ∃λ3 > 0 : ˙V (t, xt) ≤ −2λ3V (t, xt)với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.7) thì

trong đó x(t) ∈ Rnlà véc tơ trạng thái u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển,xt ∈ C,

Định nghĩa 1.2.3 Cho số α > 0 Hệ điều khiển (1.7) được gọi là α - ổn

(

˙x(t) = f (t, xt, g(x(t))), t ≥ 0,

1.3 Bài toán điều khiển tối ưu

Bây giờ ta có thể mô tả bài toán điều khiển tối ưu như sau Xét hệ điều khiển







˙x(t) = f (t, x(t), u(t), t ∈ [t0, t1] = Ix(t0) = x0, x(t) ∈ Rn,

(1.11)

trạng thái Cho phiếm hàm mục tiêu

J (u) =

Z

I

Điều khiển u∗(t) tìm được sẽ được gọi là điều khiển tối ưu cho bài toán tối

Người ta phân loại các bài toán điều khiển tối ưu căn cứ theo cấu trúc củahàm mục tiêu Nếu hàm mục tiêu có dạng (1.12) thì ta có bài toán tối ưuLagrange

Nếu J(u) có dạng

khiển tối ưu Meyer Còn nếu hàm mục tiêu cho bởi

J (u) =

Z

I

f0(t, x, u)dt + g(t1, x(t1)),

tức là, kết hợp giữa (1.12) và (1.13) thì ta có bài toán tối ưu Bolza

Mục đích chính của các nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển tối ưu là:

- Tìm các điều kiện cần hoặc đủ để một điều khiển chấp nhận được làtối ưu

- Nghiên cứu các bài toán tồn tại điều khiển tối ưu

- Xây dựng và thiết kế thuật toán tìm các điều khiển tối ưu

- Ưng dụng các kết quả lý thuyết bài toán điều khiển tối ưu vào các bàitoán trong kỹ thuật, kinh tế

1.3.1 Một số bài toán tối ưu đặc biệt

Dựa trên nguyên lí cực đại cho bài toán tối ưu tổng quát, người ta đã giải

được nhiều bài toán tối ưu cụ thể, đặc biệt đối với các hệ điều khiển tuyếntính Mặc dù việc tìm các điều khiển tối ưu cho các hệ điều khiển tuyến tínhtrong nhiều trường hợp vẫn đòi hỏi nhiều kĩ thuật phức tạp, xong đối với một

số bài toán tối ưu tuyến tính đặc thù thì ta có thể giải và tìm điều kiện tối ưugián tiếp từ nguyên lí cực đại Pontriagin dưới các công thức tính toán cụ thể

và đơn giản

1.3.2 Bài toán tối ưu toàn phương tuyến tính

Bài toán tối ưu toàn phương tuyến tính là bài toán điều khiển tối ưu cho hệtuyến tính

dương Xét lớp hàm điều khiển u(t) ∈ L2([t0, t1], Rm)

Từ nguyên lí cực đại, đối với bài toán tối ưu (1.14) và (1.15) ta có:

Bổ đề 1.4.3 (Bổ đề Schur) Cho các ma trận hằng số đối xứng X, Y, Z X =

Z −Y



< 0

Chương 2

Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối

ưu

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ sở giải bài toán

đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu

2.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến

Định nghĩa 2.1.1 Xét bài toán điều khiển tuyến tính giá trị tối ưu (2.1) với

Định lý 2.1.2 Xét hệ (2.1) với hàm mục tiêu (2.2) Giả sử tồn tại ma trận

đối xứng xác định dương P sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)

J∗ = λmax(P−1) k x0 k2 là giá trị mục tiêu tối ưu.

Chứng minh Xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau

Từ bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI (2.3) ta có:

là điều khiển ngược làm ổn định hóa hệ (2.1)

từ đó điều khiển ngược giá trị tối ưu là:

Định lý 2.2.1 Xét hệ (2.4), với hàm mục tiêu (2.5) Giả sử tồn tại ma trận

đối xứng xác định dương P sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)sau thỏa mãn

DÔ dµng kiÓm tra ®­îc:

λmin(P−1) k x k2≤ V (xt) ≤ [(h + 1)λmax(P−1) + hλmax(Q2)] k xt k2

+ hP y(t), y(t)i − hP y(t − h), y(t − h)i]

ta cã:

˙

là điều khiển ngược làm ổn định hóa hệ (2.4).

[hQ1x, xi + hQ2x(t − h), x(t − h)i + hRu, ui] < − ˙V (xt)

Lấy tích phân hai vế từ 0 tới t, ta có:

J (u) ≤ V (x0) ≤ [(h + 1)λmax(P−1) + hλmax(Q2)] k ϕ k2= J∗

Ví dụ 2.2.2 Xét hệ (2.4) với hàm mục tiêu (2.5),

từ đó điều khiển ngược đảm bảo giá trị tối ưu là:

Định lý 2.2.3 Xét hệ (2.7) với hàm mục tiêu (2.8) Giả sử tồn tại ma trận

đối xứng xác định dương P sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sauthỏa mãn:

trong đó

Dễ dàng kiểm tra được

λmin(P−1) k x k2≤ V (xt) ≤ [(h + 1)λmax(P−1) + ηhλmax(Q2)] k xt k2

˙

+ hP y(t), y(t)i − (1 − δ)hP y(t − h(t)), y(t − h(t))i

Suy ra theo định lí Lyapunov, hệ là ổn định tiệm cận và u∗ = −12B P−1x(t)

là điều khiển ngược làm ổn định hóa hệ (2.7)

Ví dụ 2.2.4 Xét hệ (2.7) với hàm mục tiêu (2.8),

Chương 3

Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối

ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi

3.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến

x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h1max, h2max, k1, k2}

Định nghĩa 3.1.1 Cho α > 0 Hệ (3.1), trong đó u(t) = 0, là α - ổn địnhnếu tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ) thỏa mãn:

Định nghĩa 3.1.2 Cho α > 0 Hệ (3.1) là α - ổn định hóa nếu tồn tại điều

Ta sẽ tìm điều khiển ngược cho hệ (3.1) với hàm mục tiêu (3.3) sao cho hệ

Định nghĩa 3.1.3 Cho hệ (3.1) với hàm mục tiêu (3.3), nếu tồn tại điều

2 λmax(T1) +

k22

2 λmax(T2) + h

2 1medλmax(R1)+ h22medλmax(R2) + 2δ1h1medλmax(S1) + 2δ2h2medλmax(S2)),

H1 = h1medM h1medM h1medM h1medMT ,

Định lý 3.1.4 Xét hệ (3.1) với hàm mục tiêu (3.3) với α > 0, Q > 0 và R >

0 Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương N, P, Q1, Q2, R1, R2, S1, S2,

trị mục tiêu tối ưu là:

XÐt hµm Lyapunov - Krasovskii cho hÖ (3.5)

Từ đó

˙

V (t, xt) + 2αV (t, xt)

≤ 2xT(t)P ˙x(t) + xT(t)[Q1 + Q2 + k1T1 + k2T2 + 2αP ]x(t)

− e−2αh1medxT(t − h1medQ1x(t − h1med)

− e−2αh2medxT(t − h2medQ2x(t − h2med)

˙xT(s)Si˙x(s)ds) ≤ −

Z t−hi(t)−δit−h imed

Đặt

ζT(t) = xT(t) xT(t − h1med) xT(t − h2med) ˙xT(t)

Mặt khác, từ bổ đề (1.4.1) và (1.4.2) khi h1(t) ≥ h1med, ta có:

Z t−h1medt−h 1 (t)

˙x(s)ds

≤ e2α(h1med +δ 1 )δ1ζT(t)WTA1S1−1AT1W ζ(t)+ e−2α(h1med +δ1)

δ1−1

 Z t−h 1 (t) t−h 1med

˙x(s)ds

S1

 Z t−h 1 (t) t−h 1med

˙x(s)ds



≤ e2α(h1med +δ 1 )δ1ζT(t)WTA1S1−1AT1W ζ(t)+ e−2α(h1med +δ 1 )

Z t−h 1 (t) t−h 1med

Z t−h 1med

t−h 1 (t)

˙xT(s)S1˙x(s)ds

(3.14)Tương tự (3.14), ta cũng nhận được

Z t−h2medt−h 2 (t)

˙x(s)ds

≤ e2α(h2med +δ 2 )δ2ζT(t)WTB1KS2−1KTB1TW ζ(t)+ sgn(4h2(t))e−2α(h2med +δ 2 )

Z t−h 2med

t−h 2 (t)

˙xT(s)S2˙x(s)ds

(3.15)

t−k 1

xT(s)T1x(s)ds

(3.16)Tương tự (3.16), ta cũng nhận được :

˙

V (t, xt) + 2αV (t, xt)

≤ 2xT(t)P ˙x(t) + xT(t)[Q1 + Q2 + k1T1 + k2T2 + 2αP ]x(t)

− e−2αh1medxT(t − h1medQ1x(t − h1med)

− e−2αh2medxT(t − h2medQ2x(t − h2med)

+ e2α(h2med +δ 2 )δ2ζT(t)WTB1KS2−1KTB1TW

+ k1e2αk1WTA2T1−1AT2W + k2e2αk2WTB2KT2−1KTB2TW

ζ(t)

AT2W + k2e2αk2WTB2KT2

−1

KTB2TW

Mặt khác, sử dụng bổ đề Schur, điều kiện Ω ≤ 0 tương đương với điều kiện

λ k x(t, φ) k2≤ V (t, xt) ≤ V (0, x0)e−2αt ≤ Λe−2αt k φ k2

Khi đó, nghiệm x(t, φ) của hệ thỏa mãn

k x(t, φ) k≤

rΛ

Y = 0.0389 0.0066
,

và từ đó điều khiển ngược đảm bảo giá trị tối ưu là u(t) = 0.0389 0.0066
x(t).Hơn nữa nghiệm của hệ đóng thỏa mãn:

và giá trị mục tiêu tối ưu là:

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả nghiên cứu vềbài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ phương trình vi phân cótrễ

Các kết quả chính của luận văn :

Chương 2, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ sở giải bài toán điềukhiển đảm bảo giá trị tối ưu Phần đầu của chương là bài toán điều khiển giátrị tối ưu cho hệ tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương, phần tiếp theo làbài toán điều khiển tuyến tính giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính có trễ và phầncuối của chương là mở rộng kết quả này cho hệ có trễ biến thiên

Chương 3, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và một số kĩ thuật đánhgiá chứng minh phù hợp, chúng tôi giải bài toán điều khiển giá trị tối ưu cho

hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi và minh họa chúng bằng ví dụ

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Vò Ngäc Ph¸t, (2001), NhËp m«n lý thuyÕt ®iÒu khiÓn to¸n häc NhµxuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi

[2] Mai V Thuan and Vu N Phat, Optimal guaranteed cost control of linearsystems with mixed interval time-varying delayed state and control

J Optime.Theovy Appl, To appear

[3] Costa E.F., Oliveira V.A (2002), On the design of guaranteed costcontrollers for a class of uncertain linear systems , Syst Contr.Letters,Vol.46, No1, 17-29

[4] Shi P., Boukas E.K., Shi Y.(2003), Kagarwal R., Optimal guaranteedcost control of uncertain discrete time-delay systems J Comput Appl.Math., Vol 157, No3, 435-451