CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHỦ ĐỀ: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - GIỚI HẠN DÃY SỐ I... Hãy tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng đó.. Hãy tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng đó.. Hãy tìm số hạng đầu và công sa

CHỦ ĐỀ: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - GIỚI HẠN DÃY SỐ

I Kiến thức cần nhớ:

a) Các định nghĩa:

 Cấp số cộng: (u )n là cấp số cộng   n; un+1= u + dn ( d là hằng số và được gọi là công sai)

 Cấp số nhân: (u )n là cấp số nhân  n; un+1= u qn ( d là hằng số và được gọi là công bội)

 limu = 0n Mọi | u |n đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

 u = u + (n-1) dn 1

 limu =n  Mọi un đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

 limu =n  Mọi un đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

b) Các tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân

 Định lý về ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

n (u )là cấp số cộng k-1 k+1

k

u + u

u = (k 2)

2

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng (u )n :

u = u + (n-1) dn 1 ( d là công sai)

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u )n :

n

n(u + u )

S =

n

n[2 u + (n 1) d]

S =

2



 Định lý về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân:

(u ) n là cấp số nhân 2

k k-1 k+1

u = u u (k 2)

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân (u )n : n-1

n 1

u = u q ( d là công bội)

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u )n :

n 1 n

u (1 q )

S =

1 q





c) Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

 Nếu limu = Ln  R thì

lim | u |=| L |;lim u  L;lim u  L(u   0 n)

 Nếu limu = Ln  R, limv = Mn  R thì

n n

n

lim(u ± v ) = L± M; limu v L.M;

u L limcu cL; lim (M 0)

v M



( c là hằng số)

II Một số bài tập cơ bản:

1) Cấp số cộng (u )n có u - u17 20 = 9 và 2 2

17 20

u  u = 153 Hãy tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng đó

2) Cấp số cộng (u )n có u - u12 20 = 9 và 2 2

13 20

u  u = 154 Hãy tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng đó

3) Cấp số cộng (u )n có u - u = 1510 12 và 2 2

4 10

u  u = 15 Hãy tìm số hạng đầu

và công sai cấp số cộng đó

4) Cấp số cộng (u )n có u - u = 205 10 và u7 u21= 53 Hãy tìm số hạng đầu

và công sai cấp số cộng đó

5) Cấp số cộng (u )n có u - u = 154 8 và 6 u1 u = 458 Hãy tìm số hạng đầu

và công sai cấp số cộng đó

6) Tính tổng các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102,

số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999

7) Tính tổng các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1

3, số hạng thứ hai bằng 1

3

 và số hạng cuối bằng -2007

8) Cho cấp số cộng (u )n có d > 0, u31 u34= 11 và 2 2

31 34

u  u = 101 Hãy tìm số hạng tổng quát của số cộng đó

9) Cấp số nhân (u )n có 6 u2 u = 15 và 3u3 2 u = 14  Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

10) Cấp số nhân (u )n có u2 u = 65 và u3 8u = 124  Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

11) Tính tổng các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 2,

số hạng thứ hai bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2

12) Cho dãy số (u )xác định bởi 2

u = 2; u = 3u -10 n   1

Chứng minh rằng (u )n vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân 13) CMR hai dãy số (u )n , (v )n với

2

1+ cosn n+ sin 7 n

3n+1 3n +1 có giới hạn là 0

14) CMR hai dãy số (u )n , (v )n với

2 cos 5 n nsin(7 n 4)

u = ; v =

3n+1 3n +1



có giới hạn là 0 15) Tìm lim un với

a) u =n 1+ cosn; u =n nsin 9 n2

3n+1 n +1 ; u =n cosn3 ; u =n nsin15 n4

n +1 n + 2 n 1 

b)

n + 3n+ 6 n 9 n n 9 n 2 + 3

n + 2 n+ 6 n+1 n +1 5.3 +1

c)

8

n + 3n+ 6 n 9 n n 9 n 41 + 3

n + 2 n+ 6 n +1 n +1 5.41 +1

d)

8

n + 3n+ 6 n 9 n n 9 n 41 + 3

n + 2 n+ 6 n +1 n +1 5.41 +1

e)

n + 3n+ 6 n 9 n n 9 n 2 + 3 n

n + 2 n+ 6 n+1 n +1 5.3 +1 n+ 2

f) 3 3

n

u = n + 3n+ 2 - n; 4 4

n

u = n + 3n+ 2 - n; 4 4 3 3

n

u = n + 3n+ 2 - n  1