Bài tập Cấp số nhân và Giới hạn dãy số (có lời giải) - Đề cương Toán 11 HK2 THPT Trần Văn Giàu

Tài liệu trình bày lý thuyết và lời giải chi tiết các bài tập của chuyên đề Cấp số nhân và Giới hạn dãy số, trong đề cương của trường THPT Trần Văn Giàu (quận Bình Thạnh, TPHCM).Tài liệu được sưu tầm và biên soạn kỹ lưỡng bởi WiKi Way Chuyển phát nhanh sách và tài liệu

Lớp 11 - Học kỳ II - Năm học 2018 - 2019 Trường THPT Trần Văn Giàu (TPHCM)

WiKi Way Ngày 20 tháng 1 năm 2019

CẤP SỐ NHÂN

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở

đi, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi

(

u7− u1 = 728

u1+ u3+ u5 = 91c)

(

u7+ u1 = 1460

u1+ u3 = 20d)

(

u7+ u1 = 325

u1− u3+ u5 = 65Lời giải: Thay các uk bởi uk = u1.qk−1, ∀k ≥ 2 ta được hệ hai phương trình hai ẩn

u1, q Giải hệ này ta tìm được u1, q

(

u4+ u2 = 60

u5+ u3 = 180Gọi công bội là q Theo đề bài ta có

(

q3u1+ qu1 = 60

q4u1+ q2u1 = 180 ⇔

((q2+ 1)qu1 = 60 (1)(q2+ 1)q2u1 = 180 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

q = 3Thay q = 3 vào (1) ta được

(32+ 1).3u1 = 60 ⇔ u1 = 2Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3

b)

(

u7− u1 = 728

u1+ u3+ u5 = 91Gọi công bội là q Theo đề bài ta có

(

q6u1− u1 = 728

u1+ q2u1+ q4u1 = 91 ⇔

((q6− 1)u1 = 728 (1)(1 + q2+ q4)u1 = 91 (2)Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được

(q2− 1)(q4+ q2+ 1)

1 + q2+ q4 = 8 ⇔ q2− 1 = 8 ⇔ q = ±3Thay q = ±3 vào (1) ta được

(36− 1).u1 = 728 ⇔ u1 = 1Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = ±3

c)

(

u7+ u1 = 1460

u1+ u3 = 20Gọi công bội là q Theo đề bài ta có

(

q6u1+ u1 = 1460

u1+ q2u1 = 20 ⇔

((q6+ 1)u1 = 1460 (1)(1 + q2)u1 = 20 (2)Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được

(q2+ 1)(q4 − q2+ 1)

1 + q2 = 73 ⇔ q4− q2+ 1 = 73

⇔ q2 = 9 hay q2 = −8 (loại) ⇔ q = ±3Thay q = ±3 vào (1) ta được

(36+ 1).u1 = 1460 ⇔ u1 = 2Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = ±3

(

u7+ u1 = 325

u1− u3+ u5 = 65Tương tự câu b), ta được q = ±2, u1 = 5

Bài 2 Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau

a)

(

u5 = 96

u9 = 192b)

(

u3+ u5 = 90

u2− u6 = 240c)

(

u20 = 8u17

u3+ u5 = 272d)

(6u2+ u5 = 13u3+ 2u4 = −1Lời giải

a)

(

u5 = 96

u9 = 192Gọi công bội là q Theo đề bài ta có

(

q4u1 = 96 (1)

q8u1 = 192 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

q4 = 2 ⇔ q = ±√4

2Thay q = ±√4

2 vào (1) ta được

2u1 = 96 ⇔ u1 = 48Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 48 và công bội q = ±√4

(

q2u1+ q4u1 = 90 (1)

qu1− q5u1 = 240 (2) ⇔

((1 + q2)q2u1 = 90 (1)(1 − q4)qu1 = 240 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

(1 + q2)(1 − q2)(1 + q2)q =

.1

9.u1 = 90 ⇔ u1 = 729

Thay q = −3 vào (1) ta được

(

q19u1− 8q16u1 = 0 (1)

q2u1 + q4u1 = 272 (2) ⇔

((q3− 8)q16u1 = 0 (1)(1 + q2)q2u1 = 272 (2)

Do q 6= 0, u1 6= 0 nên

(1) ⇔ q3− 8 = 0 ⇔ q = 2Thay q = 2 vào (2) ta được

(6qu1+ q4u1 = 13q2u1+ 2q3u1 = −1 ⇔

((6 + q3)qu1 = 1 (1)(3 + 2q)q2u1 = −1 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

(3 + 2q)q

6 + q3 = −1 ⇔ 6 + q3 = −2q2− 3q ⇔ q3 + 2q2 + 3q + 6 = 0 ⇔ q = −2Thay q = −2 vào (1) ta được

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta giả sử A = u1, B = u2, C = u3, D = u4, với (un) là cấp

số nhân có công bội bằng 2 Khi đó

nhân ấy có mấy số hạng?

Bài 7 Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của

(1 + 2 + 22+ 23+ 24).u1 = 31 ⇔ u1 = 1

Vậy cấp nhân cần tìm là u1 = 1, u2 = 2, u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32

Bài 8 Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng

27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72

Bài 9 Cho 3 số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân, đồng thời chúng là số hạng đầu,

số hạng thứ 3 và thứ 9 của 1 cấp số cộng Tìm 3 số đó, biết tổng của chúng bằng 13.Lời giải

Giả sử cấp số nhân x, y, z có công bội là q và cấp số cộng đã cho có công sai là d Khiđó

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

Bài 10 Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương Biết rằng số hạng thứ 2 bằng

3 và số hạng thứ 4 bằng 6 Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó

2 (vì q > 0) Với q = √

2,thay vào (1) ta suy ra u1 = √3

vn =

u

v, v 6= 0+ Nếu un≥ 0∀n ∈ N thì u ≥ 0 và lim√un =√

vn

= +∞

+ Nếu lim un = +∞; lim vn= a > 0 thì lim unvn= +∞

3.4n− 2n + 1j) lim√3

n3+ n2+ n + 1Lời giải: Đặt nhân tử chung là số mũ cao nhất, sau đó áp dụng các tính chất trongphần A.2 và cách tính các giới hạn đặc biệt trong phần A.1

n3 + 2

n − 1

= lim n lim 3

r1

n3 + 2

n − 1 = −∞ (vì lim n = +∞, lim 3

r1

n3 + 2

n − 1 = √3

−1 =

−1)

e) lim(2n + cos n) = lim n



2 + cos nn



= +∞ (ta thấy limcosn

n = 0 vì tử số có giátrị trong khoảng [−1, +1] và mẫu số tiến đến vô cực, do đó lim



2 + cos nn



= 2,lim n = +∞)

rlim 3 − lim2n

a) limn

3+ n + 1

n2+ 2b) limn

3+ 2n + 4

n7 + 2

c) lim4n

2− n + 16n2− 5d) lim2n

3+ n + 2

n2 + 4e) lim 2n + 1

n3+ 4n2+ 3f) lim n

2 + 12n4+ n + 1g) lim 2n

2− n + 33n2+ 2n + 1h) lim3n

3+ 2n2+ n

n3+ 4Lời giải: Dạng ∞

2− n + 16n2− 5 = lim

2 + 12n4+ n + 1 = lim

g) lim 2n

2− n + 33n2+ 2n + 1 = lim

3+ n − 1(4n + 7)(n + 2)2

d) lim n

4

(n + 1)(2 + n)(n2+ 1)Lời giải: (Dạng ∞

∞)

a) lim 3n

3(2n + 1)6(2n − 1)2(n + 1)7 = lim

#2"

n



1 + 1n

6

n2



2 − 1n

2

n7



1 + 1n

7 = lim

3



2 + 1n

6



2 − 1n

2

1 + 1n

"

n



1 − 1n



3 + 1n



n2



1 − 1n

 

1 − 1n

"

n



1 + 2n

#2

n2



1 + 2n

 

1 + 2n

2 = 14

n2+ 2n +√

n2+ 1c) lim3 +

3

√

n3+ 15(3n + 1)d) lim

√

n2+ 2n −√

2n + 23n + 1

e) lim

3

√

n3 − 5n + 93n − 2f) lim

√9n2+ 1 − 2n6n + 2Lời giải: (Dạng ∞

+ n



1 − 2n

r

1 + 2

n + 1 −

2n

n2



1 + 2n

+

s

n2



1 + 1n

= lim nn

= lim nn

! = lim

1r

1 + 2

n +

r

1 + 1n

= √ 1

1 +√

1 =

12

c) lim3 +

3

√

n3+ 15(3n + 1) = lim

s

n2



1 + 2n



= limn

=

√1

3 =

13

e) lim

3

√

n3 − 5n + 93n − 2 = lim

= 13

f) lim

√9n2+ 1 − 2n6n + 2 = lim



6 + 2n



= limn

r

9 + 1

n2 − 2nn



6 + 2n

= 16

Bài 5 Tính các giới hạn sau:

a) lim n + 4 −

√

n2 − 1

√4n2+ 5 − 2n + 1

n2+ 2 −√

n2+ 4d) lim

√4n2+ 1 − 2n − 1

√

n2+ 4n + 1 − nLời giải: Dạng 0

0, ta thực hiện nhân với lượng liên hợp để đưa bài toán về dạng

∞

∞,sau đó áp dụng phần A.3

a) lim n + 4 −

√

n2 − 1

√4n2+ 5 − 2n + 1

= lim (n + 4 −

√

n2− 1)(n + 4 +√n2− 1)(√4n2+ 5 + 2n − 1)(√

4n2+ 5 − 2n + 1)(n + 4 +√

n2− 1)(√4n2+ 5 + 2n − 1)

= lim[(n + 4)

2− (n2− 1)](√4n2 + 5 + 2n − 1)[4n2+ 5 − (2n − 1)2](n + 4 +√

n2− 1)

= lim(8n + 17)(

√4n2+ 5 + 2n − 1)(4n + 4)(n + 4 +√

n2 − 1)

= lim



8 + 17n

n2+ n −√

n)2 = lim n

2− n + 1n

√

n2+ 4n + 1 − n

= lim(

√4n2+ 1 − 2n − 1)(√

4n2 + 1 + 2n + 1)(√

n2+ 4n + 1 + n)(√

4n2+ 1 + 2n + 1)

Bài 6 Tính các giới hạn sau:

a) lim√

n2+ 2n − 3 − nb) lim√

n + 1 −√

nc) lim√

n2+ 1 −√

n2− 2d) lim√

n2+ 2013 − n + 5e) lim√

n2+ 2n − n − 1f) lim1 + n2−√n4+ 3n + 1

g) lim√

4n2+ n + 1 − 2n + 1h) lim

r

1 + 2013

n2 + n − 5

= lim

n 2013

n + 10 −

25n

= lim −1n

r

1 + 1

n + 1 +

1n

4n2+ n + 1 + 2n − 1

√4n2+ n + 1 + 2n − 1

a) lim√3

2n − n3+ n − 1b) lim



3

√

n3− 2n2− nc) lim

n3+ n2− nf) limn + 2 −√3

n3+ 2n + 6g) lim2n +√3



1 − 1n

+ n2



1 − 1n



1 − 1n

+



1 − 1n

2

= −3

1 + 1 + 1 = −1b) lim√3

!2

+ n2 3

r

1 − 2n

!+ n2

= lim −2

3

r

1 − 2n

!2

+ 3

r

1 − 2n

!+ 1

= −23

+ n2 3

r

1 + 1n

!+ n2

= lim n

3

r

1 + 1n

!2

+ n 3

r

1 + 1n

!.n + n2

= lim 1

3

r

1 + 1n

2

+ n



1 + 2n

.n.3

2

+



1 + 2n

.3

4n2+ 1.√3

n3+ 2 − 2n2

Lời giải: Ta thêm bớt một lượng trung gian như sau:

Vậy B = B1+ B2 = 1

4Bài 9 Tính các giới hạn sau:

n

+ 12

3

n

+ 5

= 15

+ 1

 12

n

+ 2

= 12

n

 23

n

+ 11

3.

 34

n

+14

= 0.114

10− 1

102 + +(−1)

n

10n−1 + c) lim1 + 2 + 2

f) L = lim

n→∞

1 + a + a2+ an

1 + b + b2+ + bn với |a|, |b| ≤ 1Lời giải:

n

1 − 12

= 2 +1

3.

112

= 83

n

1 − −110

= 1 + 1

10.

11110

= 1211

= 3 + 1 = 4

n2+ 1Lời giải:

n2+ 1 = 0lim 1

n2+ 1 = 0Theo định lý kẹp ta có lim (−1)

n

n2+ 1 = 0Vậy A = 9 + 0 = 9

5n = 0lim 15n = 0

Theo định lý kẹp ta có limcos 4n

5n = 0Vậy B = 0 − 6 = −6

2√3

n + 1 = 0lim 2

2√3

n + 1 = 0Theo định lí kẹp ta có C = 0d) D = lim (−1)n

2n+1 = 0Theo định lí kẹp ta có lim(−1)

n

2n+1 = 0Vậy D = 0 − 0 = 0

√n



1 + 1n



Ta có −1

n ≤

cosnπ5

n ≤ 1

nlim −1

n = 0lim 1

n = 0Theo định lý kẹp ta có lim

cosnπ5

n = 0Vậy E=0

f) F = lim2n sin n

n2+ 1 = lim

2sin nn

n = 0lim 1

n = 0Theo định lý kẹp ta có limsin n

n = 0Vậy F = 0

1 = 0