tự động hóa chương 7

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Chương 7

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG

ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1.1 Khái niệm

Chương này đề cập đến một loại hệ thống điềukhiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiềuđiểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tụctheo thời gian Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóatín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệukhác nhau Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian chotín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc Hệthống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rờirạc Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thờigian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tínhiệu số Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thốngsố Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông sốđiều khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tạicác thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng mộtchu kỳ lấy mẫu tín hiệu Vì có thời gian trễ tất yếu dolấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn

so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phântích và thiết kế đặc biệt

Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹthuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngàycàng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụngđể điều khiển các đối tượng Hệ thống điều khiển sốcó nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tụcnhư uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toánđiều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điềukhiển phức tạp bằng cách lập trình Máy tính số còncó thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc.Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốcđộ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng gópphần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiểnsố trở nên phổ biến Hiện nay các hệ thống điều

khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điềukhiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiểnđộng cơ DC, AC, đến các hệ thống điều khiển phứctạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệthống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và cáchệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau.

Hình 7.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điềukhiển số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín

hiệu: tín hiệu liên tục c(t), u R(t) và tín hiệu số r(kT), cht(kT), u(kT) Trung tâm của hệ thống là máy tính số,

máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từcảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng Vìcảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cầnsử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp vớimáy tính Do đó để phân tích và thiết kế hệ thốngđiều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học đượcquá trình chuyển đổi A/D và D/A Tuy nhiên, hiện naykhông có phương pháp nào cho phép mô tả chính xácquá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóabiên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1

ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2

Hình 7.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc

Trong quyển sách này, chúng ta phát triển cácphương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điềukhiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc Nếuđộ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ

để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu sốlà tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điềukhiển rời rạc trình bày trong quyển này hoàn toàn cóthể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thốngđiều khiển số.

7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

Hình 7.3 Quá trình lấy mẫu dữ liệu

Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thờigian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian Xét bộ lấymẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra làtín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3) Quá trình lấy mẫu có thểmô tả bởi biểu thức toán học sau:

Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử rằng x(t) = 0 khi t

(7.4)

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tảquá trình lấy mẫu

Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi

lấy mẫu mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫuphải thỏa mãn điều kiện:

1 2

c

f T

trong đó f c là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.

Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu cóthể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâuchuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu

Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạctheo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian

Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơngiản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệthống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-OrderHold - ZOH) (H.7.4)

Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH Để ý rằng nếutín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra làxung vuông có độ rộng bằng T (H.7.4b) Ta có:

R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)

Hình 7.4 Khâu giữ bậc 0 (ZOH) Nhận xét:

Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta cóthể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằngcác biểu thức toán học (7.4) và (7.6) Tuy nhiên cácbiểu thức toán học này lại chứa hàm ex nên nếu ta sửdụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệthống sẽ gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả toán họckhác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn,nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽthực hiện được điều này

7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z

g Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z)

hữu hạn

g Ý nghĩa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc

(7.10)

Vì z = e Ts nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và

(7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z

một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó

g Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ

ROC của X(z) và bao gốc tọa độ

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z

2- Dời trong miền thời gian

Hình 7.5 Làm trễ tín hiệu k o mẫu

Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với z−k0 thì tương đương

với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k o chu kỳ lấymẫu

Vì x k( − ←1) Z→z X z−1 ( )

nên z–1 được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấymẫu.

3- Tỉ lệ trong miền Z

Vậy: δ( )k ←Z→1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)

2- Hàm nấc đơn vị

Hàm nấc đơn vị (liên tục

trong miền thời gian):

mẫu là T, ta được:

Z

Nếu z− 1 <1 thì biểu thức trên là tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng củacấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:

Z (ROC: |z| > 1)

3- Hàm dốc đơn vị

Hàm dốc đơn vị (liên tục

trong miền thời gian):

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy

mẫu là T, ta được:

Z

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy

mẫu là T, ta được:

Z

7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

Cho hàm X z , bài toán đặt ra là tìm ( ) x k Theo( )

công thức biến đổi Z ngược, ta có:

và bao gốc tọa độ

Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế

ta thường áp dụng các cách sau:

sau đó tra bảng biến đổi Z

Theo định nghĩa biến đổi z:

Do đó nếu phân tích X z thành tổng của chuỗi( )

lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z –k

Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính

chất dời trong miền thời gian), ta được:

x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = δ(k – 1)

⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + δ(k – 1)

Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0

Thay vào công thức trên ta tìm được:

k z

k

k z

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệthống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:

a c k n+ +a c k n1 + − + +1 K a −1c k+ +1 a c k =

= b r k m o ( + ) +b r k m1 ( + − + +1) K b m−1r k( + +1) b r k m ( ) (7.17)

trong đó n ≥ m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc

Biến đổi z hai vế phương trình (7.17) ta được:

G z được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.

Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương vềdạng:

Ví dụ 7.5 Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trìnhsai phân:

c k+3 +2c k+2 −5c k+ +1 3c k =2r k+2 +r k

Tìm hàm truyền của hệ thống

Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệthống, ta được:

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấymẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta đượchệ thống điều khiển rời rạc Bài toán đặt ra là tìm

hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có

các khâu lấy mẫu Xét một số sơ đồ thường gặp sauđây:

1- Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 7.6 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy

Giải: Tra bảng biến đổi Z, ta có:

Ví dụ 7.7 sẽ minh họa điều này

Ví dụ 7.7 Cho G s( ) và G s 2( )

Giải: Tra bảng biến đổi z, ta có:

Hình 7.8 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong

kênh sai số

( )

( )( )

Giải: Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm

ở ví dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được:

Hình 7.9 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong

vòng hồi tiếp

Trường hợp này không tìm được biểu thức hàmtruyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:

trong đó: G z( ) =Z{G s( )} ; H z( ) =Z{H s( )}

6- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận

Hình 7.11 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu

đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận

g Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu

đầu tiên và ta luôn có số hạng RG Z Do đó trong( )

trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng

tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của

hệ thống

g Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồitiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống vàvới các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và

đầu ra của nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z.

g Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồitiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay vớiđầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực

hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai

khâu hay giữa khâu đó với đầu vào

Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên chohệ rời rạc, độc giả có thể kiểm chứng được các côngthức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này

7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

1- Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vàovà tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:

( + ) + 1 ( + − + +1) n−1 ( + +1) n ( ) = o ( )

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1 Nếu ao ≠ 1

ta chia hai vế cho a o để được phương trình sai phân códạng (7.26)

Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặtcác biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trìnhsai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phânbậc một

Đặt các biến trạng thái như sau:

K

Viết lại dưới dạng ma trận:

M M M M M

KK

( )( )

( )( )

n n

0M

r(k)

Đáp ứng của hệ thống:

( )( )

( )( )

1

n n

( )( )

n n

KK

Ví dụ 7.9 Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1 Nếu ao ≠

1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân códạng (7.27)

Đặt các biến trạng thái như sau:

( ) ( ) o ( )

x k1 =c k − β r k

( )( )

n n

KK

B d =

n n

B d =

,,,

Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1 Nếu ao ≠

1 ta chia tử số và mẫu số cho a o để được hàm truyền

có dạng (7.28)

Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng

phương trình sai phân:

M M M M M

KK

( )( )

( )( )

( )

n n

1

00

01

MM

(7.29)⇒ c k( ) =b e k m o ( + ) =b e k m1 ( + − + +1) K b m−1e k( + +1) b e k m ( )

⇒ c k( ) =b x o m+1( )k +b b k1 m( ) + +K b m−1 2x k( ) +b x k m 1( )

⇒ c k( ) =[b m b m−1 K b1 b o 0 K 0]

( )( )

( )( )

n n

1M

Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:

x(k) =

( )( )

( )( )

n n

KK

01

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái

Giải: Hàm truyền đã cho tương đương với:

Ví dụ 7.13 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái

mô tả hệ thống có hàm truyền là:

x(k) =

( )( )( )( )

7.4.3 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc

từ phương trình trạng thái hệ liên tục

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thốngcó sơ đồ khối như sau:

Trình tự thành lập phương trình trạng thái

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái

0

d T d d

T Bd

Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời

rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT) là:

trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tụckhông có gì phải chứng minh Ta chứng minh từ bước 3,

ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rờirạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục

Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương

trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức:

Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh.

Ví dụ 7.14 Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ.

Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tảhệ thống với các biến trạng thái được xác định trênhình vẽ

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái

mô tả hệ liên tục:

Theo hình vẽ ta có:

2 ⇒(s a X s+ ) 2( ) =E R( )s ⇒ x t&2( ) +ax t2( ) =e t R( )

⇒ x t&2( ) = −ax t2( )+e t R( ) (7.33)Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình:

&

& =

( )( )

⇔ x&( )t = Ax( )t +B e t R( ) (7.34)Đáp ứng của hệ thống:

Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của

hệ liên tục, ta được:

2

0

11

g C d = C = [K 0]

Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ

thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là:

trong đó:

11

01

0

aT aT

aT aT

a t

e e

,

,

,,

3 160 0 368 0 3161

Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên.

Giải: Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ

d

z z

Phụ lục: MÔ TẢ HỆ RỜI RẠC DÙNG MATLAB

Các lệnh mô tả toán học hệ rời rạc tương tự nhưcác lệnh mô tả toán học hệ liên tục, chỉ khác là khitạo ra hệ thống ta không chỉ nhập vào thông số hệthống (tử số, mẫu số hàm truyền hoặc các ma trậntrạng thái) mà còn phải nhập vào chu kỳ lấy mẫu.Hãy so sánh với phụ lục ở chương 2

• Tạo ra hệ thống mô tả bởi hàm truyền: lệnh tf

(transfer function).

Cú pháp: G = tf(TS,MS,T) tạo ra hệ thống rời rạc môtả bởi hàm truyền G có tử số là đa thức TS, mẫu sốlà đa thức MS và chu kỳ lấy mẫu là T Nếu không xác

định T thì đặt T = -1.

Ví dụ:

>> TS=1; MS= [2 1]; G1 = tf (TS, MS, 0.2) G1=1/(2z+1, T = 0.2 sec Transfer function:

4 z + 1

-6 z^2 + 5 z + 1

Sampling time: unspecified

 Đơn giản hàm truyền: lệnh minreal.

Cú pháp: G=minreal(G) triệt tiêu các thành phầngiống nhau ở tử số và mẫu số để được dạng hàmtruyền tối giản

Sampling time: unspecified

• Các lệnh ghép nối hệ rời rạc hoàn toàn giống

như các lệnh ghép nối hệ liên tục, cụ thể:

- Tính hàm truyền của hệ thống nối tiếp: lệnh series

hoặc toán tử “*”

Cú pháp: G=series(G1, G2) tính hàm truyền G = G1*G2

- Tính hàm truyền của hệ thống song song: lệnh

parallel hoặc toán tử “+”

Cú pháp: G=parallel(G1,G2) tính hàm truyền G =

Sampling time: unspecified

>> G=G1+G2 % ghép song song

Transfer function:

11 z^2 + 7 z + 1

––––––––––––––

6 z^3 + 5 z^2 + z

Sampling time: unspecified

>> Gk=feedback(G2, G1) % he hoi tiep am Gk=G2/(1+G2*G1)

Transfer function:

8 z^2 + 6 z + 1

–––––––––––––––––––––––––

6 z^3 + 5 z^2 + 5 z + 1

Sampling time: unspecified

>> Gk=minreal (Gk) % don gian thua so chung

Transfer function: