tự đọng hóa chương 5

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Chương 5

ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ

THỐNG ĐIỀU KHIỂN

5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG

Ổn định là điều kiện cần đối với một hệ ĐKTĐ,song chưa phải là đủ để hệ thống được sử dụng trongthực tế Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏamãn được cùng một lúc các tiêu chuẩn chất lượngkhác nhau như độ chính xác, độ ổn định, đáp ứng quáđộ, độ nhạy, khả năng chống nhiễu Sau đây là mộtsố tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượnghệ thống điều khiển

1- Sai số xác lập

Hình 5.1 Sai số xác lập

Sai số là hiệu số giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồitiếp

r(t)

xl

exl

lập được tính như sau:

0lim ( ) lim ( )

2- Độ vọt lố (độ quá điều chỉnh)

Hình 5.2 Độ vọt lố

Hiện tượng vọt lố là hiện tượng đáp ứng của hệthống trong quá trình quá độ vượt quá giá trị xác lập

của nó (H.5.2) Độ vọt lố (Percent of Overshoot – POT) là

đại lượng đánh giá mức độ vọt lố của hệ thống, độvọt lố được tính bằng công thức:

100max

trong đó cmax là giá trị cực đại của đáp ứng trong quá

trình quá độ, cxl là giá trị xác lập của đáp ứng Hệ

thống điều khiển thông thường đòi hỏi POT phải nhỏhơn 10%

3- Thời gian đáp ứng

- Thời gian lên (tr) là thời gian đáp ứng của hệ

thống tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập củacủa nó

- Thời gian lên đỉnh là thời gian đáp ứng ra đạt

giá trị cực đại (tp = t peak).

- Thời gian quá độ ts = t set xác định bởi thời điểm

đáp ứng ra từ sau đó trở đi không vượt ra khỏimiền giới hạn sai số ε quanh giá trị xác lập Ví dụ: ε có thể là ± 2%, ± 5%

cxl

cmax

cmax−cxl

cxl

Hình 5.3 Thời gian đáp ứng

Thông thường hệ thống điều khiển cần phải đápứng càng nhanh càng tốt Tuy nhiên, đối với các hệthống có quán tính lớn, đáp ứng nhanh thường dẫnđến vọt lố cao Do đó, dung hòa giữa thời gian đáp ứngvà độ vọt lố là vấn đề phải quan tâm khi thiết kếhệ thống điều khiển tự động

4- Độ dự trữ ổn định

Định nghĩa: Khoảng cách từ trục ảo đến nghiệm

cực gần nhất (nghiệm thực hoặc phức) được gọi là độ dự trữ ổn định của hệ Ký hiệu khoảng cách ngắn

nhất ấy là σo Đáp ứng quá độ của hệ bậc n có thể

biểu diễn dưới dạng:

i

t p i

c

1

) ( 1

0 0

)

trong đó Re (pi + σo) ≤ 0

Biểu thức (5.4) cho thấy nếu σo càng lớn thì quátrình quá độ càng nhanh về xác lập Điều đó có nghĩalà hệ thống có độ dự trữ ổn định càng lớn thì thờigian quá độ càng ngắn

5- Tiêu chuẩn tích phân

Trong thực tế một hệ thống ĐKTĐ được thiết kếphải thỏa yêu cầu ở cả hai chế độ xác lập và quáđộ Chất lượng trong quá trình quá độ có thể đượcđánh giá thông qua giá trị tích phân của sai lệch giữagiá trị đặt và giá trị phản hồi của đại lượng cần điều

chỉnh Các tiêu chuẩn tích phân sẽ được trình bày cụthể hơn ở mục 5.4.

5.2 SAI SỐ XÁC LẬP

Hình 5.4 Hệ thống hồi tiếp âm

Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối như hình5.4 Sai số của hệ thống là:

( ) ( )

=+

1Sai số xác lập:

G s H s

( )lim

Biểu thức (5.5) cho thấy sai số xác lập khôngnhững phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệthống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào Tùy theo sốkhâu tích phân lý tưởng (TPLT) có trong hàm truyền

G(s)H(s) và dạng tín hiệu vào mà sai số có giá trị khác

2- Tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị

r(t)

cht(t )

r(t)

exl= 0

(c) SSXL bằng 0 khi G(s)H(s) có nhiều hơn 1 khâu TPLT

3- Tín hiệu vào là hàm parabol

Nhận xét: Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng

(TPLT) có trong hàm truyền hở G s H s( ) ( ) mà Kp , Kv , Ka có

giá trị như bảng sau:

- Nếu G(s)H(s) không có khâu TPLT thì hệ thống kín theo

kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc với sai số

r(t)

cht(t )

r(t)

- Nếu G(s)H(s) có một khâu TPLT thì hệ thống kín

theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc vớisai số e xl =0, và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào làhàm dốc với sai số xl

v

e K

= 1 và không theo kịp sự thay

đổi của tín hiệu vào là hàm parabol Hệ thống có mộtkhâu TPLT gọi là hệ vô sai bậc một

- Nếu G(s)H(s) có hai khâu TPLT thì hệ thống kín theo

kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc và hàmdốc với sai số e xl =0, theo kịp sự thay đổi của tín hiệuvào là hàm parabol với sai số xl

a

e K

= 1 Hệ thống có haikhâu TPLT gọi là hệ vô sai bậc hai

- Nếu G(s)H(s) có ba khâu TPLT thì hệ thống kín theokịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc, hàm dốcvà hàm parabol với sai số e xl =0 Hệ thống có ba khâuTPLT gọi là hệ vô sai bậc ba

Tổng quát, hệ thống có n khâu TPLT gọi là hệ vô sai bậc n.

5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ

Đáp ứng quá độ là đáp ứng của hệ thống khi tínhiệu vào là hàm nấc đơn vị Mục này khảo sát đápứng quá độ của hai lớp hệ thống rất thường gặp trongthực tế là hệ quán tính bậc một và hệ dao động bậchai Các hệ thống bậc cao hơn cũng có thể được khảosát tương tự

5.3.1 Hệ quán tính bậc một

Hình 5.8 Hệ quán tính bậc một

Hàm truyền hệ quán tính bậc 1:

1

1 ) (

+

=

Ts s

s s G s R

s

C

/ 1

1 1 1

1 1 ) ( ).

( )

(

+

−

= +

một

Hình 5.10 Đáp ứng quá

độ của hệ quán tính bậc một

Nhận xét (xem hình 5.10):

- Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc mộtkhông có vọt lố

- Thời hằng T là thời điểm c(t) đạt 63.2% giá trị

xác lập Cực của hệ quán tính bậc một nằm

càng xa trục ảo thì T càng nhỏ, đáp ứng của hệ

thống càng nhanh

- Thời gian xác lập ts (s ettling time) là thời gian để

sai số giữa c(t) và giá trị xác lập nhỏ hơn ε (ε =5% hay 2%)

ε

1 ln

T

5.3.2 Hệ dao động bậc hai

Hình 5.11 Hệ dao động bậc hai

Hàm truyền hệ dao động bậc hai

1 2

2 2

2 2

1 )

(

n n

n

s s

Ts s

T s G

ω ξω

ω

ξ + = + + +

Hệ dao động bậc hai có cặp cực phức liên hợp(H.5.12)

2

2

1 ) ( ).

( ) (

n n

n

s s

s s G s R s C

ω ξω

ω + +

trong đó độ lệch pha  xác định bởi cosθ = ξ.

Hình 5.12 Giản đồ cực - zero

của hệ dao động bậc hai

Hình 5.13 Đáp ứng quá

độ của hệ dao động bậc hai

Nhận xét (xem hình 5.13):

• Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc hai cóùdạng dao động với biên độ giảm dần

- Nếu ξ =0 : c t( )= −1 sinωn t, đáp ứng của hệ là daođộng không suy giảm với tần số ωn, do đó ωn

gọi là tần số dao động tự nhiên của hệ daođộng bậc hai

- Nếu 0< ξ <1 đáp ứng của hệ là dao động với:biên độ giảm dần, ξ càng lớn dao động suy

giảm càng nhanh Do đó ξ gọi là hệ số tắt (hay

hệ số suy giảm) của hệ dao động bậc hai

• Đáp ứng của hệ dao động bậc hai có vọt lố Độvọt lố POT của hệ dao động bậc hai được tính bởi côngthức:

2 1001

nằm gần trục thực) POT càng nhỏ Ngược lại, nếu ξ càng

nhỏ (cặp cực phức càng nằm gần trục ảo) POT cànglớn Hình 5.15 minh họa đáp ứng quá độ của hệ daođộng bậc hai với các giá trị ξ khác nhau, ξ càng bé

POT càng cao

Hình 5.14 Quan hệ giữa độ vọt lố và hệ số tắt

Hình 5.15 Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc hai

với các giá trị ξ khác nhau

0 20 40 60 80 100

POT(

%)

 Thời gian xác lập t s là thời gian để sai số giữa

c(t) và giá trị xác lập nhỏ hơn ε (ε = 5% hay 2%)

Đối với hệ bậc hai:

- Theo tiêu chuẩn 5%: xl 3

4

(5.17)

• Thời gian lên tr: (r ise time) là thời gian để c(t) tăng

từ 10% đến 90% giá trị xác lập

Đối với hệ bậc hai:

r n

• Nếu ξ =1 hệ thống kín có một nghiệm kép (thực)

Hình 5.16 Hệ bậc hai có cặp cực thực kép khi ξ =1

Đáp ứng của hệ thống:

Hình 5.17 Hệ bậc hai có cặp cực thực phân biệt khi

5.3.3 Hệ bậc cao

Hệ bậc cao có nhiều hơn hai cực (H.5.18) Đáp ứngtương ứng với các cực nằm càng xa trục ảo suy giảmcàng nhanh Do đó có thể xấp xỉ hệ bậc cao về hệbậc hai với cặp cực là hai cực nằm gần trục ảo nhất.Cặp cực nằm gần trục ảo nhất của hệ bậc cao gọi làcặp cực quyết định Nếu khoảng cách từ cặp cựcquyết định đến trục ảo nhỏ hơn 10 lần khoảng cách từcác cực còn lại đến trục ảo thì đáp ứng giữa hệ bậccao và hệ bậc hai với cặp cực quyết định gần như saikhác không đáng kể (H5.19)

Hình 5.18 Cặp cực quyết định của hệ bậc cao

ImS

ReS 0

Cặp cực quyết

định

Hình 5.19 Xấp xỉ hệ bậc cao về hệ bậc hai

Ví dụ 5.1 Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm có sơ

đồ khối ở hình 5.20 Trong đó:

) 2 )(

1 (

8 )

(

+ +

=

s s s

) 5 (

5 ) (

+

=

s s H

Tính độ vọt lố, thời gian quá độ (tiêu chuẩn 5%),sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là hàmnấc đơn vị

Hình 5.20 Hệ thống hối tiếp âm

Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống kín:

0 ) ( ) (

1 + G s H s =

) 5 (

5 ) 2 )(

1 (

8

+ +

+

+

s s

t

2 2

,

1 = − 0 71 ± j 2 66 = − ξωn± j ωn 1 − ξ

p

Từ đó suy ra ξ = 0 258 và ωn = 2 753

Độ vọt lố của hệ thống là:

% 100 258 0 1

258 0 exp

% 100 1

t

ξω

Hệ số vị trí:

4 ) 5 (

5 ) 2 )(

1 (

8 lim

) ( ).

( lim

0

+ +

Sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vịlà:

2 0 4 1

1 1

1

= +

= +

=

P xl

K e

Đồ thị đáp ứng của hệ thống ở hình 5.21 cho thấykết quả tính toán ở trên là phù hợp

Hình 5.21 Đáp ứng của hệ thống ở ví dụ 5.1

5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG

Th i gian (giây) ờ

QUÁ ĐỘ

Các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống đã trìnhbày ở mục 5.1 như sai số xác lập, độ vọt lố, thời gianquá độ… chỉ đánh giá từng khía cạnh riêng lẻ đápứng của hệ thống Đối với một hệ thống tự độngnói chung, người ta mong muốn sai số càng bé càngtốt, độ vọt lố càng bé càng tốt, và thời gian quá độcàng ngắn càng tốt Tuy nhiên, các chỉ tiêu trênthường mâu thuẫn nhau Nếu giảm thời gian quá độ thìthường vọt lố tăng, và ngược lại, nếu độ vọt lố giảmthì đáp ứng chậm, thời gian quá độ tăng Để đánhgiá chất lượng toàn diện trong cả quá trình quá độngười ta sử dụng các tiêu chuẩn chất lượng tích phânmột hàm của sai số Khi thiết kế hệ thống điều khiển,chỉ cần tối thiểu hóa tiêu chuẩn tích phân thì sẽ đạtđược sự dung hòa giữa độ vọt lố, thời gian quá độ vàsai số Sau đây là một số tiêu chuẩn chất lượng tíchphân thường được sử dụng:

1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error)

Hình 5.22 Tiêu chuẩn IE và IAE

Đối với hệ có đáp ứng quá độ không dao động(đường 1 hình 5.22) thì tiêu chuẩn IE chính là diện tích của

hàm sai lệch e(t) tạo với trục thời gian t cần đạt giá trị

cực tiểu thì chất lượng đạt tốt nhất

Song đối với hệ có đáp ứng quá độ dao động ổnđịnh (đường 2) thì tiêu chuẩn IE không phản ánh đúngchất lượng của hệ thống do có miền diện tích âm đãđược trừ bớt đi Kết quả giá trị tích phân nhỏ nhưngquá trình quá độ xấu Vì vậy phải sử dụng tiêu chuẩntích phân trị số tuyệt đối của sai lệch

2- Tiêu chuẩn IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error - tích phân trị tuyệt đối biên độ sai số):

Đối với hệ bậc hai: JIAE → min khi ξ =0 707,

3- Tiêu chuẩn ISE (I ntegral of the S quare of the E rror - tích

phân của bình phương sai số):

π E j d

Đối với hệ bậc hai: JISE → min khi ξ =0 5,

4- Tiêu chuẩn ITAE (I ntegral of T ime multiplied by the

A bsolute Value of the E rror - tích phân của thời gian nhân

với trị tuyệt đối của sai số)

Đối với hệ bậc hai: JITAE → min khi ξ =0 707,

Hình 5.23 Đáp ứng tối ưu theo chuẩn ITAE

Trong ba tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng quá độvừa trình bày ở trên, tiêu chuẩn ITAE được sử dụng

nhiều nhất Để đáp ứng quá độ của hệ thống bậc n

là tối ưu theo chuẩn ITAE thì mẫu số hàm truyền kín hệ

bậc n phải có dạng:

5- Tiêu chuẩn tích phân có tính đến ảnh hưởng

của tốc độ thay đổi của sai lệch e(t)

Ví dụ: α lớn không cho phép dao động lớn Ngược lại, α

nhỏ cho phép quá độ dao động lớn

c(t)

0

Hệ bậc 1

t

Hệ bậc 2

Hệ bậc 3 Hệ bậc 4

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG TRONG MIỀN THỜI GIAN DỰA VÀO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG

1- Đánh giá sai số xác lập

Hình 5.24 Hệ thống hối tiếp âm

Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối ở hình5.24 Hệ số vị trí, hệ số vận tốc và hệ số gia tốccủa hệ thống là:

) ( ) ( lim ) ( ) ( lim

0

ω G j H j s

H s G K

s

) ( ) ( lim ) ( ) ( lim

0

ω j G j H j s

H s G s K

s

) ( ) ( ) ( lim ) ( ) (

H s G s K

s

Gọi G ( j ω ) H ( j ω )là đặc tính tần số của hệ hở Do

sai số xác lập tỉ lệ nghịch với các hệ số Kp, Kv, Ka theo

các công thức (5.6), (5.7), (5.8) nên từ các biểu thức(5.26), (5.27) và (5.28) có thể rút ra các kết luận sau:

 Sai số xác lập của hệ kín chỉ phụ thuộc vàobiên độ ở miền tần số thấp của hệ hở, khôngphụ thuộc vào biên độ ở miền tần số cao củahệ hở (xem ví dụ 5.2)

 Hệ hở có biên độ ở miền tần số thấp càngcao thì hệ kín có sai số xác lập càng nhỏ (xem vídụ 5.3)

 Trường hợp đặc biệt nếu hệ hở có biên độ ởtần số thấp vô cùng lớn thì hệ kín có sai sốxác lập bằng 0 đối với tín hiệu vào là hàm nấc(xem ví dụ 5.4)

Ví dụ 5.2 Xét hai hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm

truyền hở:

(a)

) 1 025 0 )(

1 1 0 )(

1 2 0 (

10 )

(

+ +

+

=

s s

s s

G

(b)

) 1 025 0 )(

1 1 0 )(

1 2 0 (

) 1 02 0 )(

1 01 0 ( 10 )

(

+ +

+

+ +

=

s s

s

s s

s

G

(a) (b)

Hình 5.25 Đặc tính tần số hệ hở ở ví dụ 5.2

Biểu đồ Bode hệ hở trong hai trường hợp được trìnhbày ở hình 5.25.a và 5.25.b Ta thấy ở tần số thấpbiểu đồ Bode biên độ của hai hệ thống là như nhaunên sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấctrong hai trường hợp là như nhau (hình 5.26a và 5.26.b).Đáp ứng quá độ của hai hệ thống khác nhau do biểuđồ Bode ở miền tần số cao của hai hệ thống khácnhau

(a) (b)

Hình 5.26 Đáp ứng của hệ kín ở ví dụ 5.2 khi tín hiệu

vào là hàm nấc đơn vị

Ví dụ 5.3 Xét hai hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có

hàm truyền hở:

e (d B)

Bode Diagram 0

-50

-100

Phase (d eg)

0 -90

0

0.8 0.6 0.4 0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.6

e xl

(a)

) 1 025 0 )(

1 1 0 )(

1 2 0 (

10 )

(

+ +

+

=

s s

s s

G

(b)

) 1 025 0 )(

1 1 0 )(

1 2 0 (

) 1 02 0 )(

1 01 0 ( 2 )

(

+ +

+

+ +

=

s s

s

s s

s

G

Biểu đồ Bode hệ hở trong hai trường hợp được trìnhbày ở hình 5.27.a và 5.27.b Ở tần số thấp biểu đồBode biên độ của hệ thống (a) lớn hơn biểu đồ Bodebiên độ của hệ thống (b) nên sai số xác lập ởtrường hợp (a) (H 5.28a) nhỏ hơn trường hợp (b) (H5.28b).Đáp ứng quá độ của hệ thống (a) có độ vọt lố caohơn hệ thống (b) do hệ thống (a) có độ dự trữ pha nhỏhơn hệ thống (b) Vấn đề này sẽ được đề cập đến ởphần sau

Hình 5.28 Đáp ứng của hệ kín ở ví dụ 5.3

khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị

e (d B)

Bode Diagram 0

-50

-100

P ha

se (d eg )

0 -90

0

0.8 0.6 0.4 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6

e xl

Ví dụ 5.4 Xét hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm

truyền hở:

) 1 1 0 04 0 (

10 )

+ +

=

s s

s s G

Biểu đồ Bode biên độ của hệ hở vô cùng lớn khitần số tiến đến 0 (hình 5.29a) Tương ứng ta có sai sốxác lập của hệ kín đối với tín hiệu vào là hàm nấcbằng 0 (hình 5.29b)

(a) (b)

Hình 5.29 (a) Đặc tính tần số hệ hở và

(b) Đáp ứng quá độ của hệ kín ở ví dụ 5.4

2- Đánh giá đáp ứng quá độ

Hình 5.30 Hệ thống hối tiếp âm đơn vị

Để đơn giản trong việc phân tích, xét hệ thống hồitiếp âm đơn vị ở hình 5.30 Đặc tính tần số của hệ kínlà:

0

0.8 0.6 0.4 0.2

) ( 1

) ( )

(

ω

ω ω

j G

j G j

Gk

+

Giả sử hệ hở có tần số cắt biên là ωc Biên độ

đặc tính tần số của hệ kín có thể xấp xỉ gần đúngnhư sau:

 Trong miền tần số ω < ωc, do G ( j ω ) > 1 nên:

1 ) (

) ( ) ( 1

) ( )

ω ω

j G

j G j

G

j G j

 Trong miền tần số ω > ωc, do G ( j ω ) < 1 nên:

) ( 1

) ( ) ( 1

) ( )

j G j

+

Từ (5.30) và (5.31) ta thấy rằng ở miền tần số

ω<ωc, biểu đồ Bode biên độ của hệ kín trùng với trục

hoành Ở miền tần số ω>ωc, Bode biên độ của hệ kín

xấp xỉ bằng biểu đồ Bode biên độ của hệ hở Từ

đây suy ra băng thông của hệ kín xấp xỉ bằng tần số cắt biên của hệ hở (hình 5.31) Băng thông càng rộng

thì đáp ứng tần số cao càng tốt, thời gian quá độ

càng bé Do đó ta rút ra được kết luận là hệ hở có tần số cắt biên càng cao thì hệ kín có thời gian quá độ càng bé.

e (d B)

0 -50 -100

P ha

se (d eg )

-90 -180 -270