B GIÁO D C VÀ ÀO T O
-
CHÍNH TH C
ÁP ÁN – THANG I M THI TUY N SINH I H C, CAO NG N M 2005
-
Môn: TOÁN, Kh i A
( áp án – thang đi m g m 4 trang)
I.1 1,0
1 1 1
m y x
4 4 x
= ⇒ = + a) TX : {\{0}
b) S bi n thiên:
2
1 1 x 4
y '
4 x 4x
−
= − = , y ' = ⇔ = − 0 x 2, x = 2.
0,25
yC = − = − y ( ) 2 1, yCT = y 2 ( ) = 1.
ng th ng x = 0 là ti m c n đ ng
y x 4
= là ti m c n xiên
0,25
c) B ng bi n thiên:
x − ∞ −2 0 2 + ∞ y’ + 0 − − 0 +
y −1 + ∞ + ∞
− ∞ −∞ 1
0,25
d) th
0,25
Trang 2I.2 1,0
2
1
y ' m , y ' 0
x
= − = có nghi m khi và ch khi m>0
y ' 0 x , x
m m
= ⇔ = − =
0,25
Xét d u y ' x
−∞ 1
m
− 0 1
m + ∞
y ' + 0 − || − 0 +
Hàm s luôn có c c tr v i m i m>0
0,25
i m c c ti u c a ( ) Cm là 1
M ; 2 m m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ti m c n xiên (d) : y = mx ⇔ mx − = y 0.
( ) m 22 m 2m
−
0,25
2
1 m 1
d M; d m 2m 1 0 m 1.
2 m 1 2
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =
+
K t lu n: m 1 =
0,25
II.1 1,0
B t ph ng trình: 5x 1 − − x 1 − > 2x − 4 K:
5x 1 0
x 1 0 x 2.
2x 4 0
− ≥
⎧
⎪ − ≥ ⇔ ≥
⎨
⎪ − ≥
⎩
0,25
Khi đó b t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i 5x 1 − > 2x − + 4 x 1 − ⇔ 5x 1 2x − > − + − + 4 x 1 2 (2x − 4)(x 1) −
0,25
x 2 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4
⇔ + > − − ⇔ + + > − + ⇔ x2 − 10x < ⇔ < < 0 0 x 10.
0,25
K t h p v i đi u ki n ta có : 2 ≤ < x 10 là nghi m c a b t ph ng trình đã cho 0,25
II.2 1,0
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ( 1 cos 6x cos 2x + ) − + ( 1 cos 2x ) = 0 ⇔ cos 6x cos 2x 1 0 − =
0,25
⇔ cos8x + cos 4x − = 2 0
( )
=
⎡
⎢
⇔ ⎢
= −
⎢⎣
cos 4x 1
3 cos 4x lo¹i
2
V y cos 4x = ⇔ = 1 x k π ( k ∈| )
2
0,5
Trang 3III 3,0
III.1 1,0
Vì A ∈ ⇒ d1 A t; t ( )
Vì A và C đ i x ng nhau qua BD và B, D ∈ Ox nên C t; t ( − ) 0,25
Vì C ∈ d2 nên 2t − − = ⇔ = t 1 0 t 1. V y A 1;1 , C 1; 1 ( ) ( − ) 0,25
Trung đi m c a AC là I 1;0 ( ) Vì I là tâm c a hình vuông nên
IB IA 1
ID IA 1
= =
⎧
⎨ = =
⎩
0,25
b 1 1
B Ox B(b;0) b 0, b 2
D Ox D(d;0) d 1 1 d 0, d 2
⎧ − =
∈ ⎧ = =
⎧ ⇔ ⎧ ⇒ ⎪ ⇔
⎨ ∈ ⎨ ⎨ − = ⎨ = =
⎩ ⎩ ⎪⎩ ⎩ Suy ra, B 0;0 ( ) và D 2; 0 ( ) ho c B 2; 0 ( ) và D 0; 0 ( )
V y b n đ nh c a hình vuông là
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;1 , B 0; 0 , C 1; 1 , D 2; 0 , −
ho c
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;1 , B 2;0 , C 1; 1 , D 0; 0 −
0,25
III.2a 1,0
Ph ng trình c a tham s c a
x 1 t
d : y 3 2t
z 3 t.
= −
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = +
⎩
I ∈ ⇒ d I 1 t; 3 2t;3 − − + + t , ( ( ) ) 2t 2
d I, P
3
− +
( )
d I, P 2 1 t 3
t 2.
=
⎡
= ⇔ − = ⇔ ⎢ = −
III.2b 1,0
Vì A ∈ d nên A 1 t; 3 2t;3 ( − − + + t )
Ta có A ∈ ( ) P ⇔ 2 1 t ( − + − + ) ( 3 2t ) ( − 2 3 + + = ⇔ = t ) 9 0 t 1
V y A 0; 1; 4 ( − )
0,25
M t ph ng ( ) P có vect pháp tuy n n f = ( 2;1; 2 − )
ng th ng d có vect ch ph ng u f = − ( 1; 2;1 )
Vì ∆ ⊂ ( ) P và ∆ ⊥ d nên ∆ có vect ch ph ng u iif∆ = ⎡ ⎣ n, u f f ⎤ ⎦ = ( 5; 0;5 )
0,5
Ph ng trình tham s c a ∆:
x t
y 1
z 4 t.
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = +
⎩
0,25
Trang 4IV 2,0
2
0
(2 cos x 1) sin x
I dx
1 3cos x
π
+
=
+
t
2
t 1 cos x
3
t 1 3cos x
3sin x
dt dx.
2 1 3cos x
⎧ = −
⎪⎪
= + ⇒ ⎨
⎪ = −
⎪ +
⎩
x 0 t 2, x t 1.
2
π
= ⇒ = = ⇒ =
0,25
2
t 1 2 2
I 2 1 dt 2t 1 dt.
3 3 9
⎛ − ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ = +
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 3
1
2 2t 2 16 2 34
t 2 1
9 3 9 3 3 27
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
= ⎜ + ⎟ = ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ − + ⎟ ⎥ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
IV.2 1,0
1 x + + = C + + C +x + C + x + C + x + + C ++ x + ∀ ∈{ x 0,25
o hàm hai v ta có
2n 1 1 x + + = C + + 2C + x + 3C + x + + 2n 1 C + ++x ∀ ∈{ x 0,25 Thay x = − 2 ta có:
C + − 2.2C + + 3.2 C + − 4.2 C + + + 2n 1 2 C + ++ = 2n 1 + 0,25
4ab (a b)
a b 4ab a b 4 a b
+ ⎛ ⎞
≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ ⎠
D u " " = x y ra khi và ch khi a=b
0,25
Áp d ng k t qu trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1).
2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟ ⎥ = ⎜ + + ⎟ + + ⎝ + ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠
T ng t
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(2).
x 2y z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟ ⎥ = ⎜ + + ⎟ + + ⎝ + ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3).
x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟ ⎥ = ⎜ + + ⎟ + + ⎝ + ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠
0,5
1.
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
⎛ ⎞ + + ≤ ⎜ + + ⎟ = + + + + + + ⎝ ⎠
Ta th y trong các b t đ ng th c (1), (2), (3) thì d u " " = x y ra khi và ch khi
x = = y z. V y đ ng th c x y ra khi và ch khi x y z 3
4
= = =
0,25
-H t -