tích phân phụ thuộc tham số

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

N ỘI DUNG

1 Đ ỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

3 C ÁC TÍCH PHÂN E ULER

N ỘI DUNG

1 Đ ỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

N ỘI DUNG

1 Đ ỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

3 C ÁC TÍCH PHÂN E ULER

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Cho hàm số f (x, y) khả tích trên đoạn [a, b]

với mọi giá trị của tham số y ∈ [c,d]. Khi đó tồn tại tích phân xác định

Đ ỊNH LÝ 1.1

Nếu hàm 2 biến f (x, y) liên tục trên miền

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

y→0 [x + cos(yx)]e x sin y

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng

Trong trường hợp tổng quát, cận lấy tích

phân cũng phụ thuộc tham số y, có nghĩa là

a = ϕ(y),b = ψ(y).

Đ ỊNH LÝ 1.2

Nếu hàm số f (x, y) khả tích trên đoạn

phân xác định phụ thuộc vào tham số y

J(y) =

ψ(y)

Z

f (x, y)dx,

Đ ỊNH LÝ 1.3

Cho thỏa mãn các điều kiện:

1 hàm ϕ(y)vàψ(y) liên tục trên đoạn[c, d];

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm

Đ ỊNH LÝ 1.4 (C ÔNG THỨC L EIBNIZ )

Nếu hàm số f (x, y) và đạo hàm riêng f y 0 (x, y)

liên tục trên miền

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

V Í DỤ 1.4

bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, có nghĩa

V Í DỤ 1.4

bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, có nghĩa

f k 0 (x, k, b)dx = 0

I 0

b (k, b) =

Z 3 1

2(x 2 − kx − b)(−x)dx = 0

Z 3 1

Đ ỊNH LÝ 1.5

Cho thỏa mãn các điều kiện:

1 hàm ϕ(y)vàψ(y) khả vi trên đoạn[c, d];

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Phép tính vi phân của tích phân phụ thuộc tham số

Đổi biến z = x + y ⇒ dz = dx, x −a a

z y − a y + a I(y) =

Z y+a

y−a

f (z)dz.

Khi đó chỉ có cận lấy tích phân y − a,y + a

phụ thuộc vào tham số y còn hàm f (z)

không còn phụ thuộc vào biến y. Do đó

f y 0 (z) ≡ 0,∀z ∈ R. Vậy f (z), f y 0 (z) liên tục trên R.

Khi đó, ta có

Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Phép tính tích phân của tích phân phụ thuộc tham số

Hàm số f (x, y) = x y liên tục trên miền

D = {(x,y) : x ∈ [0,1],y ∈ [a,b]} nếu tạix = 0 ta cho f (x, y) = 0 và tại x = 1 cho f (x, y) = 1.

Hàm số f (x, y) = x y liên tục trên miền

D = {(x,y) : x ∈ [0,1],y ∈ [a,b]} nếu tạix = 0 ta

Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền

Tích phân suy rộng này được gọi là tích

phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số

y ∈ Y

Nếu như với mọi giá trị của y ∈ Y tích phân suy rộng I(y) =

Z +∞

a

là tồn tại giới hạn hữu hạn

Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền

D = {(x,y) : x ∈ [a,b),y ∈ Y ⊂ R},

sao cho với mọi y ∈ Y thì lim

x→b − f (x, y) = ∞ và tồn tại tích phân suy rộng

I(y) =

Z b

a

f (x, y)dx.

Tích phân suy rộng này được gọi là tích

phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số

y ∈ Y

Nếu như với mọi giá trị của y ∈ Y tích phân suy rộng I(y) =

Z b

a

tồn tại giới hạn hữu hạn

Đ ỊNH NGHĨA 2.2

Nếu như với mọi ε > 0 tồn tại số ∆(ε) > 0,

không phụ thuộc y , sao cho với mọi δ :

là hội tụ đều trên tập Y

T IÊU CHUẨN C AUCHY

hội tụ đều trên tập Y ⊂ R điều kiện cần và đủ

là với mọi ε > 0 tồn tại ∆(ε) Ê a, sao cho với mọi b 0 , b 00 > ∆(ε) và với mọi y ∈ Y , luôn có

¯

¯ Z b 00 ¯ ¯

D ẤU HIỆU W EIERSTRASS

Đ ỊNH LÝ 2.2

Nếu hàm số f (x, y) và đạo hàm riêng f y 0 (x, y)

liên tục trên miền D ∞ = {(x, y) : x Ê a, y ∈ Y ⊂ R}

f y 0 (x, y)dx hội tụ đều với mọi y ∈ Y thì

hàm I(y) sẽ khả vi liên tục trên tập Y và

I 0 (y) =

Z +∞

f y 0 (x, y)dx.

Đ ỊNH LÝ 2.3

Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên miền

phụ thuộc vào tham số a, b, (a > 0,b > 0)

Tích phân B(a, b) hội tụ khi a > 0,b > 0 và là hàm liên tục theo các biến a, b. Hàm này

được gọi là hàm beta.

phụ thuộc vào tham số a, (a > 0).

Tích phân Γ(a)hội tụ khi a > 0 và là hàm liên tục theo biến a.Hàm này được gọi là hàm gamma.

Các tích phân Euler Tích phân Euler loại 2

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE