Ch-ơng IV: tích phân phụ thuộc tham số tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng I/.. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3... Rút kinh nghiệm... tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của
Trang 1Ch-ơng IV:
tích phân phụ thuộc tham số
tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng
I/ Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc
II/ Tiến trình
1 Kiểm tra sỹ số:
2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3 Bài mới
1 Định nghĩa
,
f x u khả tích theo biến số x Tức là b ;
a f x u dx
định
a
F u f x u dx (1) (1)
- Tích phân trong (1) đ-ợc gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là
- Hàm F u trong (1) là hàm số xác định trên ;
- Ví dụ:
0
2 2
1
udx
u x
2 Tính liên tục, tính khả vi
- Định lý 1:
Nếu hàm số f x u , liên tục trên hình chữ nhật R a x b; u thì
a
F u f x u dx liên tục trên ;
- Định lý 2:
;
Trang 2- Dïng
N_Lepnit th×
c«ng viÖc kh¸
khã kh¨n
a
F u f x u dx kh¶ vi trªn ; vµ ' '
;
b u a
F u f x u dx (3)
F u arctg dx u
u
Ta cã
2
'
2
2
1
x
xdx u
u
u
u
x a f x u
x b f x u
0
sin
0
xu
x
0
sin lim
x
xu u x
0
3 TÝnh kh¶ tÝch
- §Þnh lý 3:
NÕu hµm f x u , liªn tôc trªn h×nh ch÷ nhËt R a x b; u th×
a
F u f x u dx kh¶ tÝch trªn ; vµ ta cã
f x u dx du f x u du dx
du f x u dx dx f x u du
)
- VÝ dô:
0
b y a
1
b
a
b
a
F u u u f x u u u dx
4 Bµi tËp
Sv tù lµm
0
dz
F x
- Bµi 2: T×m giíi h¹n
2
0 lim
I cos xdx
2 0 lim
I x cos x dx
)
Trang 3Giải
2 0
2
* Làm bài tập ở nhà Tính giới hạn
1
0 1 lim
Giải:
- Tính
1
1
x
x
dv dx
v x
1
1
x
Do đó
2 1
2 1
Vậy
1 1
0
Sv tự làm
b/
- Bài 3: Tính đạo hàm hàm số
u
0
u
2 1
F u u xdx
4 Bài tập về nhà
5 Rút kinh nghiệm
Trang 4tích phân phụ thuộc tham số với
cận là hàm số của tham số
I/ Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc
II/ Tiến trình
1 Kiểm tra sỹ số:
2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3 Bài mới
;
b u
a u
u f x u dx
số Trong bài ta hạn chế là chỉ xét tính liên tục và tính khả vi của hàm u
1 Tính liên tục
* Định lý 1: Nếu hàm số f x u ; liên tục trên hình chữ nhật
R a x b u ; các hàm số a u b u ; liên tục trên ; và nếu
;
b u
a u
u f x u dx
hàm số liên tục trên ;
* Chứng minh:
;
b u
a u
u f x u dx
+/ Với u u, u , u u u
Do f x u ; liên tục trên R nên với mọi 0 : f x u , u f x u ,
trong đó u là đủ bé
Trang 5
+/ Mặt khác f x u ; liên tục trên R suy ra M 0 : x u, Ta có:
b u u
b u
,
a u
a u u
f x u u dx M a u a u u
+/ Do a u b u ; liên tục trên ; nên vế phải (2), (3) nhỏ tuỳ ý miễn chọn u đủ bé Suy ra u 0 0
Tức là u là hàm số liên tục trên ;
2 Tính khả vi
;
u
R a x b u ; các hàm số a u b u ; khả vi trên ; và nếu
;
b u
a u
u f x u dx
vi trên ; và ta có
b u u
a u
u f x u dx f b u u b u f a u u a u
* Chứng minh:
;
b u
a u
u f x u dx
Nếu u u, u , thì do (1) ta có:
( )
( )
b u
a u
f u u u f x u
dx
(4)
Với mỗi u xác định thì ( ), ( )a u b u là các hằng số nên suy ra
'
u
f x u u f x u
dx f x u u dx
( )
b u u
a u
f x u dx
Mặt khác ( Định lý giá trị trung bình trong tích phân xác định )
( )
1 ( )
b u u
b u
f x u u dx f c u u b u u b u
c b u b u u Do ( )b u là hàm khả vi trên , và ( , )f x u liên tục
Trang 6trªn R nªn
( )
0 ( )
1
b u u
u
b u
f x u u dx u
1 0
u
b u u b u
u
0 ( )
1
u u
u
a u
f x u u dx f a u u a u u
Tãm l¹i, tõ (4), (5), (6) vµ (7) suy ra
b u u
a u
u f x u dx f b u u b u f a u u a u
Tøc lµ hµm sè '( )u kh¶ vi trªn ,
4 Bµi tËp & VÝ dô:
u
nÕu
0
ln 1
0
x
+/ Ta cã
0 0
ln 1 1
u
u
Hd chËm
- Bµi 1: TÝnh F víi 'u
2 2
u ux u
F u e dx Gi¶i:
f x u e a u u b u u f a u ue f b u ue
2
2
'
u
x
x
Gäi t.hµnh - Bµi 2: TÝnh
' ( )
a
x
x
b u u
a u
u f x u dx f b u u b u f a u u a u
Gi¶i:
'
s
sin
b
a b
a
b a
x
co xdx
x
Trang 7
1
Tự làm
sin
cos
x
0
x
F x xy f y dy trong đó ( )f y là hàm số
khả vi H-ớng dẫn giải:
* Dùng công thức tính đạo hàm cấp 1
* Tính đạo hàm của đạo hàm cấp 1 theo công thức
0
x
n
F x f t x t dt với ( )f t là hàm số liên tục
H-ớng dẫn gải:
'
0
x
x x
F x f t x t dt f x xx x f x
0
x
n
n f t x t dt
''
x
F x n f t x t dt n n f t x t dt
0
x
n n n
F x n n n n f t x t dt
0
x
4 Bài tập về nhà
5 Rút kinh nghiệm
Trang 8tích phân phụ thuộc tham số
với cận vô hạn
I/ Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc
II/ Tiến trình
1 Kiểm tra sỹ số:
2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3 Bài mới
1 Các định nghĩa
- Cho hàm số f x u , xác định trong miền R a x ; u
a f x u dx
Vậy tích phân đó là một hàm số của u xác định trên ;
a
I u f x u dx (1)
a A
a f x u dx
tụ về hàm số I u trên ;
- T-ơng tự định nghĩa
1
2
B B A B A B
1 1
u
u x
2 2
1 1
dx arctgux arctgAu arctgu
Thấy
Trang 9
2 2 1
0 2
1
0 2
A
arctgu u u
u x
arctgu u
Vậy hàm số đã cho xác định trên toàn trục số
0
ux
I u ue dx
0A ueux dx eux A 1 eAu
Mặt khác
1
0
A
u
u
2 Sự hội tụ đều
a f x u dx
trên ; ( Hay ; hữu hạn hoặc vô hạn ) nếu với 0 cho tr-ớc nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, tồn tại
0
A a sao cho với u ; và với A A0 ta
A f x u dx
- Ví dụ 1:
0
sin
0
ux x
x
sin
1
u
u x cosx
Mặt khác với x0;u0 thì
ux u
0
ux A
x
x
ux
A
x
x
2
dx
0
0
ux A
x
* Dấu hiệu hội tụ đều:
Nếu có một hàm số liên tục F x trên tập xa sao cho với mọi u thuộc
đoạn ; và với mọi x đủ lớn, ta có: f x u , F x và nếu tích phân
Trang 10
a
F x dx
a
f x u dx
- Ví dụ 2: Xét sự hội tụ đều trong nửa đoạn u0, u0 0 của tích phân
0 e uxsinxdx
Với mọi x0 và u u0 0, ta có euxsinx eux eu x0 Mặt khác có:
0
0
1 sin
u x
e xdx
0
u x
e dx
Vậy tích phân
0 e uxsinxdx
3 Tính liên tục - Tính khả tích
- Định lý 1:
Nếu hàm số f x u , liên tục trong miền R a x ; u và tích
a
f x u dx
a
I u f x u dx
- Định lý 2:
Nếu hàm số f x u , liên tục trong miền R a x ; u và tích
a
f x u dx
a
I u f x u dx
a
I u du f x u du dx
du f x u dx dx f x u du
tích phân d-ới dấu tích phân hay hoán vị thứ tự lấy tích phân ( Trong tr-ờng hợp chỉ có một tích phân có cận vô hạn )
4 Tính khả vi
- Định lý 3:
, , u ,
f x u f x u liên tục trên R a x ; u ,
a
f x u dx
,
u a
f x u dx
a
I u f x u dx
,
u a
'
'
u
Tức là cũng có thể lấy đạo hàm d-ới dấu tích phân ( cận vô tận ) hay hoán vị thứ tự lấy đạo hàm và lấy tích phân
Trang 11- VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n sin
a
x
x
+/ TÝch ph©n trong (1) héi tô
a
x
x
f x u e
x
a
x
x
a
x
x
0
u
Do f x u , liªn tôc trong '
'
u
a
x
x
trªn ®o¹n u0, suy ra nã kh¶ vi trong kho¶ng 0,
V× vËy víi u0 cã '
0
a
u x cosx
I u e xdx e
2 1
du
I u du
u
arctgu-2
u u
0
1
ux
u
u I u
2
I I u I u arctgu
vµ (*) cho ta ®-îc
sin
2
x dx x
0
sin ux
x
a/ NÕu u0th×
2
sin sin
2
u x ux
c/ NÕu u0 th×
0
sin
0
ux dx x
Trang 12Tãm t¾t:
0
0 2
sin
0 2
u ux
x
u
5 Bµi tËp
0
cos 1
ax dx x
Gi¶i:
- Bµi 2:
- Bµi 3:
- Bµi 4:
4 Bµi tËp vÒ nhµ
5 Rót kinh nghiÖm