Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số

Bài giảng Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số trình bày các kiến thức về tích phân phục thuộc tham số; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; một số tích phân đặc biệt.

Tích phân phụ thuộc tham số

5.1 Tích phân phụ thuộc tham số 183

5.1.1 Khái niệm 183

5.1.2 Tính liên tục 184

5.1.3 Tính khả vi 186

5.1.4 Tính khả tích 187

5.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 188

5.2.1 Khái niệm 188

5.2.2 Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều 189

5.2.3 Tính liên tục 194

5.2.4 Tính khả vi 196

5.2.5 Tính khả tích 196

5.3 Một số tích phân đặc biệt 197

5.3.1 Tích phân Dirichlet 198

5.3.2 Tích phân Euler (loại I) 199

5.3.3 Tích phân Euler (loại II) 201

5.1 Tích phân phụ thuộc tham số 5.1.1 Khái niệm Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [ , ] [ , ] a b ×α β ⊆R2 và với mỗi điểm [ , ] y∈ α β cố định, f khả tích theo x trên [a,b] Khi ấy, tích phân: ( , ) b a f x y dx ∫ (*)

là một hàm số theo biến y Ta nói tích phân (*) là tích phân phụ thuộc tham số với

tham số y Ký hiệu

b a

Lưu ý rằng thay vì y∈[ , ]α β có thể xét y U∈ ⊆Rn và khi ấy I y là một hàm nhiều ( )

biến Tuy nhiên phần lớn các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với y ∈ R n tương tự như khi y ∈ R, vì vậy trong giáo trình này chúng ta chỉ xét tích phân phụ

thuộc một tham số Ngoài ra, vì trong tích phân (*) hai cận a và b cố định nên

người ta còn nói (*) là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi Nếu như trong (*), b=ψ( )y và a=ϕ( )y là những hàm phụ thuộc y, thì ta nói

( )

( )

( , )

y

y

f x y dx

ψ

ϕ∫ là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi Thí dụ Tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau đây:

1)

1

2 0

tính ngay được

2 2

y

y

nÕu nÕu









1

( )

1 2 1

0

I y , y y e=∫ − dx là tích phân phụ thuộc tham số y1, y2 và xác định với mọi ( ,y y ∈R1 2) 2 Hàm này không biểu diễn được dưới dạng các hàm sơ cấp

5.1.2 Tính liên tục

Chúng ta vẫn dùng ký hiệu ( )I y cho tích phân phụ thuộc tham số với miền

lấy tích phân thay đổi và giả thiết rằng f xác định trên hình chữ nhật

[ , ] [ , ]a b× α β ⊆R2 và a≤ψ( )y ≤b a, ≤ϕ( )y ≤ với mọi [ , ] b y∈ α β

Định lý.Giả thiết f liên tục trên miền [ , ] [ , ] a b×α β , ψ và ϕ liên tục trên [ , ] α β

Khi ấy:

( ) ( )

y y

ψ ϕ

là một hàm liên tục trên [ , ]α β

Chứng minh Cố định y0∈[ , ]α β Ta sẽ chứng minh rằng với mọi 0ε > , tồn tại δ sao cho I y( )−I y( )0 < , với mọi ε y∈[ , ],α β y−y0 < Từ định nghĩa ta có δ

( ) ( )

( , )

y y

f x y dx

ψ ϕ

−

0

( )

0 ( )

( , )

y

y

f x y dx

ψ

ϕ∫

=

0

( ) ( )

( , )

y

y

f x y dx

ϕ

ϕ∫ +

0

( ) ( )

( , )

y y

f x y dx

ψ

ψ∫ +

0

0

( )

0 ( )

y

y

ψ ϕ

−

Để đánh giá hiệu trên, nhận xét rằng f liên tục trên tập compact nên giới nội và

liên tục đều, tức là tồn tại M>0, δ1> để: 0

( , )

f x y <M ,

với mọi(x, y , x’, y’) ( ) [∈ a,b] [ , ]×α β , x'− <x δ1, y'− < Ngoài ra do ϕ và ψ y δ1 liên tục nên tồn tại δ để: 2

0

0

với mọi y∈[ , ],α β y−y0 <δ2

Chọn δ=min{ , }δ δ1 2 và áp dụng các bất đẳng thức đã thu được để đánh giá từng

số hạng trong hiệu I y( )−I y( )0 , ta có:

0

0

( ) ( )

( , )

y

y

f x y dx

ϕ

0

( ) ( )

( , )

y y

f x y dx

ψ

0

0

( )

0 ( )

y

y

ψ ϕ

−

− < 3ε +

3

ε + 3

ε = ε, với mọi y∈[ , ],α β y−y0 < Chứng tỏ I liên tục và định lý được chứng minh δ xong

Hệ quả Nếu f liên tục trên miền [ , ] [ , ] a b×α β thì tích phân

b a

liên tục trên [ , ]α β và với mọi y0∈[ , ]α β ta có

Chứng minh Phần đầu của hệ quả là trường hợp riêng của định lý, phần sau suy ra ngay từ phần đầu

5.1.3 Tính khả vi

Định lý Giả sử hàm f liên tục có đạo hàm riêng f’ y liên tục trên miền

[ , ] [ , ]a b× α β và các hàm ϕ, ψ khả vi trên [ , ] α β Khi ấy hàm ( ) I y khả vi trên

[ , ]α β và:

( ) ( )

y y y

ψ ϕ

Chứng minh Trước hết chúng ta xét hàm ba biến

v u

và chứng minh rằng hàm này khả vi liên tục Muốn thế ta chỉ cần chỉ ra rằng F có

các đạo hàm riêng liên tục Cố định u,v và xét số gia:

v y

u

Vì f ′ liên tục nên theo định lý giá trị trung bình y

f x y y∆ −f x y = f x y+λ∆ ∆y y, trong đó λ∈ [0,1] phụ thuộc ( , )x y Khi ấy

( , , )

y

F y u v

y

∆

λ∆

Để ý rằng f’ y là hàm liên tục trên [ , ] [ , ]a b×α β nên nó liên tục đều và do đó, với mọi ε > , tìm được 0 δ > để mỗi khi y0 ∆ < thì: δ

f x y+λ∆y −f x y <ε b a− với mọi x,y

Do vậy, với mọi ∆y< , ta có đánh giá: δ

( , , )

' ( , )

v y

y u

F y u v

ε

Vì ε bất kỳ, ta kết luận:

0

( , , )

v y

y y

u

F y u v

y

∆

∆

∆

Chứng tỏ F y u v tồn tại và liên tục y'( , , )

Ngoài ra ta còn có

' '

u v

= −

=

đều là những hàm liên tục, cho nên F là hàm khả vi liên tục Nếu ϕ và ψ là những

hàm khả vi thì, theo định lý về hàm hợp,

cũng là hàm khả vi và

( ) ( )

y y y

ϕ

ϕ

Định lý được chứng minh xong

Thí dụ Với

cos

( )

y yx y

I y = ∫ e dx Theo định lý, hàm ( )I y khả vi và

2

cos

cos

y

y

5.1.4 Tính khả tích

Định lý Giả thiết f là hàm liên tục trên miền [ , ] [ , ] a b× α β Khi ấy các tích phân

( , )

b

a

f x y dx

β

α

∫ khả tích trên các đoạn [ , ]α β , [ , ]a b (tương ứng) và ta

có công thức Fubini:

=

Chứng minh Ở cuối Mục 4.3.1 chúng ta đã có công thức Fubini từ định lý tổng

quát Sau đây là một cách chứng minh khác Vì f liên tục cho nên hàm

b

a

I y =∫ f x y dx liên tục, suy ra khả tích trên [ , ]α β Tương tự như vậy, hàm ( , )

f x y dy

β

α

∫ là khả tích trên đoạn [a,b] Đặt

a

α

b t a

α

Ta sẽ chứng minh g t( )=h t( ) với mọi [ , ]t∈ α β và sẽ có ngay công thức trong

định lý khi chọn t = Chú ý rằng với tβ = , ta có ( )α g α =h( )α = , cho nên ta 0

chỉ còn phải chứng minh rằng '( )g t =h t'( ) Nhận xét rằng hàm

b a

liên tục trên [ , ]α β , cho nên

b a

g t =I t =∫ f x t dx với mọi t∈[ , ]α β Hơn nữa hàm hai biến

t

α

=∫ , ( , ) [ , ] [ , ]x t ∈ a b ×α β ,

liên tục và có đạo hàm theo biến t liên tục (vì J x t t'( , )= f x t( , )), cho nên ta có thể

áp dụng định lý về đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số

b a

d

dt

b t a

b a

f x t dx

Suy ra '( )g t =h t'( ) và định lý được chứng minh đầy đủ

Chú ý Trong định lý trên nếu f không liên tục thì công thức đổi thứ tự tích phân

không còn đúng nữa Ví dụ, hàm

2 2

x y







không liên tục tại điểm (x ,y)= (0,0) trong miền [0,1]×[0,1], và ta có:

2

( , )

4 1

dy

y

π

−

+

2

( , )

4 1

dx

x

π

+

5.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

5.2.1 Khái niệm

Giả sử f là hàm số xác định trên miền [ , ) a∞ ×U U, ⊆R sao cho với mỗi

y U∈ cố định, hàm (., )f y khả tích theo x trên [ , ] a b với mọi b a> Tích phân:

( , )

a

f x y dx

∞

∫

được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (với cận +∞ ) Tích phân này là hội tụ tại y0∈ nếu tích phân U ( , )0

a

f x y dx

∞

phụ thuộc tham số là hội tụ trên U nếu nó hội tụ tại mọi điểm của U tức là với mọi

a

∞

Tương tự như trên ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận −∞ , hoặc cận −∞ và +∞

Đối với hàm f không giới nội, việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc

tham số cũng thực hiện hoàn toàn tương tự kể từ định nghĩa các khái niệm tới các định lý Vì vậy, trong phần này, chúng ta chỉ xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ làm đại diện

Thí dụ

1)

1

∞

=∫ hội tụ khi y = và phân kỳ khi 0 y ≠ 0

0

∞

−

=∫ hội tụ khi y > và phân kỳ khi 0 y ≤ 0

3)

1

0

1

y

∞

−

∫ hội tụ khi y < và phân kỳ khi 1 y ≥ 1

5.2.2 Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều

Khi nghiên cứu chuỗi hàm chúng ta đã gặp khái niệm hội tụ đều của chuỗi nhằm thiết lập các tính chất liên tục, khả vi của hàm tổng Khái niệm này có thể

mở rộng cho tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ như dưới đây Giả thiết rằng tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

a

∞

hội tụ trên miền U ⊆ R Ta nói rằng tích phân này hội tụ đều trên U nếu với mọi

0

ε > tìm được số b sao cho 0

( , )

b

∞

<

∫ , với mọi b b> 0 và mọi y U∈ Nhận xét rằng định nghĩa trên tương đương với điều kiện:

b y U b

f x y dx

∞

→∞ ∈ ∫ =

Thí dụ Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân

2

( ) 0

∞

− −

Nhận xét rằng với mọi y ∈ R, tích phân ( ) I y hội tụ Dùng phép đổi biến ta có với

mọi b:

(x y) x

−

=

Từ đây ta thấy với y l< nào đó thì: 0

Chứng tỏ I y hội tụ đều trên( ) (−∞, ]l0 Trên tập (U = −∞ +∞ ta có , )

0

2

y U b y

∈ −

b y U b

∞

− −

→∞ ∈ ∫ > và ( )I y không hội tụ đều

Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân

0

∞

tập U khi và chỉ khi với mọi ε > , tồn tại số 0 b để 0

2

1

( , )

b

b

Chứng minh Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa vì nếu ( , )

2

b

∞

<

∫

với mọi b b≥ 0, y U∈ thì

2

b

với mọi b b1, 2≥ , y U b0 ∈

Điều kiện đủ Với y cố định, điều kiện của định lý suy ra ( ) I y hội tụ Hơn nữa

cho b → ∞ trong điều kiện đã nói thì 2

1

( , )

b

∞

≤

Theo định nghĩa, tích phân hội tụ đều trên U

Định lý (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả thiết tồn tại hàm ( ) 0 F x ≥ khả tích và một số b ≥ sao cho a f x y( , )≤F x( ) với mọi y U ∈ , x b ≥ , và tích phân

( )

a

F x dx

∞

a

f x y dx

∞

Chứng minh Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân hội tụ, với mọi 0ε > tồn

tại b0 sao cho

2

1

( )

b

b

F x dx<ε

∫ với mọi b b1, 2≥b0.

Chọn b0≥max{ , }b b0 , ta có

với mọi b b1, 2≥b0, y U∈ Áp dụng định lý Cauchy ta kết luận tích phân ( )I y hội

tụ đều trên U

0

yx

∞

−

∫ hội tụ đều trên tập U=[ , )t0 ∞ với t > 0 0 bất kỳ

Giải Nhận xét rằng e−yx2≤e−t x0 2với mọi ,y U x∈ ≥ Hơn nữa tích phân 0

2

0

0

t x

∞

−

0

yx

∞

−

U

Để trình bày một số tiêu chuẩn hội tụ đều đối với tích phân của một tích chúng

ta cần bổ đề sau, còn có tên gọi là định lý Bonnet và là một dạng của định lý giá trị trung bình

Bổ đề (Định lý Bonnet) Nếu hàm số ( )α x đơn điệu và hàm số ( ) g x khả tích trên [a b thì tồn tại điểm , ] c∈[a b, ] sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Chứng minh Xét trường hợp ( )α x không tăng và α( ) 0x ≥ (Trường hợp ( )α x

không giảm là tương tự) Giả sử P là một phân hoạch bất kỳ của [a b cho bởi dãy , ]

điểm a=x1<x2< < x n= Khi ấy b

1

2

i

i

x

i

−

=

[ ]

Nhận xét rằng α( )x đơn điệu và g x khả tích nên bị chặn, tức là ( )( ) g x < với δ mọi x∈[a b, ] và với δ > nào đó Khi ấy thành phần thứ hai trong vế phải của (*) 0

có thể đánh giá như sau

2

i a

=

Do α( )x khả tích nên số trừ trong biểu thức trên tiến tới số bị trừ khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0 Đối với thành phần đầu trong vế phải của (*) chúng ta lưu ý

x

a

G x =∫g x dx liên tục trên [a b và do đó đạt cực đại là M và cực tiểu là , ]

m trên đoạn này Hơn nữa ta có biến đổi sau

1

i

i

x

−

1

2

n

i

−

=

Vì α(x i−1)−α( ) 0x i ≥ và ( ) 0α x n ≥ cho nên đại lượng σ bị kẹp, cụ thể là T

m aα ≤σ ≤Mα a Qua giới hạn khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0 ta có

b a

Vì G(x) là hàm liên tục, tồn tại c∈[a b, ] sao cho

( ) ( ) ( ) ( )

Bây giờ nếu α( )x không nhất thiết là dương, với α( )x −α( ) 0b ≥ , ta xét tích phân

( )

b

a

( ) ( )

tìm

Định lý (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả thiết rằng:

b a

f x y dx

∫ bị chặn đều theo b và y tức là tồn tại c > để 0 ( , )

b

a

f x y dx <c

ii) ϕ( , )x y hội tụ đều theo y U ∈ đến 0 khi x → ∞ và ( , )ϕ x y đơn điệu theo x

với mỗi y U ∈ cố định

Khi đó tích phân ( , ) ( , )

a

∞

Chứng minh Lấy 0ε > bất kỳ Từ ii) ta tìm được b0 để:

( , )b y (4 )c

ϕ <ε , với mọi b b> 0, y U ∈

Khi ấy với mọi b2≥ ≥ , kết hợp với định lý Bonnet ta có: b1 b0

2

1

( , ) ( , )

b

b

2

1

b b

ξ

ξ

≤

2

1

b b

ξ

ξ

≤

1

4

b

c

ξ

 +

2

4

b

c

ξ

 +

4εc c+ c = , ε

trong đó ξ là một điểm trong đoạn [ , ]b b Theo định lý Cauchy, tích phân 1 2

( , ) ( , )

a

∞

Định lý (Tiêu chuẩn Abel) Giả thiết rằng

a

f x y dx

∞

ii) ϕ( , )x y bị chặn đều, tức là tồn tại c > để 0 ϕ( , )x y ≤ với mọi c

,

x≥a y U ∈ , và với mỗi y U ∈ cố định hàm (., )ϕ y đơn điệu theo x

a

∞

Chứng minh Tương tự định lý trên, áp dụng định lý Bonnet và định lý Cauchy

Thí dụ Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân

0

sin( )yx dx x

∞

∫ trên tập U=[t ,0 ∞ , ) với t > 0 0

Lấy ( , )x y 1

x

ϕ = và ( , )f x y =sin( )yx ta thấy ngay rằng các điều kiện của

tiêu chuẩn Dirichlet thỏa mãn Vì vậy tích phân này hội tụ đều trên U

5.2.3 Tính liên tục

Để khảo sát các tính chất của tích phân hội tụ đều với cận vô hạn chúng ta thiết lập mối liên hệ của những tích phân này với dãy hội tụ đều

Bổ đề Giả thiết rằng tích phân ( ) ( , )

a

∞

{ }a là một dãy số dần tới +∞ với n a n > Khi ấy dãy hàm: a

n a n a

hội tụ đều tới hàm số I y trên U ( )

Chứng minh Với mỗi y∈U cố định, do tích phân ( , )

a

f x y dx

∞

dãy hàm { ( )}ϕn y hội tụ tới ( )I y Ta sẽ chứng minh rằng dãy hội tụ đều Cho

0

ε > bất kỳ Vì ( )I y hội tụ đều ta tìm được b0 sao cho:

( , )

b

∞

<

∫ , với mọi b b> 0, y U ∈

Khi ấy tồn tại n > sao cho với mọi 0 0 n≥n0, ta có a n≥ (vì { }b a tiến tới n ∞) Như vậy

n y I y

n a

∞

n a

∞

<

với mọi n n y U≥ 0, ∈ Chứng tỏ { ( )}ϕn y hội tụ đều tới I y trên U ( )

Định lý Giả thiết rằng hàm f xác định và liên tục trên miền [ , ) [ , ]a∞ ×α β và

a

∞

=∫ hội tụ đều trên [ , ] α β Khi ấy hàm ( ) I y liên tục trên

[ , ]α β

Chứng minh Lấy dãy { }a tiến dần ra +∞ , n a n> , và xét dãy hàm a

n a n a

Với mỗi n cố định, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số

với cận hữu hạn, hàm ϕn( )y liên tục trên [ , ]α β Áp dụng bổ để, { ( )}ϕn y hội tụ đều tới ( )I y Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều, ta kết luận hàm

giới hạn ( ) lim n( )

n

→∞

= liên tục trên [ , ]α β Định lý được chứng minh xong

Chú ý Đối với trường hợp hàm dương ( ( , )f x y ≥0), phần đảo của định lý trên

vẫn đúng (như định lý Dini đối với dãy hàm) Cụ thể là, nếu f liên tục và dương

trên miền [ , ) [ , ]a∞ ×α β , tích phân ( , )

a

f x y dx

∞

∫ hội tụ tới một hàm liên tục ( )I y

trên [ , ]α β , thì khi ấy tích phân trên hội tụ đều Để chứng minh điều này, xét dãy

a n n

a

ϕ

+

= ∫ hội tụ tới hàm liên tục ( ) I y

trên [ , ]α β Theo định lý Dini, dãy hàm này hội tụ đều, tức là với mọi ε > , tồn 0

tại n0 để:

n

a n

∞ +

− = ∫ < , với mọi n≥n y0, ∈[ , ]α β Khi ấy với mỗi b≥n0+ , a

( , )

b

f x y dx

∞

0

( , )

a n

∞ +

<

Chứng tỏ tích phân ( , )

a

f x y dx

∞

∫ hội tụ đều trên [ , ]α β

5.2.4 Tính khả vi

Định lý Giả thiết rằng

i) Hàm f liên tục và có đạo hàm riêng f ′ liên tục trên miền [ , ) [ , ] y a∞ × α β ;

a

∞

=∫ hội tụ trên [ , ]α β ;

a

f x y dx

∞

′

∫ hội tụ đều trên [ , ]α β

Khi ấy hàm ( ) I y khả vi trên [ , ] α β và đaọ hàm được tính theo công thức:

a

∞

′

Chứng minh Xét dãy hàm

a n n

a

ϕ

+

Với mỗi n cố định, theo định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với

cận hữu hạn, hàm ϕn( )y khả vi trên [ , ]α β và

a n

a

ϕ

+

′ = ∫ ′ , y∈[ , ]α β

n

→∞

a

f x y dx

∞

′

Theo bổ đề trong mục trước, dãy { ( )}ϕ′n y hội tụ đều trên tập [ , ]α β Áp dụng định

lý về tính khả vi của dãy hàm ta thu được tính khả vi của hàm ( )I y và

( ) [ lim n( )]

n

→∞

a

f x y dx

∞

′

Định lý được chứng minh xong

5.2.5 Tính khả tích

Định lý.Giả thiết rằng

i) Hàm f liên tục trên miền [ , ) [ , ] a∞ ×α β ;