Không gian Sobolev các hàm một biến

LèI CÁM ƠNKhóa lu¾n cna em đưoc hoàn thành vói sn giúp đõ chí báo cna cácthay cô trong to Giái tích, trong khoa Toán cna trưòng Đai hoc sưpham Hà N®i 2.. Nhân d%p này, em xin bày tó lòng

LèI CÁM ƠN

Khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thành vói sn giúp đõ chí báo cna cácthay cô trong to Giái tích, trong khoa Toán cna trưòng Đai hoc sưpham Hà N®i 2

Nhân d%p này, em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các thay

cô trong to Giái tích, trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là thay Tran Văn Bang ngưòi trnc tiep hưóng dan em trong quá trình thu th¾p tài li¾u,

nghiên cúu và hoàn thi¾n đe tài

Hà N®i, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Th% Nhung

LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cna thay

Tran Văn Bang cùng vói sn co gang cna bán thân Trong suot quá

trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n em có tham kháo m®t so tàili¾u cna m®t so tác giá (đã nêu trong muc tài li¾u tham kháo)

Em xin cam đoan nhung ket quá trong khóa lu¾n tot nghi¾p này làket quá nghiên cúu cna bán thân em, không trùng vói ket quá cna tácgiá khác Neu sai em xin hoàn toàn ch%u trách nhi¾m

Hà N®i, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Th% Nhung

Mnc lnc

LèI Mé ĐAU 3

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B± 5

1.1.Đ® đo Lebesgue 5

1.1.1 M®t so khái ni¾m 5

1.1.2 Đ® đo Lebesgue trên R 6

1.2.Tích ph ân Lebesgue 8

1.2.1 Đ%nh nghĩa 8

1.2.2 Các tính chat sơ cap 9

1.2.3 Chuy en qua giói han d ói ư dau tích phân 10

1.3.Không gian L p 10

1.3.1 Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cna không gian L p 10

1.3.2. Không gian đoi ngau cna L p (Ω) v ói 1 ≤ p ≤ ∞ 11

1.3.3 Tính c h¾p và sn chính quy hóa 12

1.3.4 Dãy chính hóa 13

1.3.5 Tiêu ch uan compact manh trong L p 13

Chương 2 KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM M®T BIEN 15 2.1.Đ®ng lnc 15

2.2.Không gian Sobolev W 1 ,p ( I ) 17

2.3.Không gian W 1,p 36

2.4.Không gian đoi ngau cna W 1 ,p ( I ) 38

0

0

2.5 Nghi¾m y eu cna bài toán biên đoi vói phương trình vi phân thưòng 40

KET LU¾N 53 TÀI LIfiU THAM KHÁO

LèI Mé ĐAU

Toán hoc là m®t môn khoa hoc gan lien vói thnc tien Sn phát triencna toán hoc đưoc đánh dau bang nhung úng dung cna nó vào các bàitoán thnc tien The giói tn nhiên cũng như xã h®i luôn bien đoi trongkhông gian và theo thòi gian Nói cách khác, nhung đ¾c trưng cna cácđoi tưong khoa hoc là hàm không gian, thòi gian và nhung yeu tokhác Do v¾y vi¾c nghiên cúu quá trình đ®ng cna tn nhiên cũng như

xã h®i thưòng dan đen vi¾c kháo sát m®t hay nhieu phương trình viphân thưòng hơn phương trình đao hàm riêng m®t khi các đai lưongnghiên cúu đã đưoc đ%nh lưong hóa bang các đai lưong toán hoc.Vào nhung năm đau th¾p kí 30 cna the kí XX, vi¾n sĩ Toán hocngưòi Nga Sobolev đã đã giói thi¾u m®t lóp không gian hàm đưoc

sú dung r®ng rãi trong lý thuyet phương trình đao hàm riêng nóichung, phương trình vi phân thưòng nói riêng là không gian Sobolev

Tù đó tró đi đã có nhieu không gian khác nua phuc vu cho sn pháttrien cna lý thuyet phương trình vi tích phân

Là sinh viên năm cuoi b¾c đai hoc, đe bưóc đau làm quen vóinghiên cúu khoa hoc và mong muon hieu biet thêm ve sn phát trien

cna Toán hoc em đã lna chon đe tài: “Không gian Sobolev các hàm m®t bien” làm khóa lu¾n tot nghi¾p.

Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n totnghi¾p gom hai chương:

Chương 1: Kien thúc chuan b%.

Chương 2: Không gian Sobolev các hàm m®t bien

Chương này trình bày khái ni¾m Không gian Sobolev các hàm m®tbien, các tính chat cơ bán cna các không gian đó và úng dung trongvi¾c nghiên cúu m®t so bài toán biên đoi vói phương trình vi phânthưòng cap hai theo phương pháp bien phân

Trong suot quá trình nghiên cúu em đã nh¾n đưoc sn t¾n tình giúp

đõ cna các thay cô trong to Giái tích – Khoa Toán cna trưòng Đai hoc

sư pham Hà N®i 2, đ¾c bi¾t là thay Tran Văn Bang M®t lan nua emxin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói các thay cô

Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien quý báu cna các thay

cô và các ban sinh viên đe đe tài này đưoc hoàn thi¾n hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B±

1.1 Đ® đo Lebesgue

1.1.1 M®t so khái ni¾m

a) Đai so và σ - đai so t¾p hap

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X là m®t t¾p tùy ý khác rong M®t lóp C các

t¾p con cna X đưoc goi là m®t đai so t¾p hop neu nó thóa mãn

X Khi đó luôn ton tai C (A) là đai so (tương úng σ - đai so) nhó nhat

các t¾p con cna X chúa A và goi là đai so (σ - đai so) sinh bói A.

Ví dn: Trong không gian Metric X, goi T là ho tat cá các t¾p mó (hay

tôpô) trên X σ - đai so C (T ) đưoc goi là σ - đai so Borel các t¾p

con cna X Moi t¾p thu®c C (T ) đưoc goi là m®t t¾p Borel Ta

thưòng kí hi¾u C (T ) là B (X).

b) Hàm c®ng tính

Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm t¾p µ xác đ%nh trên M, các t¾p con cna X,

1

µ (An) thì µ đưoc goi là σ - c®ng tính.

Neu ii) đưoc thay bói

1 µ (An) thì µ đưoc goi là σ - dưói c®ng tính.

1.1.2 Đ® đo Lebesgue trên R

Goi gian ∆ trên đưòng thang R là m®t t¾p hop điem có m®t trongcác dang sau:

(a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) , (−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞)

Goi C là lóp tat cá các t¾p hop con cna R có the bieu dien thành

hop cna m®t so huu han các gian ròi nhau

C = P : P = [ ∆i, ∆i ∩ ∆ j = φ (i ƒ= j) ,

i=1 n

trong đó ∆i là nhung gian, n là m®t so tn nhiên tùy ý Ta có C là m®t

đai so

* Vói moi gian ∆ đ¾t

∞

Khi đó µ ∗ là m®t đ® đo ngoài trên R, túc là µ ∗ là hàm t¾p không

âm σ - dưói c®ng tính trên ho tat cá các t¾p con cna R Theo Đ%nh lý Caratheodory (xem [4], trang 91) µ ∗ cám sinh m®t đ® đo µ trên m®t σ

- đai so L Đ® đo đó đưoc goi là đ® đo Lebesgue trên R Moi t¾p A ∈ L

đưoc goi là m®t t¾p đo đưoc Lebesgue hay đơn gián là L - đo đưoc.

Hơn nua ta còn có:

+ Moi t¾p Borel đeu là t¾p L - đo đưoc.

+ µ là đ® đo σ - huu han.

+ µ là đ® đo đn.

+ A là L - đo đưoc khi và chí khi A có bieu dien A = B\N ho¾c

A = B ∪ N Trong đó B là m®t t¾p hop Borel và N là m®t t¾p hop

có đ® đo 0

Đ%nh lý 1.1 M®t t¾p hop N trong R có đ® đo 0 khi và chí khi vói moi

ε > 0 có the tìm đưoc m®t h¾ (huu han hay đem đưoc) khoáng ∆k phú

N và có đ® dài tong c®ng nhó hơn ε S ∆k ⊃ N, |∆ k | < ε.

k k

H¾ quá 1.1 Moi t¾p hop huu han hay đem đưoc trên đưòng thang đeu

có đ® đo 0.

1.2 Tích phân Lebesgue

1.2.1 Đ%nh nghĩa

a) Tích phân cía hàm đơn gián

Đ%nh nghĩa 1.3 Trong m®t không gian X, vói m®t σ - đai so F và

m®t đ® đo µ trên F , cho m®t t¾p hop A đo đưoc (túc là A ∈ F ) và

m®t hàm

n đơn gián không âm trên t¾p hop A : f (x)

f (x) trên t¾p hop A đoi vói đ® đo µ là so

* f (x) ≥ 0 trên t¾p hop A Cho dãy hàm so đơn gián fn ≥ 0, đơn

đi¾u tăng và h®i tu tói f Ta goi tích phân cna f (x) trên t¾p hop A

và neu tích phân ay huu han thì ta nói f (x) khá tích Khi X = R, F =

đây ve sau các tích phân nói đen đeu đưoc hieu là tích phân Lebesgueneu không có giái thích gì thêm.

1.2.2 Các tính chat sơ cap

N®i dung cna muc này chn yeu trích tù tài li¾u [4]

Neu |f | ≤ g h.k.n trên A và g khá tích thì f cũng khá tích.

Neu f, g khá tích thì f ± g cũng khá tích Neu f khá tích, g giói

n®i thì fg cũng khá tích.

1.2.3 Chuyen qua giái han dưái dau tích phân

Đ%nh lý 1.2 (H®i tu đơn đi¾u) Neu 0 ≤ f n ƒ f thì ¸

1.3.1. Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cúa không gian L p

Cho Ω ⊂ R là m®t t¾p đo đưoc, L1 (Ω) là t¾p hop tat cá các hàm

đo đưoc Lebesgue và khá tích trên Ω

+ L p là m®t không gian Banach vói moi p, 1 ≤ p ≤ ∞.

1.3.2 Không gian đoi ngau cúa L p (Ω) vái 1 ≤ p ≤ ∞

Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lý bieu dien Riesz) Cho 1 < p < ∞ và φ ∈

(L p)∗ Khi đó ton tai m®t hàm duy nhat u ∈ L pr mà

ufdx ∀f ∈ L p

Neu Ω không mó thì Ck (Ω) là t¾p tat cá các hàm thu®c C k Ω mà

moi đao hàm đen cap k cna nó có the thác trien liên tuc trên Ω.

Vói f ∈ C (Ω), giá cna f là

Đ%nh lý 1.5 (Young) Lay f ∈ L1 (R) và g ∈ L p (R) vói 1 ≤ p ≤

∞ Khi đó vói moi x ∈ R hàm y ›→ f (x − y) g (y) dy là khá tích trên R và thóa mãn đ%nh nghĩa

M¾nh đe 1.1 Cho f ∈ L1 (R), g ∈ L p (R) và h ∈ L pr (R) Khi đó ta

Sau đây nói tói (ρn) thì ta luôn hieu đó là m®t dãy chính hóa

H¾ quá 1.2 Không gian C ∞ (Ω) là trù m¾t trong L p (Ω) vói moi 1 ≤

p < ∞.

H¾ quá 1.3 Cho Ω ⊂ R là m®t t¾p mó và giá sú u ∈ L1 (Ω) là hàm

sao cho ¸

Ω ufdx = 0, ∀f ∈ C ∞ (Ω) Khi đó u = 0 h.k.n trên Ω.

c

lo c c

Đ%nh lý 1.6 (Ascoli – Arzela) Cho K ⊂ R là m®t t¾p compact và H

là m®t t¾p con b% ch¾n cúa C (K) Giá sú H liên tnc đeu, đong b¾c,

nghĩa

là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

|x1 − x2| < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2)| < ε, ∀f ∈ H.

Khi đó bao đóng cúa H trong C (K) là compact.

Kí hi¾u (phép d%ch chuyen hàm): (τh f ) (x) = f (x + h) , x ∈ R, h ∈ R.

Đ%nh lý sau đây và h¾ quá cna nó là “L p – mô hình” cna Đ%nh lýAscoli

– Arzela

Đ%nh lý 1.7 (Kolmogorov – M Riesz – Frechet) Cho Ω ⊂ R là

t¾p đo đưoc và có đ® đo huu han, F là m®t ho b% ch¾n trong L p

(R) vói 1 ≤ p < ∞ Giá sú

lim "τh f − f" p = 0 đeu theo f ∈ F, (1.1)

|h|→0

túc là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho "τ h f − f" p < ε, ∀f ∈ F, ∀h ∈ R có |h| < δ.

p

Khi đó bao đóng cúa F |Ω trong L

cúa F trên Ω).

(Ω) là compact (ó đây F |Ω là han che

H¾ quá 1.4 Cho F là m®t t¾p b% ch¾n trong L p (R) vói 1 ≤ p < ∞.

Giá sú có (1.1) và ∀ε > 0, ∃Ω ⊂ R b% ch¾n, đo đưoc sao cho

"f" L p (R\Ω) < ε, ∀f ∈ F.

Khi đó F có bao đóng compact trong L p (R).

H¾ quá 1.5 Cho G là m®t hàm co đ%nh trong L1 (R) và F = G ∗ B

á

đó B là m®t t¾p b% ch¾n trong L p (R) vói 1 ≤ p < ∞ Khi đó F có bao

đóng compact trong L p (Ω) vói m®t t¾p đo đưoc Ω có đ® đo huu han.

|Ω

Chương 2 KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC

HÀM M®T BIEN

2.1 Юng lNc

Không gian Sobolev xuat hi¾n khi nghiên cúu các bài toán biên chophương trình vi phân bang phương pháp bien phân Đe hình dung veđieu này, ta xét bài toán sau:

Cho f ∈ C ([a, b]), tìm u thóa mãn



−u rr + u = f trên (a, b)

 u (a) = u (b) = 0.

(2.1)

Nghi¾m co đien (manh) cna (2.1) là m®t C2 – hàm trên [a, b] và

thóa mãn (2.1) theo nghĩa thông thưòng, vói bài toán này ta có the tìmđưoc công thúc nghi¾m co đien Tuy nhiên ta minh hoa phươngpháp bien phân qua bài toán này

Nhân (2.1) vói ϕ ∈ C1 ([a, b]), lay tích phân tùng phan, ta có:

cau u ∈ C2); hơn nua (2.2) có nghĩa vói ∀u, u r ∈ L1 (a, b) , vói u r là đao

hàm suy r®ng cna u (đ%nh nghĩa sau) Do v¾y ta có the đ%nh nghĩa

m®t hàm có đao hàm suy r®ng đen cap 1 thóa mãn (2.2) là m®tnghi¾m yeu cna (2.1)

Các bưóc cna phương pháp này như sau:

Bưác A: Đưa ra đ%nh nghĩa nghi¾m yeu Khái ni¾m này liên quan tói

không gian Sobolev

Bưác B: Chúng minh sn ton tai và tính duy nhat cúa nghi¾m yeu (nhò

Đ%nh lý Lax – Milgram)

Bưác C: Nghiên cúu tính chính quy cna nghi¾m yeu (chúng minh

nghi¾m yeu khá vi theo nghĩa thông thưòng)

Bưác D: Ta có nghi¾m yeu là nghi¾m co đien nhò ket quá: Moi

nghi¾m yeu thu®c C2 là m®t nghi¾m co đien

Chúng minh cna bưóc D là đơn gián Th¾t v¾y, giá sú u ∈ C2 ([a,

Theo H¾ quá 1.3 ta có −u rr + u = f h.k.n trên (a, b), do đó bang

không

trên [a, b] vì u ∈ C2 ([a, b])

c

2.2 Không gian Sobolev W1,p (I)

Giá sú I = (a, b) (có the không b% ch¾n), p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞.

Đ%nh nghĩa 2.1 Không gian Sobolev W1,p (I) đưoc đ%nh nghĩa bói

Khi p = 2 ta đ¾t W 1,2 (I) = H1 (I)

Vói u ∈ W 1,p (I), ta kí hi¾u u r = g (đao hàm suy r®ng cna u).

Chú ý 1: Trong đ%nh nghĩa W 1,p (I) ta goi ϕ là hàm thú Ta dùng C ∞ (I)

làm lóp hàm thú vì neu ϕ ∈ C1 (I) thì ρn ∗ ϕ ∈ C ∞ (I) vói n đn lón và

ρ n ∗ ϕ → ϕ trong C1 (tat nhiên ϕ = 0 bên ngoài I).

Chú ý 2: Rõ ràng neu u ∈ C1 (I)∩L p (I) và u r ∈ L p (I) (vói u r là đao

hàm thưòng cna u) thì u ∈ W 1,p (I) Hơn nua đao hàm thưòng trùng

vói đao hàm suy r®ng, đ¾c bi¾t neu I b% ch¾n thì C1 (I) ⊂ L p (I) ∀1

≤ p ≤ ∞.

Ví dn 2.1 Giá sú I = (−1, 1) Chúng minh rang

(i) Hàm u (x) = |x| thu®c W 1,p (I) vói ∀1 ≤ p ≤ ∞ và u r = g, trong đó



g (x) =  1 neu 0 < x < 1

−1 neu − 1 < x < 0.

Chúng minh: De thay u b% ch¾n trên I, nên u ∈ L p (I) Hơn nua hàm

g ∈ L p (I) và vói moi ϕ ∈ C ∞ (I) ta có:

c

c

c

(ii) Hàm g ó trên không thu®c W 1,p (I) , ∀1 ≤ p ≤ ∞.

Kí hi¾u: Không gian W1,p (I) đưoc trang b% vói chuan

"u"W1,p = "u" L p + "u r " L p

ho¾c khi 1 < p < ∞ thì đôi khi ta dùng chuan ("u"L p + "u" L p )p Không

gian H1 đưoc trang b% vói tích vô hưóng:

b

¸

(u, v) H1 = (u, v) L2 + (u r , v r)L2 =

a (uv + u r v r ) dx

Nó là phán xa neu 1 < p < ∞ và tách đưoc neu 1 ≤ p < ∞ Không

gian

H1 là không gian Hilbert tách đưoc.

ChNng minh (a) Giá sú (un) ⊂ W 1,p là dãy Cauchy, khi đó (un) và (u r n ) là dãy Cauchy trong L p.

Do đó un → u trong L p , u r n → g trong L p Ta có

u n ϕ r dx = − u n ϕdx ∀ϕ ∈ C1 (I) I

V¾y u ∈ W 1,p , u r = g và "un − u"W1,p → 0.

(b) W1,p – phán xa khi 1 < p < ∞ Rõ ràng không gian E = Lp (I)

× L p (I) là phán xa Toán tú T : W 1,p → E xác đ%nh bói T n = [u, u r]

là m®t đang cau tù W1,p vào E Mà W 1,p là không gian Banach nên

T .W1,p là m®t không gian con đóng cna E Do E – phán xa nên T

W1,p – phán

xa H¾ quá là W1,p – phán xa

(c) W1,p – tách đưoc vói 1 ≤ p < ∞ Rõ ràng không gian E = L p (I)

× L p (I) – tách đưoc Do đó T .W1,p cũng tách đưoc Do đó W1,p –tách đưoc

Chú ý 3: Can ghi nhó đieu đã sú dung trong chúng minh cna M¾nh đe

2.1 là: “Giá sú {u n } ⊂ W 1,p sao cho un → u trong L p và u r n → g trong

L p thì u ∈ W 1,p và "u n − u"W1,p → 0” Thnc te, khi 1 < p ≤ ∞ ta chí

1,p

can tói un → u trong L p và "u r n " L p b% ch¾n là ket lu¾n đưoc u ∈ W

Đ%nh lý 2.1 Giá sú u ∈ W 1,p (I) vói 1 ≤ p ≤ ∞ (I có the không b

% ch¾n) Khi đó ton tai m®t hàm u ˜ ∈ C .I sao cho u = u˜ h.k.n

u r (t) dt, ∀x, y ∈ I.

Chú ý 4: Trưóc het chú ý rang neu u ∈ W 1,p thì vói moi v sao cho v = u h.k.n trên I đeu thu®c W 1,p (suy tù đ%nh nghĩa cna W1,p) Đ%nh lý

2.1 khang đ%nh rang duy nhat moi hàm u ∈ W 1,p có (duy nhat) m®t

đai di¾n liên tuc trên I túc là ton tai duy nhat m®t hàm liên tuc trên

I thu®c lóp tương đương cna u (v ∼ u neu v = u h.k.n trên I) Khi

đó se rat huu ích đe ta thay u bói đai di¾n liên tuc cna nó (khi đó u (x) có nghĩa

∀x ∈ I¯) Đe đơn gián kí hi¾u ta viet u là đai di¾n liên tuc cna nó Cuoi

cùng can chú ý rang tính chat “u có m®t đai di¾n liên tuc” không đong nhat vói “u liên tuc h.k.n”.

Chú ý 5: Theo Đ%nh lý 2 1 neu u ∈ W 1,p và neu u r ∈ C .I¯ (túc là u r

có

m®t mó r®ng liên tuc trên I) thì u ∈ C1 .I¯ Cu the hơn, u˜ ∈ C1 .I¯.

và như đã nói trên ta không phân bi¾t u và u˜.

Đe chúng minh Đ%nh lý 2.1 ta se sú dung các bo đe sau:

Bo đe 2.1 Giá sú f ∈ L1 (I) sao cho

¸

I

Khi đó ton tai m®t hang so C sao cho f = C h.k.n trên I.

ChNng minh Co đ%nh ψ ∈ C c (I) sao cho ¸

c

c

¸

ωdx ψ dx = 0 ∀ω ∈ C c (I)

f −  I I

c

¸

Hơn nua, ta có the lay C = "u" L p (I)

ChNng minh (i) ⇒ (ii): Hien nhiên.

(ii) ⇒ (i): Phiem hàm tuyen tính

uϕ r dx

xác đ%nh trên m®t không gian con trù m¾t cna L p r (vì p r < ∞) và liên

tuc đoi vói L pr – chuan Do v¾y nó đưoc thác trien thành phiem hàm

tuyen tính b% ch¾n F trên L pr (Đ%nh lý Hahn – Banach) Theo Đ%nh

lý Riesz (Đ%nh lý 1.4) ton tai g ∈ L p sao cho

gϕdx ∀ϕ ∈ C1.

Chú ý 7: (Hàm liên tuc tuy¾t đoi và hàm bien phân b% ch¾n) Khi p =

1 thì (i) ⇒ (ii) van đúng nhưng đieu ngưoc lai thì chưa chac Th¾t v¾y, giá sú I – b% ch¾n, u ∈ W 1,1 (I), u – đưoc goi là hàm liên tuc

Đong thòi hàm u thóa mãn (ii) vói p = 1 đưoc goi là hàm vói bien

phân b% ch¾n Hàm này có rat nhieu tính chat đ¾c trưng khác nhau như:

(a) Nó là hi¾u cna hai hàm không giám và b% ch¾n (có the không liên

 |u (ti+1) − u (ti)| ≤ C ∀t0 < t1 < < t k trên I i=1

(c) Là hàm u ∈ L1 (I) mà có đao hàm so riêng là m®t đ® đo b% ch¾n.



Lưu ý: Các hàm vói bien phân b% ch¾n không nhat thiet có đai

di¾n liên tuc

M¾nh đe 2.3 Hàm u ∈ L ∞ (I) thu®c W 1,∞ (I) khi và chí khi ton tai

m®t hang so C sao cho:

|u (x) − u (y)| ≤ C |x − y| h.k.n x, y ∈ I.

ChNng minh Neu u ∈ W 1,∞ (I) thì theo Đ%nh lý 2.1 ta có

|u (x) − u (y)| ≤ "u r " L ∞ |x − y| vói h.k.n x, y ∈ I.

Ngưoc lai, vói ϕ ∈ C1 (I), h ∈ R vói |h| nhó ta có:

(các tích phân này có nghĩa vói h nhó vì ϕ có giá compact trong I)

Tù đây và giá thiet ta có

Mô hình L p là cna M¾nh đe 2.3

M¾nh đe 2.4 Cho u ∈ L p (R) vói 1 < p < ∞ Các khang đ%nh sau

đây là tương đương:

c

(i) u ∈ W 1,p (R).

(ii) Ton tai hang so C sao cho ∀h ∈ R, "τ h u − u" L p(R) ≤ C |h|

Hơn nua ta có the chon C = "u r " L p(R) trong (ii).

nên ta suy ra (ii).

(ii) ⇒ (i) Lay ϕ ∈ C1 (R) Vói ∀h ∈ R ta có

¸

¸

[u (x + h) − u (x)] ϕ (x) dx =

R R

u (x) [ϕ (x − h) − ϕ (x)] dx.

Sú dung bat đang thúc Holder và (ii) ta có

¸

R

.¸

R

[u (x + h) − u (x)] ϕ (x) dx. ≤ C |h| "ϕ" L pr (R),

Áp dung M¾nh đe 2 2 ta suy ra u ∈ W 1,p (R)

M®t so phép toán giái tích chí thnc hi¾n vói hàm xác đ%nh trêntoàn R (như tính ch¾p, bien đoi Fourier) Vì v¾y vi¾c có the thác

trien m®t hàm u ∈ W 1,p (I) thành m®t hàm u¯ ∈ W 1,p (R) có ý nghĩarat lón Đ%nh lý sau cho ta đieu đó

Đ%nh lý 2.2 (Toán tú thác trien) Cho 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó có m®t toán

tú tuyen tính b% ch¾n P : W 1,p (I) → W 1,p (R), goi là toán tú thác trien

( i ) P u |I = u ∀u ∈

W

(I)

(ii) "P u" L p(R) ≤ C"u" L p (I) ∀u ∈ W (I),

(iii) "P u" 1,p ≤ C"u" 1,p ∀u ∈

1