Cấu trúc (DN) và (DNφ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình

Nguyen Văn Hào, lu¾n văn tot nghi¾p “Cau trúc DN và DN ϕ cúa đoi ngau cúa không gian mam các hàm chính hình” đưoc hoàn thành bói sn nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùng

LèI CÁM ƠN

Tác giá xin trân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc;các Giáo sư, Tien sĩ cùng toàn the các thay giáo, cô giáo trong KhoaToán Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, đã đ®ng viên giúp đõ và taođieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trìnhhoc t¾p, thnc hi¾n đe tài và nghiên cúu khoa hoc Đ¾c bi¾t, em xin bày

tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đã đ%nh hưóng chon

đe tài và t¾n tình chí báo giúp đõ em hoàn thành Lu¾n văn này

Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐTtính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Ngô Gia Tn huy¾n L¾p Thach tínhVĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p và hoàn thànhlu¾n văn

Do thòi gian và kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khóinhung han che và thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn đãnh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các banhoc viên

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011

Tác giá

Pham Quoc Huy

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn tot nghi¾p “Cau trúc (DN ) và (DN ϕ) cúa đoi ngau cúa không gian mam các hàm chính hình” đưoc hoàn thành bói sn

nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùng vói bat kỳ lu¾nvăn nào khác

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011

Tác giá

Pham Quoc Huy

Mnc lnc

Mé

ĐAU 1

1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 4 1.1 Không gian loi đ%a phương 4

1.2 Đoi ngau v à tô p ô yeu 11

1.3 Pôla 13

1.4 Tích tensor cna các không gian loi đ%a phương 16

1.4.1 Tíc h ten sor xa ánh 16

1.5 Đa thúc trên không gian loi đ%a phương 18

1.6 Ánh xa c hính hình 24

1.7 T ô p ô trên không gi an các ánh xa c hính hình 28

1.8 không gian mam cá c hàm c hính hình 30

2 CAU TRÚC (DN) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG GIAN ¯ ¯ ¯ MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH 33

2.1 Khái ni¾m v e bat bien tô p ô tuyen tính ( DN ) 34

¯ ¯ ¯ 2.1.1 Lưu ý 34

2.2 M®t so đieu ki¾n tương đương 34

2.3 M®t so ví du 45

ii

2.3.1 Không gia n d ã y K ¨ othe 45

2.3.2 Không gian các dãy giám nhanh 46

2.3.3 Không gian các chuoi lũy thùa 46

2.4 Cau trúc (DN) cna không gian [H(OE )]∗ 47

¯ ¯ ¯ 2.5 Cau trúc (DN) cna không gian [H(K)]∗ 51

¯ ¯ ¯ 3 CAU TRÚC (DN ϕ) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH 55 3.1 M®t so khái ni¾m và ví du 55

3.2 Cau trúc (DN ϕ ) cna không gian [H(O E )]∗ 56

3.3 Cau trúc (DNϕ ) cna không gian [H(K)] ∗ 57

KET LU¾N 63

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Tù ket quá cna Mujica [10], không gian mam H(K) là chính quy, vói t¾p compact K trong không gian Frechet E Tù đó, ta suy ra rang [H(K)] ∗ là m®t không gian Frechet Không gian Frechet là m®ttrưòng hop đien hình cna không gian loi đ%a phương khá metric đayvói nhieu tính chat đ¾c trưng cna giái tích phúc vô han chieu Vi¾cnghiên cúu sâu ve lóp không gian này có đưoc nhò vào các tính chat tô

pô đ¾c trưng cna nó Các bat bien tô pô tuyen tính đã đưoc đe xuat tùnhung năm 1980 và đen nay đã tró thành m®t hưóng nghiên cúuđưoc nhieu nhà Toán hoc quan tâm Các bat bien tô pô tuyen tínhđem lai nhung đ¾c trưng đep đe cho lóp không gian Frechet Nhungket quá đat đưoc ve sn phân loai lóp các không gian này cũng đem lainhieu áp dung cho nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc giái tích

Cau trúc cna không gian [H(K)] ∗ cũng đã đưoc m®t so tác giá

quan tâm nghiên cúu Chang han, khi E = Cn, Zaharjuta [16] đãchúng tó rang [H(K)] ∗ có tính chat.Ω khi và chí khi K là t¾p

compact và L

- chính quy Ket quá cna Meise -Vogt [9] ve cau trúc loai (Ω) đoi vóicác không gian mam các hàm chính hình xác đ%nh trên các không gianFrechet hach, đã đưoc P T Danh – N V Khuê [3] mó r®ng tói trưònghop đoi vói không gian Frechet Các cau trúc loai Ω và Ω˜ cnalóp

không gian này cũng đã đưoc N V Đông [6] nghiên cúu M®t so đ¾ctrưng đoi vói cau trúc (LB ∞ ), (DN ) và Ω˜ cna lóp không gian

Bo cuc cna lu¾n văn ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháođưoc trình bày trong ba chương

Chương 1 Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các

khái ni¾m và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian loi đ%aphương; các khái ni¾m ve c¾p đoi ngau tô pô pôla; tích tensor; đa thúctrên không gian loi đ%a phương và m®t so khái ni¾m ve ánh xa chínhhình và tô pô trên không gian các ánh xa chính hình

Chương 2 Trình bày khái ni¾m ve bat bien tô pô (DN ) , đưa ra

m®t so đieu ki¾n tương đương và ví du ve bat bien tô pô tuyen tính

(DN ) Trình bày hai ket quá ve cau trúc (DN ) cna đoi ngau cna

không gian mam hàm chính hình

Chương 3 Trong chương này chúng tôi trình bày khái ni¾m ve bat

bien tô pô tuyen tính (DN ϕ) trên không gian Frechet Hai ket quá chínhtrong chương này là đe không gian [H(O E )]∗ có tính chat (DN ϕ) thì

E là m®t không gian Frechet ti¾m c¾n chuan có cơ só tuy¾t đoi; đoi vói

đoi ngau cna không gian mam cna các hàm chính hình [H(K)] ∗ có tínhchat (DN ϕ ) thì K phái là t¾p compact cân trong không gian Frechet

Hilbert ti¾m c¾n chuan

2 Mnc đích nghiên cNu

Lu¾n văn nghiên cúu ve cau trúc (DN ) và (DN ϕ) cna đoi ngau cna không gian mam các hàm chính hình

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu ve bat bien tô pô tuyen tính (DN ), (DN ϕ) trên

không gian Frechet

Nghiên cúu cau trúc (DN ) và (DN ϕ ) cna không gian [H(O E )]∗

và không gian [H(K)]∗

4 Phương pháp nghiên cNu

Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u

Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.

5 DN kien đóng góp lu¾n văn

Trình bày m®t cách h¾ thong ve bat bien tô pô tuyen tính trên lópkhông gian Frechet cùng các đieu ki¾n tương đương cna nó thông quah¾ cơ só lân c¾n h¾ đem đưoc các núa chuan xác đ%nh tô pô cna nó

Đưa ra m®t so đieu ki¾n tương đương cna các t¾p compact K trong không gian Frechet E đe tù đó xác đ%nh cau trúc (DN ) và (DN ϕ) cna các không gian Frechet [H(OE )]∗ và [H(K)]∗

Chương 1

M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho E là m®t không gian véc tơ và A là m®t t¾p

iii) T¾p A đưoc goi là loi tuy¾t đoi neu nó đong thòi loi và cân.

iv) T¾p tat cá các to hop tuyen tính huu han

n

λ i x i vói λ i ≥ 0,

i= 1

n

λ i = 1, x i ∈ A

i=1

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A.

v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ A, ton tai λ > 0 sao cho

x ∈ µA vói moi µ mà |µ| ≥ λ

Đ%nh nghĩa 1.1.2 M®t không gian véc tơ có m®t cơ só gom nhung lân

c¾n cân loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ loi đ%a phương

4

(không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.1.3 a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ tô pô loi đ%a

phương trên K (K = C ho¾c K = R) M®t hàm p xác đ%nh trên E có

giá tr% thnc và không âm (huu han) đưoc goi là núa chuan neu vói moi

M¾nh đe 1.1.1 Trong m®t không gian loi đ%a phương E, m®t núa

chuan, p là liên tnc khi và chs khi nó liên tnc tai điem goc.

ChNng minh Neu p liên tuc tai điem goc và ε > 0 là m®t so cho trưóc

thì ton tai m®t lân c¾n V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V Do đó, vói a m®t điem tuỳ ý cna E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a + V.

Q

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan

neu tô pô cna nó có the xác đ%nh đưoc bói m®t chuan p.

M¾nh đe 1.1.2 Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và chs

khi nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc Tô pô cúa m®t không gian khá metric luôn có the xác đ%nh đưoc bói m®t metric, bat bien đoi vói các phép t%nh tien.

ChNng minh Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t

cơ só đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc

Ngưoc lai, giá sú E có m®t cơ só lân c¾n đem đưoc Khi đó, bói vì

moi lân c¾n đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nên ton tai m®t cơ só

(u n ) nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi Goi p n là hàm cõ cna u n

x = 0 Đ¾t d (x, y) = f (x − y) thì d là m®t metric và

d (x + z, y + z) = d (x, y) Như v¾y d là bat bien đoi vói các phép t%nh tien Trong tô pô metric,

các t¾p hop

V n = .x : f (x) < 2 −n.l¾p thành m®t cơ só lân c¾n Nhưng V n là mó đoi vói tô pô xuat phát

bói moi p n và cá f liên tuc Hơn nua V n ⊂ U n , bói vì neu x

Đ%nh nghĩa 1.1.5 M®t phiem hàm dưói tuyen tính ϕ (x) (trong không

gian thnc hay phúc) là m®t sơ chuan neu ϕ (αx) = |α| ϕ (x) vói moi x ∈ X và moi so α ∈ K.

M¾nh đe 1.1.3 M®t hàm p : X → R là sơ chuan khi và chs khi nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t sơ chuan khi và chs khi nó

là m®t hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa tron m®t đưòng thang nào.

ChNng minh Neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì hàm cõ p B cna nónghi¾m đúng đang thúc

Do đó

p B (−x) = p B (x)

B

(

α x

)

=

− α p

B

(

− x

)

,

vóimoi

α

<

0

.

Đieu đó chúng tó rang p B (αx) = |α| p B (x) ; vói moi α và p B là m®t sơchuan.

Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p (x) < 1} loi

vì vói x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có

p (αx + (1 − α) y) ≤ αp (x) + (1 − α) p (y) < 1 Hơn nua B là cân đoi vì p (x) < 1 kéo theo p (−x) = p (x) < 1 và

B cũng là hút vì neu x ∈ X và λ > p(x) thì p (x/λ) = p (x) /λ <

1 De thay p (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p (x) = p B (x) Sau cùng, neu p là m®t chuan thì vói moi x ƒ= 0, p (x) > 0 cho nên

p (αx) = αp (x) ≥ 1 (vói α đn lón), túc là αx ƒ= B, chúng tó B

M¾nh đe 1.1.4 Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ

chuan Γ tùy ý Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai

so, trong đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc Tô pô ay loi đ%a phương và nh¾n làm cơ só lân c¾n cúa goc ho tat cá các t¾p có dang

túc là theo m¾nh đe 1.1.3, moi sơ chuan p ∈ Γ là liên tuc Tô pô ay

loi đ%a phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang

n

ε

i ∩

=1 V i (ε > 0, V i ∈ B0)

p i (x) < ε

Nghĩa là t¾p ε V i (ε > 0, V i B0) chính là các t¾p (1.1).

i=1

M¾t khác, X là không gian Hausdorrff khi và chí khi giao cna tat cá các

t¾p (1.1) là {0} , mà đieu này lai tương đương vói: bat kỳ x ƒ= 0 tontai m®t t¾p (1.1) không chúa x, túc là ton tai m®t so ε > 0 và m®t p

∈ Γ

Đ%nh nghĩa 1.1.6 a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc

xác đ%nh bói m®t ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thoá mãnđieu ki¾n tách (1.2) goi là không gian đem đưoc chuan

b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là không gian Frechet.Như v¾y moi không gian Banach (Không gian đ%nh chuan đn) đeu làkhông gian Frechet

c) M®t t¾p loi, cân đoi, đóng và hap thu trong m®t không gian loiđ%a phương goi là m®t thùng M®t không gian loi đ%a phương trong đómoi thùng đeu là lân c¾n cna điem goc goi là không gian thùng vói moikhông gian Frechet là không gian thùng

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tuỳ ý Vói moi α

∈ I và υ α : E → E α là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian véc tơ E vào không gian loi đ%a E α Tô pô xa ánh trên E là tô pô yeu nhat trên E sao cho tat các các ánh xa υ α là liên tuc

Tô pô xa ánh trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính

η : G → E cna m®t không gian véc tơ G vào E là liên tuc khi và chí khi

υ α ◦ η là liên tuc vói moi α ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng Vói moi α ∈ I, cho

}

∩

E α là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤ β, ton tai m®t ánh xa tuyen tính liên tuc u αβ : E α → E β sao cho

i) u αα là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.

ii) u αβ ◦ u βγ = u αγ , vói moi α ≤ β ≤ γ.

Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {E α , u αβ } đưoc goi

là m®t h¾ xa ánh Không gian con

M¾nh đe 1.1.5 Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh cúa

m®t ho không gian đ%nh chuan.

ChNng minh Cho X là m®t không gian loi đ%a phương bat kỳ, Γ là

m®t ho sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X Ta biet trong m®t

không gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói ho các t¾p

b% ch¾n nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p −1 (0) là m®t không gian

con cna X và p xác đ%nh m®t chuan trên không gian thương X p = X/p −1 (0)

Khi ay, goi u p là ánh xa cho tương úng vói x ∈ X phan tú x˜ ∈ X p (

x˜

là lóp các x r ∈ X vói p (x r − x) = 0 ) và theo m¾nh đe 1.1.4 ta thay X

chính là giói han xa ánh cna các X p đoi vói u p Q

M¾nh đe 1.1.6 [12] Giói han xa ánh cúa ho các không gian loi đ%a

phương đay là đay.

M¾nh đe 1.1.7 [12] Neu E là không gian loi đ%a phương Hausdorff và

đay thì

E = lim proj Eˆ/ ker α

α

ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.

M¾nh đe 1.1.8 [12] Cho E là giói han xa ánh cúa các không gian loi

đ%a phương E α đoi vói các ánh xa υ α M®t t¾p M trong E b% ch¾n khi và chs khi υ α (M ) cũng b% ch¾n.

Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho I là m®t t¾p chí so đ%nh hưóng tuỳ ý Vói

moi α ∈ I, cho υ α : E α → E là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian loi đ%a phương E α vào không gian véc tơ E = ∪

α υ α (E α ) Tô pô quy nap trên E là tô pô manh nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa υ α làliên tuc

Tô pô quy nap trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính

η : E → C là liên tuc khi và chí khi η ◦ υ α là liên tuc vói moi α ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.1.10 Cho không gian véc tơ E là hop cna m®t ho các

không gian loi đ%a phương {E α } đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm

và moi ánh xa bao hàm E α → E β là liên tuc Khi đó, E đưoc trang b% bói tô pô quy nap vói các ánh xa bao hàm E α → E đưoc goi là giói han quy nap cna các không gian con E α và đưoc ký hi¾u bói

E = lim ind E α

α

Ví dn 1.1.1 Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là không

gian thương Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t không gian tuyen tính con cna X0 và X = X0/M Goi υ là ánh xa chính tac tù

X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tương

đương x˜ chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a phương manh nhat đe η liên tuc.

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho E = lim ind E α là giói han quy nap cna các

α

không gian con E α Khi đó ta nói rang

i) E là giói han quy nap ch¾t neu E α có tô pô cám sinh cna F β moi

khi E α ⊂ E β

ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.

iii) E là giói han quy nap chính quy neu moi t¾p b% ch¾n cna E là b% chúa và b% ch¾n trong E α

iv) E là giói han quy nap chính quy Cauchy neu cho trưóc B ⊂ E b% ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong E α và ngoài ramoi lưói {x α } ⊂ B là E - Cauchy neu và chí neu nó là E α - Cauchy.

M¾nh đe 1.1.9 [12] Cho E = lim ind E n là giói han quy nap ch¾t cúa

n

m®t dãy các không gian con E n thì

i) Moi E n có tô pô cám sinh cúa E.

ii) Neu E n trong E n+1 vói moi n thì E = lim ind E n là giói han quy

n

nap chính quy Cauchy.

iii) Neu moi E n là Hausdorff và đay thì E là Hausdorff và đay.

Đ%nh nghĩa 1.2.1 M®t c¾p đoi ngau là b® ba (E, F ; (·)) ho¾c viet (E, F ) trong đó

i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng vô hưóng ii) (·) : E × F → K là dang song tuyen tính thoá mãn

D E ) neu (x, u) = 0, vói moi u ∈ F thì x =

0 D F ) neu (x, u) = 0, vói moi x ∈ E thì u

= 0.

Ta có (·) : E × F → K là song tuyen tính neu

a) Vói moi u ∈ F ánh xa x ›→ (x, u) là dang tuyen tính trên E b) Vói moi x ∈ E ánh xa u ›→ (x, u) là dang tuyen tính trên F.

Ví dn 1.2.1 Neu(E, F) là c¾p đoi ngau thì dang (u, x) ›→ (x, u)

xác đ%nh c¾p đoi ngau (F, E)

Ví dn 1.2.2 Giá sú E là không gian véc tơ và E ∗ là đoi ngau đai so cna

nó Khi đó dang (x, u) ›→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E ∗ xác đ%nh c¾p đoingau (E, E∗ )

Ví dn 1.2.3 Giá sú E là không gian loi đ%a phương Hausdorff vói đoi

ngau tô pô E r Khi đó dang (x, u) ›→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E r cho ta c¾pđoi ngau (E, Er )

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Giá sú (E, F) là c¾p đoi ngau Vói moi u ∈ F xác đ%nh núa chuan p u trên E.

ChNng minh Do (D E , σ (E, F )) là Hausdorff Vì p u liên tuc vói

moi u ∈ F, suy ra F ⊂ (E, σ (E, F )) r M¾t khác giá sú f ∈ (E, σ (E, F )) r , khi đó ton tai u1, u2, , u n và ε > 0 sao cho

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Giá sú (E, F) là c¾p đoi ngau Tô pô loi đ%a phương

ξ trên E goi là tô pô cna c¾p đoi ngau (E, F) Neu (E, ξ) r = F.

M¾nh đe 1.2.2 Neu (E, F) là c¾p đoi ngau và A là t¾p con loi cúa E, thì A có cùng bao đóng trong moi tô pô cúa c¾p đoi ngau (E, F)

ChNng minh Ta chí can chúng tó

cA ξ A = cA σ (E,F ) A, vói moi tô pô ξ cna c¾p đoi ngau (E, F) Trong đó cA ξ A ký hi¾u bao đóng cna A đoi vói ξ Trưóc het do σ (E, F ) ≤ ξ nên cA ξ A ⊆ cA σ (E,F ) A.

Giá sú a

∈/

cA ξ A, chon lân c¾n loi mó U cna 0 ∈ E đoi vói tô pô ξ

sao cho (a + U ) ∩ A = ∅ Do đó, ton tai f ∈ (E, ξ) r = F sao

đưoc goi là m®t pôla (trong E r ) cna A và ký hi¾u bói A0.

M¾nh đe 1.3.1 Giá sú (E, E r ) là m®t c¾p đoi ngau Pôla trong E r cúa các t¾p con cúa E có các tính chat sau đây

i) Aolà loi, cân và σ (E, E r ) - đóng.

ChNng minh (i) Ta có A là loi, cân trong F M¾t khác tù h¾ thúc

f ∈ (E, σ (E, F )) r = F

0 vói moi lân c¾n U cúa 0 ∈ E đoi vói ξ.

ii) F = U .U 0 : U ∈ u ó đây u là cơ só lân c¾n bat kỳ cúa 0 ∈ E.

M¾nh đe 1.3.3 Giá sú E là không gian véc tơ Khi đó E# là đay đoi vói σ .E#, E - tô pô.

ChNng minh Th¾t v¾y cho {u α } α∈I là dãy suy r®ng Cauchy trong

E#

E#

E#

E#

x ›→ (x, u) xác đ%nh u ∈ E# và {u α } h®i tu tói u đoi vói σ .E#, E tô

M¾nh đe 1.3.4 Neu E là không gian loi đ%a phương tách và U là m®t

cơ só lân c¾n cúa 0 ∈ E thì đoi ngau (tô pô) E r cúa E là t¾p hop

E r = ∪ .U 0, u ∈ U Trong đó U 0 đưoc lay trong đoi ngau đai so

E ∗

ChNng minh Vói moi x r ∈ E r thì x r là m®t dang tuyen tính liên tuc trên

E Nên có the tìm đưoc u ∈ U sao cho |(x, x r )| ≤ 1 V¾y x r ∈ U 0, u ∈

U và do đó x r ∈ ∪ .U 0, U ∈ u Ngưoc lai giá sú x r ∈ E ∗ và x r ∈ U

0 vói U ∈ u nào đó, the thì x r liên tuc trên E, V¾y x r ∈ E. Q

1.4.1 Tích tensor xa ánh

Giá sú E, F, G là các không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng K và

h : E × F → G ánh xa h goi là song tuyen tính neu vói moi y ∈ F co đ%nh ánh xa

h y : E → G

là tuyen tính và cũng như v¾y ánh xa

h x : F → G

là tuyen tính Trưòng hop G = K thì h đưoc goi là dang song tuyen

tính Ký hi¾u

T ∗ = { h : E × F → K : h là dang song tuyen tính }.

Khi đó T ∗ là các không gian véc tơ vói các phép toán cám sinh tù các

phép toán cna E, F, K sao cho

(h1 + h2) (x, y) = h1(x, y) + h2(x, y)

(th) (x, y) = th(x, y)

xét (T ∗)# là đoi ngau đai so cna T ∗ và ánh xa chính tac

ϕ : E × F → (T ∗)#cho bói

(ϕ(x, y)) (h) = h(x, y), (x, y) ∈ (E × F ), h ∈ T ∗

Khi đó Imϕ nói chung không là không gian vé tơ con cna (T ∗)# .

Không gian véc tơ con cna (T ∗)# sinh bói Imϕ đưoc ký hi¾u là E ⊗ F

và goi là tích tensor cna E và F Ta ký hi¾u ϕ(x, y) = x ⊗ y.

(T ∗ , E ⊗ F ) là m®t c¾p đoi ngau vói dang song tuyen tính cho bói

Hơn nua T ∗ là đoi ngau đai so cna E ⊗ F : T ∗ = (E ⊗ F )# .

Th¾t v¾y moi phan tú cna T ∗ là dang song tuyen tính trên (T ∗)# và

do đó nó là dang tuyen tính trên E ⊗F nên nó thu®c (E ⊗ F )# Ngưoc lai, vói moi dang tuyen tính f trên E ⊗ F tưòng úng vói phan tú

f ◦ ϕ ∈ T ∗ V¾y tích tensor E ⊗ F có tính chat đoi ngau đai so cna

nó là không gian các dang song tuyen tính trên E × F.

M¾nh đe 1.4.1 [1] Giá sú E, F, G là các không gian trên véc tơ trên

trưòng K và ϕ là ánh xa chính tac tù E × F vào E ⊗ F Khi đó moi ánh xa tuyen tính f : E ⊗ F → G tương úng vói ánh xa song tuyen tính

f ◦ ϕ : E × F → G Tương úng đó xác đ%nh m®t đang cau cúa không gian véc tơ các ánh xa tuyen tính cúa E ⊗ F vào G lên không gian véc

tơ các ánh xa song tuyen tính cúa E × F vào G.

M¾nh đe 1.4.2 [1] Giá sú E và F là hai không gian loi đ%a phương

trên cùng m®t trưòng K và ϕ : E × F → E ⊗ F là ánh xa chính tac Ton tai m®t tô pô loi đ%a phương manh nhat trên E ⊗ F đe ϕ liên tnc Neu u và v là các cơ só lân c¾n trong E và F thì các bao loi, cân cúa các t¾p hop ϕ (U, V ) (U ∈ u, V ∈ v) l¾p thành m®t cơ só lân c¾n cúa

tô pô ay trên E ⊗ F M®t ánh xa tuyen tính f cúa E ⊗ F vói tô pô ay vào

không gian loi đ%a phương G là liên tnc khi và chs khi ánh xa song tuyen tính f ◦ ϕ cúa E × F vào G là liên tnc.

M¾nh đe 1.4.3 [1] Neu E và F là các không gian loi đ%a phương

Hausdorff thì E F cũng là không gian loi đ%a phương Hausdorff.

π

M¾nh đe 1.4.4 [1] Giá sú E và F là hai không gian loi đ%a phương

khá metric, khi đó E ˆ F là không gian Frechet và vói moi t¾p hoàn toàn

M¾nh đe 1.4.5 [1] Giá sú s là ánh xa tuyen tính liên tnc tù không

gian Frechet E là không gian Frechet F Khi đó đoi vói moi không gian Frechet G, ánh xa

π

π

Đ%nh nghĩa 1.5.1 Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trưòng so

phúc M®t ánh xa L : E n → F đưoc goi là n tuyen tính trên E neu nó

⊗

⊗

π

⊗

tuyen tính theo tùng bien, moi khi co đ%nh các bien còn lai Ta ký hi¾u

L a (n E; F ) là t¾p hop tat cá các ánh xa n tuyen tính tù E vào F.

Đ%nh nghĩa 1.5.2 M®t ánh xa n tuyen tính L : E n → F đưoc goi là

đoi xúng neu

L (x1, x2, , x n ) = L .x σ(1), x σ(2), , x σ (n) , vói moi x1, x2, , x n ∈ E và σ là phép hoán v% bat kỳ cna n so tn

nhiên đau tiên Ta ký hi¾u L s (n E; F ) là không gian véc tơ cna tat cá

các ánh xa n tuyen tính đoi xúng tù E vào F.

M®t ánh xa n tuyen tính đoi xúng có the liên ket vói ánh xa n tuyen

tính bói toàn ánh chính tac s : L a (n E; F ) → L s (n E; F ) đưoc xác đ

Đ%nh nghĩa 1.5.3 Giá sú E và F là hai không gian véc tơ tô pô loi

đ%a phương trên C M®t ánh xa P : E → F đưoc goi là m®t đa thúc n

thuan nhat neu ton tai m®t ánh xa n tuyen tính L : E → E n sao cho

P = L ◦ ∆, trong đó ∆ (x) = x n ; x ∈ E Ký hi¾u P a (n E; F ) là

không gian véc tơ cna tat cá các đa thúc n thuan nhat tù E vào F

M®t đa thúc tù E vào F là m®t tong huu han cna các đa thúc thuan

nhat tù E vào F Ta ký hi¾u P a (E; F ) là không gian véc tơ tat cá

các đa thúc tù E vào F.

Ví dn 1.5.1 Giá sú L : C n × C n → C là m®t ánh xa 2 tuyen tính trên

Cn Khi đó ton tai m®t ma tr¾n A = (a ij )1

a

≤ ≤ ≤ ≤ a ij z i w j ,

vói moi z = (z1, z2, z n ) ∈ C n và w = (w1, w2, w n ) ∈ C n Do đó, m®t đa thúc 2 thuan nhat P : C n → C trên C n có dang

P (z) = L (z, z) =

1≤i≤n 1≤j≤

n

a ij z i z j

Trong trưòng hop tong quát không có sn tương úng 1-1 giua các đa thúc

n thuan nhat và các ánh xa n tuyen tính Tuy nhiên neu chí han che trên t¾p hop các ánh xa n tuyen tính đoi xúng chúng ta thu đưoc m®t tương úng duy nhat Theo đ%nh nghĩa cna các đa thúc n thuan nhat và

toán tú đoi xúng bieu đo sau giao hoán

Đ%nh lý 1.5.1 (công thúc phân rã) Cho E và F là hai không gian loi

đ%a phương trên C Khi đó, neu L ∈ L s (E n ; F ) và x1, x2, , x n ∈ E, thì

n

j= 1

a

n

n m1! m n! 1 2 n1

và các h¾ so cna L (x1, x2, , x n) trong khai trien trên bang 1.

Neu m i > 1 vói i nào đó thì m j = 0 vói j nào đó Khi đó chúng

ChNng minh Bói công thúc phân rã L ∈ L s (n E; F ) đong nhat bang

0 neu và chí neu

Lˆ

đong nhat bang 0 Do đó, ánh xa ∧ là tuyen tính cóhat nhân bang 0 và là đơn ánh

Cho A là m®t t¾p con cna không gian loi đ%a phương E và hàm

f : A → F và β là m®t núa chuan trên F ta đ¾t

"f" β,A = sup β (f (x))

x∈A

Đ%nh lý 1.5.2 Cho E và F là hai không gian loi đ%a phương trên C và

A là m®t t¾p loi, cân trong E và β là m®t núa chuan trên F Khi đó, ta có

L

β,A ≤ "L" β,A n

≤

Lˆ , n!

β,A

A là m®t t¾p cân trong E và x ∈ E, thì

"P " β,A ≤ "P " β,x +A Hơn nua, neu λ ƒ= 0, λx ∈ E và A là t¾p loi thì

1

M¾nh đe 1.5.1 Cho E và F là hai không gian loi đ%a phương trên C

và P ∈ P a (n E; F ) Khi đó các m¾nh đe sau là tương đương.

i) P là liên tnc.

ii) P liên tnc tai goc.

iii) P b% ch¾n trong lân c¾n nào đó cúa điem goc.

iv) P là b% ch¾n đ%a phương (nghĩa là b% ch¾n trong lân c¾n cúa moi điem).

ChNng minh Các kéo theo (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là tam thưòng Theo Bo

đe 1.4.2 thì ta nh¾n đưoc (iii) ⇔ (iv) Van đe còn lai là ta chúng minh

λ )

A

(iii) ⇒ (i) Cho A ∈ L s (n E; F ) và giá sú Aˆ = P Theo công thúc

phân rã và (iii) ton tai m®t lân c¾n loi cân V cna 0 sao cho "A"V n = M

< ∞.

Vói x0 ∈ E tùy ý chon α > 0 sao cho αx0 ∈ V Theo Bo đe 1.4.1,

chúng

ta có

n

n .sup "P (x0 + δy) − P (x0)"

α

→ 0 khi n → ∞

Đ%nh nghĩa 1.6.1 M®t t¾p con U cna không gian loi đ%a phương E

đưoc goi là mó huu han neu U ∩ F là m®t t¾p con mó cna không gian Euclide F vói moi không gian con huu han chieu F cna E.

Các t¾p con mó huu han cna E xác đ%nh m®t bat bien tô pô t f Các

t f lân c¾n cân l¾p thành m®t có só đoi vói t f lân c¾n cna 0 trong E.

Đ%nh nghĩa 1.6.2 M®t hàm f xác đ%nh trên t¾p con mó huu han chieu

U cna không gian loi đ%a phương E vói giá tr% trong không gian loi đ%a phương F đưoc goi là Gateaux chính hình ho¾c G chính hình neu vói moi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F r thì hàm m®t bien phúc

f : λ ›→ φ ◦ f (a + λb) chính hình trong m®t lân c¾n nào đó cna điem 0 Ta ký hi¾u H G (E, F )

−

α

là t¾p tat cá các hàm G chính hình tù E vào F.

Đ%nh lý Hartogs trong trưòng hop nhieu chieu nói rang các hàm chính

hình tách trên U × V vói U ⊂ C n , V ⊂ C m là chính hình Do đó, ánh xa

f : U ⊂ E → F

là G chính hình neu và chí neu φ ◦ f| U ∩H là hàm nhieu bien chính hình

vói moi φ ∈ F r và không gian con huu han chieu H trong E Tù đó suy

ra ta có the sú dung các ket quá trong trưòng hop nhieu chieu như: khaitrien chuoi Taylor, phương trình Cauchy-Riemann, đoi vói các ánh

xa G chính hình.

Đ%nh nghĩa 1.6.3 Giá sú E và F là các không gian loi đ%a phương và

U là t¾p con mó huu han trong E M®t ánh xa f : U → F đưoc goi là chính hình neu nó G chính hình và vói moi ξ ∈ U thì hàm

y ›→ d f (ξ)

(y) m!

m=0

h®i tu và xác đ%nh m®t hàm liên tuc trong m®t lân c¾n cna điem goc

T¾p các ánh xa chính hình tù U vào F đưoc ký hi¾u là H (U, F )

Đ%nh nghĩa 1.6.4 M®t ánh xa f tù t¾p con mó U trong không gian

loi đ%a phương E vào không gian loi đ%a phương F đưoc goi là b% ch¾n đ%a phương neu vói moi ξ ∈ U thì ton tai m®t lân c¾n V ξ cna ξ trong U sao cho f (V ξ ) là t¾p b% ch¾n trong F.

Moi quan h¾ giua ánh xa chính hình và ánh xa b% ch¾n đ%a phươngđưoc phán ánh trong ket quá sau

M¾nh đe 1.6.1 [17] Giá sú f là ánh xa tù t¾p con mó U trong không

gian loi đ%a phương E vào không gian loi đ%a phương F Khi đó các đieu ki¾n sau là tương đương.

i) f là chsnh hình.

ii) f là G - chsnh hình và liên tnc.

iii) f là G - chsnh hình và b% ch¾n đ%a phương.