Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet

Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact trong CN vói giá tr% Frechet có DN − chuan.. Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact L˜ − chính quy vói giá tr% Frechet có

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

DƯƠNG MINH HOÀNG

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn

Hào

Hà N®i-2011

LèI CÁM ƠN

Tác giá xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u, phòngSau đai hoc và các GS, TS giáng day chuyên nghành toán giái tích trưòngĐai hoc sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi tác giá trongquá trình hoc t¾p, nghiên cúu và thnc hi¾n lu¾n văn

Đ¾c bi¾t, tác giá xin chân thành cám ơn TS Nguyen Văn Hào đã trnctiep hưóng dan tác giá trong quá trình nghiên cúu lu¾n văn và hoàn chínhlu¾n văn

Trong quá trình thnc hi¾n công tác nghiên cúu không tránh khói nhunghan che và thieu sót, tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đónggóp đã nh¾n đưoc cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên đe lu¾nvăn hoàn chính như hi¾n tai

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá

Dương Minh Hoàng

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾nvăn vói đe tài

“Tính chính quy cúa không gian mam các hàm chính hình vái giá tr% Frechet”.

đưoc hoàn thành vói sn nh¾n thúc cna riêng tác giá, không trùng vói bat

kỳ lu¾n văn nào khác

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna cácnhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá

Dương Minh Hoàng

Mnc lnc

1.1

M®t so c huan b% v e không gian v éc tơ tô p ô 10

1.2 Đoi ngau v à tô p ô yeu 17

1.3 P ô la 19

1.4 Hàm c hính hình 19

1.4.1 Đa thúc trên không gian loi đ%a phương 19

1.4.2 Hàm c hính hình 25

1.4.3 Không gian mam các hàm c hính hình 28

Chương 2 M®t so bat bien tô pô tuyen tính trên không gian Frechet 31 2.1 bienBat tô p ô tuy en tính ( DN ) trên không gian F rec het 31

2.1.1 Khái ni¾m ve bat bien tô p ô tuy en tính ( DN ) 31

2.1.2 Các đieu ki¾n tương đương 32

2.1.3 M®t so ví du 41

2.2 Bat bie n t ô p ô tu y en tín h ( Ω ˜ ) 44

2.2.1 Khái ni¾ m v e ba t bie n t ô p ô ( Ω ˜ ) 44

2.2.2 Các đieu ki¾n tương đương 44

2.2.3 M®t so ví du 51

Chương 3 Tính chính quy cúa không gian mam các hàm chính

3.1 M®t đieu ki¾n can cho tính chính quy cna không gian mam

các hàm chính hình giá tr% Frechet 533.2 Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact trong

CN vói giá tr% Frechet có (DN )− chuan 55

3.3 Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact L˜ −

chính quy vói giá tr% Frechet có (DN ) − chuan 603.4 Không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet có

(LB ∞ ) − chuan . 67

4

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài Trong giái tích phúc, m®t van đe lón đưoc đ¾t

ra đoi vói lý thuyet các hàm chính hình đó là tính chính hình đ%a phương

trên m®t t¾p con X nào đó cna m®t không gian loi đ%a phương E vói giá tr% trong không gian loi đ%a phương F Đieu đó dan đen khái ni¾m mam hàm chính hình trên t¾p X Ý nghĩa quan trong cna khái ni¾m này là sn

đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho vi¾c xét m®t phan tú co đ%nhnào đó, ngưòi ta xét lóp các phan tú tương đương đoi vói phan tú này.Trong khái ni¾m mam ta phân ra các đ¾c điem chung liên ket các phan

tú tương đương lai vói nhau T¾p các mam hàm chính hình H (X, F ) trên m®t t¾p compact X có the đưoc xét theo hai khía canh: M®t là, ve m¾t đai so ta có the xem nó như là m®t vành Các tính chat cna vành H (X, F ) đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi; chang han theo hưóng nghiên cúu

này ta có the xem Bănică – Stănăsilă [2], Đ¾u The Cap – Nguyen Văn

Khuê [4] , M¾t khác, H (X, F ) có the xem như m®t không gian véc

tơ tô pô trang b% tô pô loi đ%a phương tn nhiên bang cách ket hop các tô

pô cna không gian các hàm chính hình trên m®t lân c¾n cna X Theo

hưóng nghiên cúu này ta phái ke đen các công trình nghiên cúu cna Chae

[5, 6].

Van đe nghiên cúu các tô pô loi đ%a phương trên không gian H (U, F )

= H(U ) các hàm chính hình trên m®t t¾p mó U trong không gian loi đ%a phương E đưoc khói đau bói Nachbin [11,12] và Alexander [1] Trong

giái tích phúc vô han chieu, ngưòi ta thay rang tô pô mó compact hay

tô pô h®i tu đeu trên các t¾p con compact cna U không chí là tô pô tn nhiên duy nhat Tô pô τ ω đưoc đe xuat lan đau tiên bói Nachbin [11,12],

nó ra đòi tù ý tưóng liên quan đen các phiem hàm giái tích mang bói t¾pcompact Sn ra đòi cna tô pô mang bói t¾p compact mó ra nhieu hưóngnghiên cúu trong giái tích phúc vô han chieu và tró thành công cu huuhi¾u giái quyet

nhieu bài toán quan trong trong lĩnh vnc này.

M®t trong các van đe đưoc quan tâm nhieu trong lóp không gian mamcác hàm chính hình đó là vi¾c đ¾c trưng các t¾p b% ch¾n cna nó Nhó

lai rang, không gian mam H(K, F ) đưoc xây dnng tù không gian

H (U, F ) các hàm chính hình trên lân c¾n mó U cna K trong m®t không gian loi đ%a phương E, vói giá tr% trong m®t không gian loi đ%a phương F , bang giói han quy nap trong pham trù các không gian loi đ%a phương Như v¾y, không gian mam H(K, F ) đưoc goi là chính quy

neu giói han quy nap trên là chính quy Nghĩa là, moi t¾p con b% ch¾n

cna H(K, F ) là b% chúa và b% ch¾n trong không gian H(U, F ) nào

đó Tính chính quy cna không gian mam H (K, F ) = H (K) đã đưoc

nhieu tác giá quan tâm, mó đau cho hưóng nghiên cúu này là Chae [5,6]

Trong đó, các tác giá xét bài toán cho trưòng hop K là m®t t¾p con

compact cna m®t không gian Banach Các ket quá này đưoc tong quáthóa và làm sâu sac hơn bói Mujica[10] Năm 1981, bang vi¾c mô tá h¾

núa chuan sinh ra tô pô cna H(K) Dineen [7] đã chúng tó rang H(K) là đay đn cùng vói giá thiet K là t¾p compact trong không gian loi đ%a

phương metric Cũng ó đây, nhò phương pháp đưoc sú dung đe thu đưoc

tính đay cna H(K), lan đau tiên Dineen đã đưa ra đưoc m®t so đ¾c trưng ve tính chính quy cna H(K) khi K là t¾p compact trong các không

gian không nhat thiet loi đ%a phương metric Cũng theo hưóng nghiêncúu này ta can phái ke đen các ket quá cna Soraggi [16], Soraggi đã chí

ra các ví du cũng như các phán ví du ve tính chính quy cna H(K) Đe

nghiên cúu tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình

H (K, F ) vói giá tr% Frechet và đưoc sn đ%nh hưóng cna TS Nguyen

Văn Hào em chon đe tài

"CHÍNH QUY CÚA KHÔNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH GIÁ TR± FRECHET"

Lu¾n văn gom có phan mó đau, phan ket lu¾n, ba chương cùng tài li¾utham kháo

Chương 1 Các kien thúc chuan b%.

7

Chương này dành cho vi¾c giói thi¾u các khái ni¾m liên quan đen vi¾c xétbài toán ve tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình vóimien xác đ%nh và mien giá tr% là các không gian Frechet Trong đó, chúngtôi đã trình bày các kien thúc quan trong liên quan đen hưóng nghiên cúulà

1 M®t so chuan b% ve không gian véc tơ tô pô

2 Đoi ngau và tô pô yeu

3 Pô la

4 Hàm chính hình

Chương 2 M®t so bat bien tô pô tuyen tính trên không gian Frechet

Khác vói chương 1, trong chương 2 chúng tôi giói thi¾u đen hai bat bien

tô pô tuyen tính là (DN ) và Ω˜ trên không gian Frechet Trong

đó, đe

tao đieu ki¾n thu¾n loi cho vi¾c tiep tuc đi sâu vào vi¾c nghiên cúu cnachương sau chúng tôi đã đ¾c bi¾t chú trong đưa ra m®t so các đieu ki¾ntương đương đe m®t không gian Frechet có tính chat (DN ) và Ω˜ Tù

đó dan đen các chúng minh cu the cho các không gian dãy K¨othe, không gian chuoi lũy thùa có tính (DN ) và Ω˜ Cu the trong

chương này chúng

tôi đã trình bày các van đe sau

1 Bat bien tô pô tuyen tính (DN ) trên không gian Frechet.

2 Bat bien tô pô tuyen tính Ω˜ trên không gian Frechet

Chương 3 Không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet

Trong chương 3 chúng tôi trình bày hưóng nghiên cúu chính cna lu¾n văn.Đau tiên chúng tôi đưa ra m¾nh đe nói đen đieu ki¾n can ve tính chính

quy cna không gian H(K, F ) vói K là t¾p compact trong C N Chúng tôi quy bài toán ve vi¾c xét tính chính quy cna giói han quy nap cna m®t dãy tăng các không gian Frechet ( (LF ) - không gian) Cũng vói ky

thu¾t đó, chúng tôi đưa ra m®t đieu ki¾n can và đn cho tính chính quy cna không

gian mam H (K, F ) vói K là t¾p

compact L˜ gian Frechet.

− chính quy trong m®t không

Đieu ki¾n ó đây là không

gian Frechet F có tính chat (DN ) Phan tiep theo trong

chương này dành đe trìnhbày ket quá nghiên cúu tính

chính quy cna H(K, F ) khi

hơn (DN ), nhưng đoi vói t¾p compact K chí can

thóa mãn đieu ki¾n duy nhat

1 M®t đieu ki¾n can cho tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình giá tr% Frechet

2 Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact trong CN

vói gia tr% Frechet có

(DN ) − chuan.

3 Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact

L˜ quy vói giá tr%

Frechet có (DN ) −chuan

−

chính

4 Không gian mam các hàm chính hình vói giá tr

% Frechet có (LB ∞ ) −

chuan

2 Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên

cúu tính chính quy cna không gian mam

các hàm chính hình H(K, F ) vói giá tr%

Frechet

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Xuat phát tù vi¾c nghiên cúu đieu ki¾n can đoi vói tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet

Lu¾n văn trình bày m®t so tính chính quy cna không gian mam các hàm chính

hình H(K, F ) vói giá tr% Frecht có tính

chat (DN ), (LB ∞)

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu tính chính quy cna

không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet có tính chat (DN ), (LB∞)

5 Phương pháp nghiên cNu

Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u

Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 DN kien đóng góp cúa lu¾n văn

Nghiên cúu tính chính quy cna

không gian mam các hàm chính hình vói mien giá tr% trong các không gian Frechet có (DN ) − chuan, trên các t¾p compact trong CN và t¾p compact

không

gian mam có mien giá tr% Frechet có (DN ), (LB ∞ ) − chuan.

Chương 1 Các kien thNc chuan b%

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho E là không gian véc tơ và A là m®t t¾p con cna E

i) T¾p A goi là loi neu vói moi x, y ∈ A ta có λx + µy ∈ A, trong

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A

v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu

nhó

i=1

nhat chúa A ) i=1

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ E, ton tai λ > 0 sao

cho

Đ%nh nghĩa 1.2 M®t không gian véc tơ tô pô có m®t cơ só gom nhung

lân c¾n loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ tô pô loi đ%aphương (Không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loi đ%aphương

Đ%nh nghĩa 1.3 a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ trên trưòng K(K = C ho¾c K = R) M®t hàm p xác đ%nh trên E có giá tr% thnc vàkhông âm (huu han) đưoc goi là m®t núa chuan neu

+) p(x) ≥ 0;

+) p(λx) = |λ| p(x);

+) p(x + y) ≤ p(x) +

p (y); vói moi x, y ∈ E, λ ∈ K.

b) M®t núa chuan p tương đương vói t¾p hop tuy¾t đoi loi và hút A, đưoc goi là hàm cõ cna A.

M¾nh đe 1.1 Trong không gian loi đ%a phương E, m®t núa chuan p là

liên tnc khi và chí khi nó liên tnc tai điem goc.

thì tai m®t lân c¾n V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V Do đó, vói a là m®t điem tùy ý cna E, ta có

|p(x) − p(a)| ≤ |p(x − a)| < ε

khi x ∈ a + V Q

Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan neu tô

pô cna nó có the đưoc xác đ%nh bói m®t chuan p.

M¾nh đe 1.2 Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và chí khi

nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc Tô pô cúa m®t không gian khá metric luôn luôn có the xác đ%nh đưoc bói m®t metric, bat bien vói các phép t%nh tien.

Chúng minh Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t cơ só

đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc Ngưoc lai, neu E có m®t cơ só lân

c¾n đem đưoc, thì vì moi lân c¾n đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nênton tai m®t cơ só (u n ) nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi Goi p n là hàm cõ cna

phát bói moi p n và

15

do đó f là liên tuc Hơn nua V n ⊂ U n bói vì neu x ∈/ U n thì p n (x) ≥ 1,

v¾y

f (x) ≥ 2 −n Thành thú d xác đ%nh tô pô xuat phát cna E Q

M¾nh đe 1.3 M®t hàm p : X → R là m®t cơ só chuan khi và chí khi nó

là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t sơ chuan khi và chí khi

nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa chon m®t đưòng thang nào.

Chúng minh Th¾t v¾y, neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì de dàng thay

rang hàm cõ p B cna nó nghi¾m đúng p B (−x) = p B (x), do đó vói moi α <

0, p B (αx) = −αp B (−x) = −αp B (x)

cho

nên

p B (αx) = |α| p B (x)

vói moi α và p B là m®t sơ chuan

Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p(x) < 1} loi,

vói α đn lón, túc là αx ƒ= B Đieu đó, chúng tó B không chúa chon

m®t đưòng thang nào đi qua 0 và x Q

M¾nh đe 1.4 Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ chuan

Γ tùy ý Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai so, trong

đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc Tô pô ay là tô pô loi đ%a

phương và

vói p ∈ Γ Khi đó, các t¾p V loi, cân, hút nên có m®t tô pô trên X tương

hop vói cau trúc đai so, mà trong đó moi t¾p V là m®t lân c¾n, túc là

theo m¾nh đe 1.3, moi sơ chuan p ∈ Γ là liên tuc Tô pô ay loi đ%a

phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang

M¾t khác, X là không gian Hausdorff khi và chí khi giao cna tat cá các

t¾p (1.1) là {0}, mà đieu này lai tương đương vói bat kỳ x ƒ= 0,

ton tai m®t t¾p (1.1) không chúa x , túc là ton tai m®t ε > 0 và m®t

p ∈ Γ sao cho p(x) ≥ ε Q

Đ%nh nghĩa 1.5 a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc xác

đ%nh bói m®t ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thóa mãn đieu

ki¾n tách (1.2), goi là không gian đem đưoc chuan.

b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là m®t không gian Frechet

Như v¾y moi không gian Banach (Không gian đ%nh chuan đn) đeu làkhông gian Frechet.

c) M®t t¾p loi, cân, đóng và hút trong m®t không gian loi đ%a phương goi làm®t thùng M®t không gian loi đ%a phương trong đó moi thùng đeu làlân c¾n cna goc goi là m®t không gian thùng và moi không gian Frechet làkhông gian thùng

Đ%nh nghĩa 1.6 Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng tùy ý Vói moi α

nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa ν α là liên tuc Tô pô xa ánh trên

m®t không véc tơ tô pô G vào E là liên tuc neu chí neu ν α ◦ η là liên

tuc vói moi α ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng Vói moi α ∈ I,

cho E α là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤

i) u αβ là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.

ii) u αβ ◦ u βγ = u αγ , vói moi α ≤ β ≥ γ.

Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {E α , u αβ } đưoc goi là

m®t h¾ xa ánh Không gian con

M¾nh đe 1.5 Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh cúa m®t

ho không gian đ%nh chuan.

sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X Ta biet là trong m®t không

gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói ho các t¾p b% ch¾n

nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p −1(0) là m®t không gian con cna

han xa ánh cna các X p đoi vói các u p Q

M¾nh đe 1.6 Giói han xa ánh cúa m®t ho các không gian loi đ%a

phương đay là đay.

M¾nh đe 1.7 Neu E là m®t không gian loi đ%a phương Hausdorff và

đay thì

E = lim proj Eˆ/kerα,

α

ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.

M¾nh đe 1.8 Cho E là giói han xa ánh cúa không gian loi đ%a phương

) cũng b% ch¾n.

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng tùy ý Vói moi α ∈

E α vào không gian E = S ν α (E α ) Tô pô quy nap trên E là tô pô manh

nhat

α

trên E sao cho tat cá các ánh xa tuyen tính ν α là liên tuc

Tô pô quy nap trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính

η : E → C là liên tuc neu và chí neu η ◦ ν α là liên tuc vói moi α ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho không gian véc tơ E là t¾p hop cna m®t ho các

không gian loi đ%a phương {E α } đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm và

moi ánh xa bao hàm E α → E β là liên tuc Khi đó, E đưoc trang b% bói tô

pô quy nap vói các ánh xa bao hàm E α → E đưoc goi là giói han quy nap

cna các không gian con E α và đưoc kí hi¾u bói E = lim ind E α

α

Ví dn 1.1 Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là không

gian thương Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t không gian tuyen tính con cna X0, và X = X0/M Goi η là ánh xa

chính tac tù

X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tương đương

x˜ chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a

phương

manh nhat đe η liên tuc.

Đ%nh nghĩa 1.10 Cho E = lim indE α là giói han quy nap cna các

không

α

gian con E α Khi đó ta nói rang

i) E là giói han quy nap ch¾t neu E α có tô pô cám sinh cna E β moi khi E α

ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.

chúa và b% ch¾n trong E α

ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong E α và ngoài ra moilưói {x α } ⊂ B là E − Cauchy neu và chí neu nó là E α − Cauchy.

M¾nh đe 1.9 ([13], p.58 − 59, proposition6.4) Cho E =

lim indE n

n

là giói

n

là giói

han quy nap chính quy Cauchy;

Đ%nh nghĩa 1.11 M®t không gian loi đ%a phương E là m®t (DF ) −

không gian neu

a) E có m®t dãy cơ bán cna các t¾p b% ch¾n.

b) Moi hop đem đưoc b% ch¾n manh cna các t¾p con đong liên tuc cna E

là đong liên tuc

M¾nh đe 1.10 ([8], p.77, corollary2) M®t (DF ) không gian tna

đay là đay.

M¾nh đe 1.11 ([10], p.78, Theorem9) Cho E là giói han quy nap

) − không

gian và moi t¾p con b% ch¾n cúa E b% chúa trong bao đóng E cúa m®t

Đ%nh nghĩa 1.12 E và F là hai không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng

vô hưóng Hàm < · >: E × F → K đưoc goi là m®t dang song tuyen tính

neu

a) Vói moi u ∈ F ánh xa x ›→< x, u > là dang tuyen tính trên E.

b) Vói moi x ∈ E ánh xa u ›→< x, u > là dang tuyen tính trên F M®t

c¾p đoi ngau là b® ba (E, F ; < · >) ho¾c viet (E, F ) trong đó < · >:

E × F → K là dang song tuyen tính thóa mãn hai đieu ki¾n

(D E ) neu < x, u >= 0 vói moi x ∈ F thì x

= 0; (D F ) neu < x, u >= 0 vói moi x ∈ E thì u = 0;

Ví dn 1.2. 1 Neu < E, F > là c¾p đoi ngau thì dang (u, x) ›→< x, u

3 Giá sú E là không gian loi đ%a phương Hausdorff vói đoi ngau tô pô

E r Khi đó dang (x, u) ›→ u(x), x ∈ E, u ∈ E r cho ta c¾p đoi ngau

Đ%nh nghĩa 1.13 Giá sú < E, F > là c¾p đoi ngau Vói moi u ∈ F xác

đ%nh núa chuan p u trên E bói công thúc

p u (x) = |< x, u >| , x ∈ E

Tô pô loi đ%a phương trên E sinh bói các núa chuan {p u , u ∈ F} ký

hi¾u là σ(E, F ) goi là tô pô yeu trên E cna c¾p đoi ngau < E, F >.

M¾nh đe 1.12 Neu < E, F > là c¾p đoi ngau thì σ (E, F ) là tô pô

loi đ%a phương Hausdorff yeu nhat trên E thoá mãn

(E, σ (E, F )) r = F.

Chúng minh Tù đieu ki¾n (D F ) thì σ(E, F ) là tô pô Hausdorff Vì p u

liên tuc vói moi u ∈ F , nên ta suy ra F ⊂ (E, σ(E, F )) r M¾t khác

giá sú f ∈ (E, σ(E, F )) r Khi đó ton tai u1, u2, , u n và ε > 0 sao cho

phương yeu nhat trên E đe

(E, σ(E, F )) r ∈ F. Q

Đ%nh nghĩa 1.14 Giá sú < E, F > là c¾p đoi ngau Tô pô loi đ%a phương

M¾nh đe 1.13 Neu < E, F > là c¾p đoi ngau và A là t¾p con loi cúa

E, thì A có cùng bao đóng trong moi tô pô cúa c¾p đoi ngau < E, F >.

Chúng minh Ta chí can chúng tó

cA ξ A = cA σ(E,F ) A,

vói moi tô pô ξ cna c¾p đoi ngau.

Trong đó cA ξ A ký hi¾u bao đóng cna A đoi vói ξ Trưóc het do σ (E, F ) ≤ ξ nên cA ξ A ⊆ cA σ(E,F ) A Giá sú a

∈/

đoi vói tô pô ξ sao cho (a + U ) ∩ A = ∅ Do đó, ton tai f ∈ (E, ξ) r

= F

sao cho f (a + U ) ∩ f (A) = ∅ Do đó f (U ) là mó, nên f (a) ∈/

f (A) Tù đó, suy ra ton tai δ > 0 đe

|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ∀x ∈ A.

V¾y neu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân c¾n cna a đoi vói tô pô σ (E, F ) không giao vói A Q

1.3 Pô la

Đ%nh nghĩa 1.15 Giá sú (E, E r ) là m®t c¾p đoi ngau và A ⊂ E Khi

đó, t¾p hop

{x r ∈ E r : sup {|(x, x r )| ≤ 1 : x ∈ A}}

đưoc goi là m®t pôla (trong E r ) cna A và ký hi¾u bói A0

M¾nh đe 1.14 Giá sú (E, E r ) là m®t c¾p đoi ngau Pôla trong E r

cúa các t¾p con cúa E có các tính chat sau đây

M¾nh đe 1.15 Neu E là không gian loi đ%a phương tách và U là m®t

=

và x r ∈ U 0 vói U ∈ u nào đó, the thì x r liên tuc trên E, v¾y x r ∈ E.

1.4.1 Đa thNc trên không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.16 Cho E và F là m®t không gian véc tơ trên trưòng C

M®t ánh xa L : E n → F đưoc goi là n tuyen tính trên E neu nó tuyen

tính theo tùng bien, moi khi co đ%nh các bien còn lai Ký hi¾u t¾p hop

tat cá các ánh xa n tuyen tính bói L a (n E ; F ).

Đ%nh nghĩa 1.17 M®t ánh xa n tuyen tính L : E → C đưoc goi là đoi

xúng neu

vói moi x1, x2, , x n ∈ E và σ là phép hoán v% bat kỳ cna n so tn nhiên

đau tiên Chúng ta ký hi¾u L s (n E ; F ) là không gian véc tơ cna tat cá các ánh xa n tuyen tính đoi xúng tù E vào F

M®t ánh xa n tuyen tính đoi xúng có the liên ket vói ánh xa n tuyen tính bói toàn ánh chính tac s : L a (n E ; F ) → L s (n E ; F ) đưoc xác đ%nh bói

ó đó S n ký hi¾u là t¾p tat cá các phép hoán v% cna n so tn nhiên đau tiên.

Đ%nh nghĩa 1.18 Cho E và F là hai không gian véc tơ tô pô loi đ%a

phương trên C M®t ánh xa P : E → F đưoc goi là m®t đa thúc n thuan

nhat neu ton tai m®t ánh xa n tuyen tính L : E → E n sao cho P = L ◦

∆, trong đó ∆(x) = x n ; x ∈ E Ký hi¾u P a (n E ; F ) là không gian véc

tơ cna tat cá các đa thúc n thuan nhat tù E vào F

M®t đa thúc tù E vào F là m®t tong huu han cna các đa thúc thuan nhat

tù E vào F Ta ký hi¾u P a (E; F ) là không gian véc tơ tat cá các đa thúc tù E vào F

Ví dn 1.3 Giá sú L : Cn × C n → C là m®t ánh xa 2 tuyen tính trên C n

Khi đó ton tai m®t ma tr¾n A = (a ij )1≤i≤n,1≤j≤n sao cho

L (z, w) =

1≤i≤n 1≤j≤ n

a ij z i z j

Trong trưòng hop tong quát không có sn tương úng 1-1 giua các đa thúc n

thuan nhat và các ánh xa tuyen tính Tuy nhiên neu chí han che trên t¾p

hop các ánh xa n tuyen tính đoi xúng chúng ta thu đưoc m®t tương úng

a

a

duy nhat Theo đ%nh nghĩa cna các đa thúc n thuan nhat và toán tú đoi

xúng bieu đo sau giao hoán

∧

,,

P a(n E ; F )

Như m®t h¾ quá cna bo đe phân rã, chúng ta chúng minh đưoc ánh xa

∧ là m®t đơn ánh Do đó, chúng ta nh¾n đưoc m®t song ánh chính tac giua

không gian các ánh xa n tuyen tính đoi xúng và không gian các đa thúc n thuan nhat trên E.

Đ%nh lý 1.1 (Công thúc phân rã) Cho E và F là hai không gian loi đ%a

m j = 0 vói j nào đó Khi đó chúng ta nh¾n đưoc

Cho A là m®t t¾p con cna không gian loi đ%a phương E và hàm f : A

→ C, và β là m®t núa chuan trên F ta đ¾t

x∈A

Đ%nh lý 1.2 Cho E và F là hai không gian loi đ%a phương trên C và A

là m®t t¾p loi, cân trong E và β là m®t núa chuan trên F Khi đó, ta có

Chúng minh Bat đang thúc thú nhat là tam thưòng vì

Theo công thúc phân rã, chúng ta có

và do đó ta

có

= 1+

tat cá các đa thúc liên tuc trên E đưoc ký hi¾u bói P (E, F ) Q

M¾nh đe 1.16 Cho E và F là các không gian loi đ%a phương trên C và

P ∈ P a (n E ; F ) Khi đó các m¾nh đe sau là tương đương

(a) P là liên tnc;

(b) P liên tnc tai goc;

(c)b% ch¾n trong lân c¾n nào đó cúa điem goc;

(d) là b% ch¾n đ%a phương (nghĩa là b% ch¾n trong lân c¾n cúa moi điem).

đe 1.2, thì ta nh¾n đưoc (c) ⇔ (d) Van đe còn lai là ta chúng minh (c)

→ 0,

khi n → ∞ Như v¾y P liên tuc tai x0 và vi¾c chúng minh đưoc hoàn

1.4.2 Hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.19 M®t t¾p con U cna không gian loi đ%a phương E đưoc

goi là mó huu han neu U ∩ F là m®t t¾p con mó cna không gian Euclide

F vói moi không gian con huu han chieu F cna E.

Các t¾p con mó huu han cna E xác đ%nh m®t bat bien tô pô t f Các t f lân

c¾n cân l¾p thành m®t có só đoi vói t f lân c¾n cna 0 trong E

Đ%nh nghĩa 1.20 M®t hàm f xác đ%nh trên t¾p con mó huu han chieu

U cna không gian loi đ%a phương E vói giá tr% trong không gian loi đ%a

phương F đưoc goi là Gateaux chính hình ho¾c G chính hình neu vói moi

f : λ ›→ φ ◦ f (a + λb)

là m®t hàm chính hình trong m®t lân c¾n nào đó cna điem 0 Ta ký hi¾u

H G (E, F ) là t¾p tat cá các hàm G chính hình tù E vào F

Bói đ%nh lý Hartog trong trương hop nhieu chieu nói rang các hàm chính

hình tách trên U × V vói U ⊂ C n , V ⊂ C m là chính hình Do đó, ánh xa

f : U ⊂ E → F

là G chính hình neu và chí neu φ ◦ f| U ∩H là hàm nhieu bien chính hình

vói moi φ ∈ F r và không gian con huu han chieu H trong E Tù đó suy

ra ta có the sú dung các ket quá trong trưòng hop nhieu chieu như: khaitrien chuoi Taylor, phương trình Cauchy-Riemann, đoi vói các ánh xa

G chính hình.

Đ%nh nghĩa 1.21 Giá sú E và F là các không gian loi đ%a phương và U

là t¾p con mó huu han trong E M®t ánh xa f : U → F đưoc goi là chính hình neu nó G chính hình và vói moi ξ ∈ U thì hàm

h®i tu và xác đ%nh m®t hàm liên tuc trong m®t lân c¾n cna điem goc T¾p

các ánh xa chính hình tù U vào F đưoc ký hi¾u là H(U, F ).

∞ m

Đ%nh nghĩa 1.22 M®t ánh xa f tù t¾p con mó U trong không gian loi

đ%a phương E vào không gian loi đ%a phương F đưoc goi là b% ch¾n đ%a phương neu vói moi ξ ∈ U thì ton tai m®t lân c¾n V ξ cna ξ trong U sao cho f (V ξ ) là t¾p b% ch¾n trong F

Moi quan h¾ giua ánh xa chính hình và ánh xa b% ch¾n đ%a phương đưoc phán ánh trong ket quá sau

M¾nh đe 1.17 ([13], Theorem1.2.8) Giá sú f là ánh xa tù t¾p con

mó U trong không gian loi đ%a phương E vào không gian loi đ%a phương F Khi đó, các đieu ki¾n sau là tương đương

(i) f là chính hình;

(ii) f là G −chính hình và liên tnc;

(iii)f là G −chính hình và b% ch¾n đ%a phương.

Bo đe 1.3 Giá sú E và F là các không gian loi đ%a phương và U là

U đưoc cho bói tô pô mó huu han.

bói các ánh xa bao hàm U → E, ó đó U chay trên tat cá các không gian

con huu han chieu cna E Do đó m®t hàm f xác đ%nh trên m®t t¾p con t f

mó cna E là liên tuc neu và chí neu han che cna nó lên moi phan huu han chieu cna U là liên tuc Nhưng các hàm nhieu bien là liên tuc nên chúng

ta nh¾n đưoc đieu can chúng minh Q

M¾nh đe 1.18 Neu U là m®t t¾p con mó huu han trong không gian

các đa thúc thuan nhat trên E

vói moi y trong t f lân c¾n nào đó cúa 0.

> 1 sao cho ξ + {λx : |λ| ≤ ρ} ⊂ U Theo Bo đe 1.3, hàm f là liên tuc

và ta có

sup |f (ξ + λx)| = M x < ∞.

|λ|<ρ

ta thay rang dãy (P m,ζ )∞ đưoc xác đ%nh duy nhat bói f Q

Trong quá trình chúng minh M¾nh đe 1.18 chúng ta cũng đã chúng tóđưoc rang

M¾nh đe 1.19 (Bat đang thúc Cauchy) Cho f ∈ H G (U ) , ξ ∈ U, ρ

so nguyên không âm m ta có

"f" B

=

1

ρ m "f" ξ+ρB

Đ%nh nghĩa 1.23 Cho U là m®t t¾p con mó trong không gian loi đ%a

phương E M®t hàm f : U → C đưoc goi là chính hình trên U neu vói

các hàm chính hình trên U vói giá tr% trong F đưoc ký hi¾u bói H(U, F ).

1.4.3 Không gian mam các hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.24 Cho E và F là không gian loi đ%a phương và K là m®t

t¾p compact cna E Trên