Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

Để nghiên cứu cấu trúc của không gian mầm hàm chỉnh hình HK,với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric tôi đã chọnđề tài: "Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, ngườithầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học,trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo trongtrường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiêncứu.

Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏinhững hạn chế và thiếu sót, tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiếnđóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp"Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnhhình"được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Đặng Thị Bích Thảo

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian véc tơ tô pô 4

1.2 Đa thức trên không gian lồi địa phương 12

1.3 Hàm chỉnh hình 18

1.4 Không gian mầm các hàm chỉnh hình 23

Chương 2 Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.1 Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.2 Tính chính quy Cauchy của không gian mầm hàm chỉnh hình 31

2.3 Một số ví dụ và phản ví dụ về điều kiện (B) 34

2.4 Tính đầy của không gian mầm các hàm chỉnh hình 37

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

S B Chae [3], A Grothendieck [10] và A Martineau [14, 15],

Việc nghiên cứu một cách trực tiếp tô pô trên lớp không gian các hàmchỉnh hình không phải luôn được tiến hành một cách dễ dàng Trong khi

đó không gian mầm các hàm chỉnh hình đôi khi lại có thể nghiên cứumột cách thuận lợi Trên H(K) người ta thường quan tâm đến tính chínhquy và tính đầy của lớp không gian này Theo hướng nghiên cứu đó, S

B Chae [9] đã chứng tỏ tính chính quy của H(K) với K là tập compacttrong không gian Banach

Để nghiên cứu cấu trúc của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K),với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric tôi đã chọn

đề tài:

"Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình".Luận văn được chia làm 2 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tàiliệu tham khảo)

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm

và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian véc tơ tô pô, cầnthiết cho quá trình sử dụng sau này Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắngọn chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về không gian mầm các hàm chỉnhhình mà mục đích của luận án là nghiên cứu các tính chất tô pô trên lớpcác không gian này

Chương 2: Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình.Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề chính quy của lớp khônggian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact trong không gian lồiđịa phương metric và tính đầy của lớp không gian mầm các hàm chỉnhhình trên các tập compact cân trong không gian lồi địa phương metric,chương này lần lượt trình bày một cách có hệ thống một số kết quả vềtính chính quy và tính đầy của lớp không gian đó

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu tính chính quy và tính đầy đủ của không gianmầm các hàm chỉnh hình H(K) với K là tập compact trong không gianlồi địa phương metric

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết vềkhông gian mầm các hàm chỉnh hình và cấu trúc của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tính chính quy của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K)

- Tính chính quy Cauchy của không gian H(K)

- Tính đầy của không gian H(K) với K là tập compact trong khônggian lồi địa phương metric

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian véc tơ tô pô

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản sẽ được sử dụng về sau

Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một không gian véc tơ và A là một tậpcon của E

i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A,trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1

ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A thì λx ∈ A khi | λ |≤ 1.iii) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân.iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A

v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữuhạn

vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ E, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn: | µ |≥ λ

Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ tô pô có một cơ sở gồmnhững lân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồiđịa phương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồiđịa phương

Định nghĩa 1.1.3 a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường

K (K = C hoặc K = R) Một hàm p xác định trên E có giá trị thực vàkhông âm (hữu hạn) được gọi là một nửa chuẩn nếu

Định nghĩa 1.1.5 Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩnnếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p

Mệnh đề 1.1.6 Không gian lồi địa phương E là khả metric khi vàchỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được Tô pôcủa một không gian khả metric luôn luôn có thể xác định được bởi mộtmetric, bất biến đối với các phép tịnh tiến

Chứng minh Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một

cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc

Ngược lại, nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì vì mỗi lân cậnđều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un) những

lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn là hàm cỡ của un Đặt

Vn = {x : f (x) < 2−n}lập thành một cơ sở lân cận Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phátbởi mỗi pn và do đó f là liên tục Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x /∈ Unthì pn(x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát

Định nghĩa 1.1.7

a) Một hàm thực ϕ(x) trên một không gian tuyến tính X được gọi

là dưới tuyến tính, nếu

+) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2), với mọi x1, x2 ∈ X

+) ϕ(αx) = αϕ(x), với mọi x ∈ X và mọi số α ≥ 0

b) Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ(x) (trong không gian thực hayphức) là một sơ chuẩn nếu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) với mọi x ∈ X và mọi số

α ∈ K

Mệnh đề 1.1.8 Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi

nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một chuẩn khi và chỉ khi

nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đườngthẳng nào

Chứng minh Thật vậy, nếu B là một tập lồi, cân, hút thì dễ thấyrằng hàm cỡ pB của nó nghiệm đúng pB(−x) = pB(x), do đó với mọi

α < 0 : pB(αx) = −αpB(−x) = −αpB(x), cho nên pB(αx) =| α | pB(x)với mọi α và pB là một sơ chuẩn.

Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi vì với

x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y) < 1.Hơn nữa B cân đối vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1, và B cũng

là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) = p(x)/λ < 1 Dễ thấyp(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p(x) = pB(x) Sau cùng, nếu p làmột chuẩn thì với mọi x 6= 0, p(x) > 0 cho nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (với

α đủ lớn), tức là αx 6= B, chứng tỏ B không chứa trọn một đường thẳng

Mệnh đề 1.1.9 Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơchuẩn Γ tùy ý Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số,trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục Tô pô ấy lồi địa phương

và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng

Định nghĩa 1.1.10.

a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một họ

sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãn điều kiện tách (1.2),gọi là không gian đếm được chuẩn

b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gianFrechet Như vậy mọi không gian Banach (không gian định chuẩn đủ)đều là không gian Frechet

c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địaphương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọithùng đều là lân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi khônggian Frechet là không gian thùng

Định nghĩa 1.1.11 Cho I là tập chỉ số định hướng tùy ý Với mỗi

α ∈ I, cho να : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ

E vào không gian lồi địa phương Eα Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếunhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ να là liên tục

Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyếntính η : G → E của một không gian véc tơ tô pô G vào E là liên tụcnếu và chỉ nếu να◦ η là liên tục với mọi α ∈ I.

Định nghĩa 1.1.12 Cho I là tập chỉ số định hướng Với mỗi α ∈ I,cho Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β,tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eβ → Eα sao cho

i) uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I

ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , với mọi α ≤ β ≤ γ

Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα, uαβ} đượcgọi là một hệ xạ ảnh Không gian con:

Chứng minh Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một

họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X Ta biết là trong mộtkhông gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập

bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1(0) là một không gian concủa X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1(0).Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ Xp (˜x làlớp các x0 ∈ X với p(x0 − x) = 0), và dựa vào mệnh đề 1.1.9 ta thấy Xchính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với các up 

Mệnh đề 1.1.14 Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồiđịa phương đầy là đầy.

Mệnh đề 1.1.15 Nếu E là một không gian lồi địa phương Hausdorff

và đầy thì

E = lim proj

α

\E/ ker α

ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E

Mệnh đề 1.1.16 Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồiđịa phương Eα đối với các ánh xạ να Một tập M trong E bị chặn khi vàchỉ khi να(M ) cũng bị chặn

Định nghĩa 1.1.17 Cho I là tập chỉ số định hướng tùy ý Với mỗi

α ∈ I, cho να : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địaphương Eα vào không gian véc tơ E = S

α

να(Eα) Tô pô quy nạp trên E

là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ tuyến tính να làliên tục

Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyếntính η : E → F của E vào một không gian véc tơ tô pô F là liên tụcnếu và chỉ nếu η ◦ να là liên tục với mọi α ∈ I

Định nghĩa 1.1.18 Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ cáckhông gian lồi địa phương {Eα} được định hướng bởi quan hệ bao hàm

và mỗi ánh xạ bao hàm Eα ,→ Eβ là liên tục Khi đó, E được trang bịbởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα ,→ E được gọi là giới hạnquy nạp của các không gian con Eα và được kí hiệu bởi

E = lim ind

Ví dụ 1.1.19 Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp làkhông gian thương Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là mộtkhông gian tuyến tính con của X0, và X = X0/M Gọi v là ánh xạ chínhtắc từ X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tươngđương ˜x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địaphương mạnh nhất để η liên tục.

Định nghĩa 1.1.20 Cho E = lim ind

α Eα là giới hạn quy nạp của cáckhông gian con Eα Khi đó ta nói rằng

i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Eβ mỗikhi Eα ⊂ Eβ

ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ

iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bịchứa và bị chặn trong Eα nào đó

iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E

bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ramọi lưới {xα} ⊂ B là E-Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα-Cauchy

Mệnh đề 1.1.21 ([6], tr 58-59, mệnh đề 6.4-6.6) Cho E = lim ind

là giới hạn quy nạp chặt của một dãy các không gian con En thì

i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E

ii) Nếu En là đóng trong En+1, với mọi n thì E = lim ind

n En là giớihạn quy nạp chính quy Cauchy

iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E là Hausdorff và đầy.Định nghĩa 1.1.22 Một không gian lồi địa phương E là một (DF )-không gian nếu

a) E có một dãy cơ bản của các tập bị chặn

b) Mọi hợp đếm được bị chặn mạnh của các tập con đồng liên tụccủa E là đồng liên tục

Mệnh đề 1.1.23 ([10], tr 77, hệ quả 2) Một (DF )-không gian tựađầy là đầy.

Mệnh đề 1.1.24 ([10], tr 78, định lý 9) Cho E là giới hạn quy nạp củamột dãy tăng của (DF )-không gian En Khi đó, E là một (DF)-khônggian và mỗi tập con bị chặn của E bị chứa trong bao đóng E của mộttập con bị chặn của En

1.2 Đa thức trên không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là một không gian véc tơ trên trường C.Một ánh xạ L : En → C được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó tuyếntính theo từng biến mỗi khi cố định các biến còn lại Ký hiệu tập hợptất cả các ánh xạ n tuyến tính bởi La(nE)

Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ tuyến tính L : E → C được gọi làđối xứng nếu

L(x1, x2, , xn) = L(xσ(1), xσ(2), , xσ(n)),với mọi x1, x2, , xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiênđầu tiên Chúng ta ký hiệu Lsa(nE) là không gian véc tơ của tất cả cácánh xạ n tuyến tính đối xứng trên E

Chúng ta có thể liên kết một ánh xạ n tuyến tính đối xứng với mỗiánh xạ n tuyến tính bởi toàn ánh chính tắc s : La(nE) → Lsa(nE) đượcxác định bởi công thức

Định nghĩa 1.2.3 Cho E là một không gian véc tơ tô pô lồi địaphương trên C Một ánh xạ P : E → C được gọi là một đa thức n thuầnnhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính L : En → C sao cho P = L◦∆,trong đó ∆(x) = xn, x ∈ E Ký hiệu Pa(nE) là không gian véc tơ củatất cả các đa thức n thuần nhất trên E.

Một đa thức trên E là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhấttrên E Ta ký hiệu Pa(E) là không gian véc tơ tất cả các đa thức trênE

aijzizj

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đathức n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính Tuy nhiên nếu chỉ hạnchế trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu đượcmột tương ứng duy nhất Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất

và toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán

La(nE) //

%%L L L L L

xạ ∧ là một đơn ánh Do đó chúng ta nhận được một song ánh chính tắc

giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không gian các đathức n thuần nhất trên E.

Định lý 1.2.5 (Công thức phân rã) Cho E là một không gian lồi địaphương trên C Khi đó, nếu L ∈ Lsa(nE) và x1, x2, , xn ∈ E thì

Chứng minh Bởi tính tuyến tính và tính đối xứng

Nếu m1 = m2 = = mn = 1 thì P

ε j =±1 i6j6n

εm1 +1

1 εm2 +1

2 εmn +1

n = 2n và các

hệ số của L(x1, x2, xn) trong khai triển trên bằng 1

Nếu mi > 1 với i nào đó thì mj = 0 với j nào đó Khi đó chúng tanhận được

Hệ quả 1.2.6 Ánh xạ ∧ : Lsa(nE) → Pa(nE) là một song ánh tuyếntính.

Chứng minh Bởi công thức phân rã L ∈ Lsa(nE) đồng nhất bằng 0nếu và chỉ nếu ˆL đồng nhất bằng 0 Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính cóhạt nhân bằng 0 và là đơn ánh Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính

Cho A là một tập con của một không gian lồi địa phương E và hàm

f : A → C, ta đặt

kf kA = sup

x∈A

| f (x) |

Định lý 1.2.7 Cho E là một không gian lồi địa phương trên C và A

là một tập lồi cân trong E Khi đó, ta có

k ˆLkA 6 kLkA n 6 n

n

n!k ˆLkA, với mọi L ∈ Lsa(nE)Chứng minh Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì ˆL(A) ⊂ L(An).Theo công thức phân rã, ta có

kLkAn = 1

2n · 1n!

X

ε j =±1 16i6n

sup

x i ∈A

ˆL(

ˆL(

= nn

6 nnk ˆLkA

Do đó, chúng ta nhận được

kLkAn 6 1

2n · 1n!

X

ε j =±1 16i6n

nnk ˆLkA = n

n

n!kLkAn

Bổ đề 1.2.8 Nếu L ∈ Lsa(nE) và P = ˆL ∈ Pa(nE) thì với mọi x, y ∈ E

kP kx+A 6



1 + 1λ

n

kP kA.Chứng minh Ta có

n

kP kA

Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục trênkhông gian lồi địa phương E được ký hiệu bởi P (nE) Không gian véc

tơ tất cả các đa thức liên tục trên E được ký hiệu bởi P (E)

Mệnh đề 1.2.10 Cho E là một không gian lồi địa phương trên C

và P ∈ Pa(nE) Khi đó các mệnh đề sau tương đương

a) P là liên tục

b) P liên tục tại gốc

c) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc

d) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗiđiểm)

Chứng minh Các kéo theo a) ⇒ b) ⇒ c) là tầm thường Theo bổ đề1.2.9 ở trên ta nhận được c) ⇔ d) Vấn đề còn lại là ta chứng minhc) ⇒ a) Cho A ∈ Ls(nE) và giả sử ˆA = P , theo công thức phân rã vàc) tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho kAkV n = M < ∞ Với

xo ∈ E tùy ý chọn α > 0 sao cho αxo ∈ V Theo bổ đề 1.2.8, ta có

n

→ 0 khi n → ∞

Như vậy P liên tục tại xo và việc chứng minh được hoàn thành 

1.3 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.1 Một tập con U của không gian lồi địa phương

E được gọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gianEuclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E

Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các

tf lân cận cân lập thành một cơ sở đối với tf lân cận của 0 trong E

Định nghĩa 1.3.2 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạnchiều U của không gian lồi địa phương E được gọi là G chỉnh hình(Gateaux chỉnh hình) nếu hạn chế của f tới mỗi đường thẳng phức làchỉnh hình Nghĩa là: với mọi a ∈ U, 0 6= b ∈ E sao cho a + λb ∈ U với

λ ∈ C thì ánh xạ λ → f (a + λb) là chỉnh hình Ta ký hiệu HG(E) là tậptất cả các hàm G chỉnh hình trên E

Định nghĩa 1.3.3 Một ánh xạ f : U → C được gọi là bị chặn địaphương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận Vξ của ξ trong U saocho f (Vξ) là tập bị chặn trong C

Mối quan hệ giữa ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phươngđược phản ánh trong kết quả sau

Mệnh đề 1.3.4 ([16], tr 25, định lý 1.2.8)Cho ánh xạ f : U → C.Khi đó các điều kiện sau là tương đương

i) f là chỉnh hình

ii) f là G chỉnh hình và liên tục

iii) f là G chỉnh hình và bị chặn địa phương

Bổ đề 1.3.5 Nếu U là một tập con mở của không gian véc tơ E và

f ∈ HG(E) thì f là liên tục khi U được cho bởi tô pô mở hữu hạn

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng tf là tô pô giới hạn quy nạp được chobởi các ánh xạ bao hàm G ,→ E, ở đó G chạy trên tất cả các không giancon hữu hạn chiều của E Do đó một hàm f xác định trên một tập con

tf mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữuhạn chiều của U là liên tục Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục nên

Mệnh đề 1.3.6 Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gianvéc tơ E và f ∈ HG(E) thì với mỗi ξ ∈ U tồn tại duy nhất một dãy đathức thuần nhất trên E

( ˆdmf (ξ)m!

Chứng minh Cố định điểm ξ ∈ U Với mỗi số nguyên dương m ta đặt

Pm,ξ = 1

2πiZ

Gọi Lm,ξ là ánh xạ m tuyến tính đối xứng liên kết trên E Theo định lý1.2.5 về công thức phân rã, nếu x1, x2, , xn ∈ E thì ta có

Theo định lý Haln-Banach thì Lm,ξ ∈ Ls

a(mE) và Pm,ξ ∈ Pa(mE) Cho

V là một tf lân cận của 0 sao cho ξ + V ⊂ U Nếu x ∈ V thì ξ + {λx :

|λ| ≤ 1} là một tập con compact của U Do đó, tồn tại ρ > 1 sao cho

ρm sup

x∈ξ+ρB

kf kB = 1

ρmkf kξ+ρB

1.3 Hàm chỉnh hình< /h3>

Định nghĩa 1.3.1 Một tập U khơng gian lồi địa phương

E gọi mở hữu hạn U ∩ F tập mở không gianEuclide F với không gian hữu hạn chiều F E

Các tập... data-page="20">

Không gian véc tơ tất đa thức n liên tục trênkhông gian lồi địa phương E ký hiệu P (nE) Không gian véc

tơ tất đa thức liên tục E ký hiệu P (E)

Mệnh đề 1.2.10 Cho E không. .. chỉnh hình) hạn chế f tới đường thẳng phức l? ?chỉnh hình Nghĩa là: với a ∈ U, 6= b ∈ E cho a + λb ∈ U với

λ ∈ C ánh xạ λ → f (a + λb) chỉnh hình Ta ký hiệu HG(E) tậptất hàm