Vectơ trong không gian và các bài toán

Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rấthiệu quả.. Nó cho chúng ta lời giải một các

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

 CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012

LỜI CẢM ƠN

Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên emkhông khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Để có được khoá luận hoàn thiện

em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy

cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng gópnhững ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua

Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ khôngtránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp củathầy cô và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung chokhóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ íchcho tất cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình

học, các thầy cô trong khoa và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn

em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viênNgô Thị Hồng Thoa

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóaluận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nàokhác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận đượchoàn thiện hơn

Sinh viênNgô Thị Hồng Thoa

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 4

I VECTƠ 4

II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 6

III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14

I CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC 14

II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 25

III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM 28

IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 33

V CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN 36

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn học khó đối với họcsinh Vì hình học là môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượngcao hơn môn học khác của toán học

Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học

ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rấthiệu quả Nó cho chúng ta lời giải một cách chính xác, tránh được yếu tố trựcquan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là công cụ hiệu quả

để giải các bài toán hình học Không những thế phương pháp vectơ cón là mộtcông cụ rất mạnh để giải các bài toán đại số

Do đó việc nắm vững phương pháp sẽ cung cấp cho học sinh mộtphương pháp giải toán hữu hiệu Đồng thời còn để cho học sinh suy nghĩ vềbài toán theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc mà họcsinh đã biết từ trước tới nay

Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn của bản thân cómột hệ thống cụ thể về phương pháp vectơ trong toán học sơ cấp và sự động

viên khích lệ của thầy Bùi Văn Bình mà em đã chọn đề tài:” Vectơ trong không gian và các bài toán: Quan hệ vuông góc, điểm cố định của đường thẳng và mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, các bài toán tính toán”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bàitoán trong không gian để đơn giản hoá lời giải giúp các bài toán có các cách

1

2

-giải ngắn gọn và giúp học sinh có thêm một phương pháp để -giải các bài toánhình học trong không gian

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bàitoán trong không gian để giảm bớt quá trình tính toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm cách chuyển ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ vectơ Sau đó

sử dụng các kiến thức tổng hợp về vectơ để giải toán Sau khi giải xong ta lạichuyển ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ bài toán cần giải

5 Phạm vi nghiên cứu

Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề sửdụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học trong không gian

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài đã cho ta thấy được những ưu điểm nổi bật của phương phápvectơ so với các phương pháp khác và những ứng dụng rộng rãi trong toánhọc của vectơ

Đề tài còn cung cấp cho chúng ta một phương pháp giải các bài toánhình học trong không gian một cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu

7 Phương pháp nghiên cứu

 Phân tích tài liệu

 Tổng kết lại thành từng dạng toán

8 Cấu trúc khoá luận

Nội dung khoá luận gồm 2 phần cơ bản:

Chương I: Những kiến thức liên quan

Phần này trình bày tóm tắt về một số kiến thức cơ bản về vectơ

Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán

Phần này đưa ra các ứng dụng cụ thể của phương pháp vectơ để giảicác bài toán hình học trong không gian Đồng thời trình bày hệ thống các ví

dụ và bài tập cụ thể

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ

I VECTƠ

I.1 Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gốc) vàđiểm B là điểm cuối (điểm ngọn) thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã được địnhhướng hay gọi là vectơ AB

gọi vectơ- không

I.2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.



* Hai vectơ AB và 

CD được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm

trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Khi đó:

+ Vectơ-không được xem là cùng phương với mọi vectơ



+ Hai vectơ a và b cùng phương với một vectơ khác vectơ-không thì

hai vectơ đó cùng phương với nhau

* Hai vectơ cùng phương AB và 

CD gọi là ngược hướng nếu chiều từ A

đến B ngược với chiều từ C đến D

 

Kí hiệu: AB CD

+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã

có hai vectơ đó cùng phương

I.3 Độ dài của vectơ

Từ đó ta có: độ dài của vectơ- không bằng 0

I.4 Hai vectơ bằng nhau

 a

b

I.5 Góc giữa hai vectơ

B và C sao cho : AB a, BC b Khi đó



vectơ a và b 

 a

 b

B

 a

 b

Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau :

   

Khi đó ta có : a b a b

Phép tìm hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ hai vectơ

* Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :

  

Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có : AB AC CB

II.3 Phép nhân vectơ với một số

III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

trong đó b ' là hình chiếu của b trên đường

III.2 Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

luôn tồn tại duy nhất ba số

thực x, y, z sao cho : d xa yb zc

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

0



LI

GN

M

K

JC

1 Gọi I, J, K, L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC,

AD, BD, AC

G là trung điểm của đoạn thẳng IJ.

Chứng minh tương tự ta được G là trung điểm của các đoạn thẳng KL và MN

Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD

C1N

sau đó sử dụng tích vô hướng

ta có ngay lời giải bài toán

Ví

dụ 3 : Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau :

AB=CD= c, BC=DA=a, CA=BD=b Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ

để các đường trọng tuyến AA1 và CC1 vuông góc với nhau là :

tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi AH là đường cao của tứ

diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH Chứng minh: OB, OC,

OD vuông góc với nhau từng đôi một

ngay kết quả cần chứng minh

Bài

tập 3: Cho tứ diện ABCD, AC=a, BD=b Trên đường thẳng AB lấy 2

điểm P, P ; trên đường thẳng CD lấy 2 điểm Q, Q sao cho: AP CQ

tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AD và BB’ Chứng

' theo a,b, c rồi xét tích MN.AC ' sẽ suy ra điều

I.2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I.2.1 Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thực chất quy

về chứng minh hai đường thẳng vuông góc

2

G là trọng tâm của ABC nên ta có:

AC1 A1BD

Vậy AC1 

A1BD

(đpcm)

I.2.3 Bài tập:

B

ài t ập 1: Cho hình thang ABCD có □A B□ 90 o

S là điểm trêntia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết rằng AD=2a, AB=BC=a

Biểu diễn SB, SC, SD theo

a,b,c rồi xét các tích vô hướng SB.SC, SC.SD Bài

tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng 1 Trên

các cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: B’M=CN=D’P=a (0<a<1) Chứng minh:

   

1 MN a AB AD a 1AA'

2 AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP)

zG

CI

yB

II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM

CỐ ĐỊNH.

II.1 Phương pháp:

Một điểm hoàn toàn cố định khi biết tỷ số mà điểm đó chia đoạn cố địnhcho trước

Do vậy để chứng minh đường thẳng và mặt phẳng đi qua một điểm cố định

ta sẽ chỉ ra rằng đường thẳng và mặt phẳng đó chứa một điểm chia đoạn thẳng

cố định nào đó theo một tỷ số xác định đã biết

II.2 Ví dụ:

Ví

dụ 1: Gọi P là điểm cố định trên mặt cầu tâm O bán kính R cho trước.

Tam diện vuông Pxyz quay xung quanh P có các tia Px, Py, Pz cắt mặt cầulần lượt tại A, B, C Chứng minh (ABC) luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

xA

K

P

Gọi I là trung điểm của BC Trên PI lấy điểm K sao cho PK 2PI 

Khi đó APK vuông tại P, mặt cầu qua 4 điểm P, A, B, C nhận AK làm đường kính Và trung điểm O của AK làm tâm

Gọi G là trọng tâm của ABC

nên

   

   Gọi G, G1 lần lượt là trọng tâm của ABC và MNP

GA GB GC 0

   

và G M G N G P 01 1 1

Vậy mp(MNP) luôn đi qua điểm G1 cố định.

Nhận xét: Hệ thức vectơ về trọng tâm của tam giác giúp cho những bài toán

sử dụng vectơ trở nên đơn giản

Việc sử dụng vectơ để tìm điểm cố định sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so vớicác phương pháp khác

II.3 Bài tập:

Bài

tập 1: Cho tứ diện SABC, các điểm I, J di động trên các cạnh AB, AC

sao cho: AB AC 3 Chứng minh rằng mp(SIJ) luôn đi qua một

đường

AI AJthẳng cố định

Hướng dẫn:

Gọi G là giao điểm của Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC (SIJ) đi qua đường thẳng cố định SG

Bài

tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên các

đường chéo BD và AD’ của các mặt bên lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và



a 2

N sao cho DM=AN=x 0 x

a

2  Chứng minh rằng khi đó đường thẳng

MN luôn song song với mặt phẳng cố định

Hướng dẫn: Đặt AD a, AB b, AA' c    

Sau đó biểu diễn MN

  qua 2 vectơ AD, BA' MN 2k 1AD k

BA'

Do đó 3 vectơ MN , AD, BA' đồng phẳng tức là đường thẳng MN luôn song

song với mặt phẳng (BCD’A’) của hình lập phương

Chú ý : Nếu M’N’//A’D’, MM’//BC ta được mp(MNN’M’)//(BCD’A’)

III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM.

III.1 Phương pháp:

Để có thể sử dụng vectơ vào các bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta cầnluư ý kỹ năng chuyển từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học và ngượclại

Đặc biệt cần nhớ rằng:

  1) Đường thẳng đi qua A có vectơ chỉ phương

 

,

  0,

0làquỹ tích điểm M sao cho:

MB với A, B cho trước thì quỹ tích điểm M là mặt phẳng

trung trực của đoạn AB

 

7) Nếu có MA k

BC

với k□ *; A, B, C cho trước:

+ Nếu A, B, C thẳng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thẳng BC

+ Nếu A, B, C không thẳng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thẳng qua

A và song song với BC

III.2 Ví dụ:

Ví

dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau, M và

N là 2 điểm lần lượt di động trên (a) và (b) Tìm tập hợp các điểm I sao cho

36

- - 

B là điểm bất kì trên (b) và gọi b b 0 là vectơ chỉ phương của (b). 

Gọi I0 là điểm chia đọan AB theo tỷ số k hay I0 A k I0 B

   là mặt phẳng song song với (a) và (b).

Nhận xét: việc dự đoán quỹ tích rất khó khăn

Ở bài này quỹ tích là một mặt phẳng do đó sử dụng các phương pháp thôngthường để tìm quỹ tích sẽ gặp khó khăn

Ví

dụ 2:

Trong không gian cho 3 đường thẳng (p), (q) và (r) đôi một chéo nhau vàcùng song song với mặt phẳng   nào đó A, B, C lần lượt là 3 điểm diđộng trên (p), (q), (r) Tìm quỹ tích trọng tâm của ABC

Sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta sẽsuy ra được quỹ tích của điểm M.

MC thành hiệu của hai vectơ có điểm đầu là O

sau đó biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh

Bài

tập 3 Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không gian.

Tìm quỹ tícsh điểm M nếu có:

phải chứng minh

2 Trước hết ta hãy xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:

    

3IA 2IB IC ID 0

Gọi N là trung điểm của CD suy ra điểm I được xác định duy nhất bởi hệ

suy ra điều phải chứng

IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

IV.1 Phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ ta dựa vào các kết quả sau:

a) Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ:

     Cho hai vectơ a,ba 0,b

0

khi đó tích vô hướng của hai vectơ được

định nghĩa như sau:

Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ Gọi G, G’ lần lượt

là trọng tâm của hai tứ diện đó Chứng minh: GG '  AA 'BB 'CC

Giả sử O là điểm nằm trong tứ diện ABCD sao cho:

B□OC D□OA, □AOB D□OC,C□OA D□OB Chứng minh: với mọi điểm M trong không gian luôn có: MA MB

MC MD OA OB OC OD

Giải:

   

Trên các tia OA, OB, OC, OD lấy các vectơ đơn vị OA',OB ',OC ',OD '

Khi đó với giả thiết đã cho ta có; B’C’=D’A’,C’A’=D’B’,A’B’=D’C’ nênA’B’C’D’ tứ diện gần đều nhận O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, đồng thời Ocũng là trọng tâm của tứ diện gần đều A’B’C’D’

   

MA.OA MA.OA  MA.OA MA

OA

Vậy M thuộc 4 tia [AO), [BO), [CO), [DO) tức là MO thì dấu đẳng thức xảy ra.

A' B A'C A' D 2 A' A 0 AA' AB AC

AD , A’ là đỉnh đối A của

hình hộp có 3 cạnh AB, AC, AD

   

Ta tách các MA, MB, MC, MD thành tổng của hai vectơ bằng cách chèn điểm

A’ trong biểu thức MB2+MC2+MD2-2MA2 rồi biến đổi ta sẽ có kết quả cần chứng minh

V CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN

V.1 Phương pháp

Ta sử dụng phương pháp vectơ trong các bài toán tính toán thường vớinhững dạng bài sau:

1 Tính góc:

+ Giữa hai đường thẳng ta quy về tính góc giữa hai vectơ chỉ phươngcủa hai đường thẳng đó.

+ Giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó

+ Giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về tính góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó

2 Tính độ dài đoạn thẳng AB cho trước ta thực hiện:

  

AB AB AB.AB2 2

Nhận xét: Ta biểu diễn

 theo   a,b,

c sau đó bình phương vô hướng



ta dễ dàng tính được độ dài đoạn thẳng MN

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta tính được góc từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng tương ứng