Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

Lý do chon đe tài Trong giái tích phúc, m®t van đe lón đưoc đ¾t ra đoi vói lý thuyetcác hàm chính hình đó là tính chính hình đ%a phương trên m®t t¾p con K nào đó cna m®t không gian loi đ

LèI CÁM ƠN

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi

thay đã t¾n tình giúp đõ tôi trong quá trình hoàn thành lu¾n văn này.Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc,trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cùng toàn the các thay cô giáo trongtrưòng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tôi hoc t¾p và nghiêncúu

Trong quá trình thnc hi¾n công tác nghiên cúu không tránh khóinhung han che và thieu sót, tôi xin chân thành cám ơn nhung ý kienđóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Tác giá.

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa

lu¾n tot nghi¾p"Cau trúc cúa không gian mam các hàm chính hình"đưoc hoàn thành, không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào khác.

Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Tác giá

Đ¾ng Th% Bích Tháo

Mnc lnc

Má đau 1

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b% 4 1.1 Không gian v éc tơ tô p ô 4

1.2 Đa thúc trên không gian loi đ%a phương 12

1.3 Hàm c hính hình 18

1.4 Không gian mam các hàm c hính hình 23

Chương 2 Cau trúc cúa không gian mam các hàm chính hình 26 2.1 Tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình 26 2.2 Tính chính quy Cauchy cna không gian mam hàm chính hình 31

2.3 M®t so ví du và phán ví du ve đieu ki¾n (B) 34

2.4 Tính đay cna không gian mam các hàm chính hình 37

KET LU¾N 41

TÀI LIfiU THAM KHÁO 42

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Trong giái tích phúc, m®t van đe lón đưoc đ¾t ra đoi vói lý thuyetcác hàm chính hình đó là tính chính hình đ%a phương trên m®t t¾p con

K nào đó cna m®t không gian loi đ%a phương Đieu đó dan đen khái

ni¾m mam hàm chính hình H(K) trên t¾p K Ý nghĩa quan trong cna

khái ni¾m này là sn đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho vi¾cxét m®t phan tú co đ%nh nào đó ngưòi ta xét lóp tat cá các phan tútương đương đoi vói phan tú này Trong khái ni¾m mam ta phân ra cácđ¾c điem chung liên ket các phan tú tương đương lai vói nhau T¾p các

mam hàm chính hình H(K) trên t¾p compact K có the đưoc xét theo

hai khía canh M®t là, ve m¾t đai so ta có the xem nó như là m®t vành

Các tính chat cna vành H(K) đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi, có the xem: Bănică-Stănilă [2], Siu [7], M¾t khác, H(K) có the đưoc xem như là

m®t không gian véc tơ tô pô trang b% tô pô loi đ%a phương tn nhiên bangcách ket hop các tô pô cna không gian các hàm chính hình trên m®t lân

c¾n cna K Theo hưóng nghiên cúu này phái ke đen các công trình cna

S B Chae [3], A Grothendieck [10] và A Martineau [14, 15],

Vi¾c nghiên cúu m®t cách trnc tiep tô pô trên lóp không gian cáchàm chính hình không phái luôn đưoc tien hành m®t cách de dàng.Trong khi đó không gian mam các hàm chính hình đôi khi lai có the

nghiên cúu m®t cách thu¾n loi Trên H(K) ngưòi ta thưòng quan tâm

đen tính chính quy và tính đay cna lóp không gian này Theo hưóngnghiên cúu đó, S

B Chae [9] đã chúng tó tính chính quy cna H(K) vói K là t¾p compact

trong không gian Banach

Đe nghiên cúu cau trúc cna không gian mam hàm chính hình H(K), vói K là t¾p compact trong không gian loi đ%a phương metric tôi đã

chon đe tài:

"Cau trúc cía không gian mam các hàm chsnh hình".

Lu¾n văn đưoc chia làm 2 chương (ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tàili¾u tham kháo)

Chương 1: Kien thúc chuan b%.

Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các khái ni¾m

và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian véc tơ tô pô, canthiet cho quá trình sú dung sau này Tiep theo bang cách tiep c¾n ngangon chúng tôi se giói thi¾u khái ni¾m ve không gian mam các hàm chínhhình mà muc đích cna lu¾n án là nghiên cúu các tính chat tô pô trên lópcác không gian này

Chương 2: Cau trúc cna không gian mam các hàm chính hình.

Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu van đe chính quy cna lópkhông gian mam các hàm chính hình trên các t¾p compact trongkhông gian loi đ%a phương metric và tính đay cna lóp không gian mamcác hàm chính hình trên các t¾p compact cân trong không gian loi đ%aphương metric, chương này lan lưot trình bày m®t cách có h¾ thongm®t so ket quá ve tính chính quy và tính đay cna lóp không gian đó

2 Mnc đích nghiên cNu

Lu¾n văn nghiên cúu tính chính quy và tính đay đn cna không gian

mam các hàm chính hình H(K) vói K là t¾p compact trong không gian

loi đ%a phương metric

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet vekhông gian mam các hàm chính hình và cau trúc cna nó

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

- Tính chính quy cna không gian mam hàm chính hình H(K).

- Tính chính quy Cauchy cna không gian H(K).

- Tính đay cna không gian H(K) vói K là t¾p compact trong không

gian loi đ%a phương metric

5 Phương pháp nghiên cNu

- Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo

- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 NhÑng đóng góp cúa đe tài

Trình bày m®t cách có h¾ thong m®t so ket quá ve tính chính quy và

tính đay đn dãy cna không gian mam các hàm chính hình H(K) vói K

là t¾p compact trong không gian loi đ%a phương

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Không gian véc tơ tô pô

Trong phan này, chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m và tính chat

cơ bán se đưoc sú dung ve sau

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho E là m®t không gian véc tơ và A là m®t t¾p

con cna E

i) T¾p A đưoc goi là loi neu vói moi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A,

trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1.

ii) T¾p A đưoc goi là cân neu vói moi x ∈ A thì λx ∈ A khi | λ |≤ 1.

iii) T¾p A đưoc goi là tuy¾t đoi loi neu nó đong thòi là loi và cân.

iv) T¾p tat cá các to hop tuyen tính huu han

λ i · x i vói λi ≥ 0, λ i = 1, xi ∈ A

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A.

v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu

han λ i · x i vói | λ i |≤ 1 và vói moi x i ∈ A (là t¾p hop tuy¾t

đoi loi

nhó nhat chúa A).

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ E, ton tai λ > 0 sao cho

x ∈ µA vói moi µ thóa mãn: | µ |≥ λ

Đ%nh nghĩa 1.1.2 M®t không gian véc tơ tô pô có m®t cơ só gom

nhung lân c¾n loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ tô pô loiđ%a phương (không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loiđ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.1.3 a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ trên trưòng

K (K = C ho¾c K = R) M®t hàm p xác đ%nh trên E có giá tr% thnc

và không âm (huu han) đưoc goi là m®t núa chuan neu

M¾nh đe 1.1.4 Trong m®t không gian loi đ%a phương E, m®t núa

chuan p là liên tnc khi và chs khi nó liên tnc tai điem goc.

ChNng minh Neu p liên tuc tai điem goc và ε > 0 là m®t so cho trưóc

thì ton tai m®t lân c¾n V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V Do đó, vói a

là m®t điem tùy ý cna E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε khi x ∈

a +V Q

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan

neu tô pô cna nó có the xác đ%nh đưoc bói m®t chuan p.

M¾nh đe 1.1.6 Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và

chs khi nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc Tô

pô cúa m®t không gian khá metric luôn luôn có the xác đ%nh đưoc bói m®t metric, bat bien đoi vói các phép t%nh tien.

ChNng minh Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t

cơ só đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc

Ngưoc lai, neu E có m®t cơ só lân c¾n đem đưoc, thì vì moi lân c¾n

đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nên ton tai m®t cơ só (u n) nhung

lân c¾n tuy¾t đoi loi Goi pn là hàm cõ cna un Đ¾t

∞

f (x) = 2−n inf{pn(x), 1}.

n=1 The thì f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) và neu f (x) =

0 thì p n (x) = 0, vói moi n Bói vì E là tách nên x = 0 Đ¾t d(x, y) =

f (x − y) thì d là m®t metric và d(x + z, y + z) = d(x, y) Như v¾y

d là bat bien đoi vói các phép t%nh tien Trong tô pô metric, các t¾p

hop

V n = {x : f (x) < 2 −n }

l¾p thành m®t cơ só lân c¾n Nhưng V n là mó đoi vói tô pô xuat phát

bói moi pn và do đó f là liên tuc Hơn nua Vn ⊂ U n bói vì neu x ∈/

a) M®t hàm thnc ϕ(x) trên m®t không gian tuyen tính X đưoc goi

là dưói tuyen tính, neu

+) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2), vói moi x1, x2 ∈ X

+) ϕ(αx) = αϕ(x), vói moi x ∈ X và moi so α ≥ 0

b) M®t phiem hàm dưói tuyen tính ϕ(x) (trong không gian thnc hay phúc) là m®t sơ chuan neu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) vói moi x ∈ X và moi so

α ∈ K

M¾nh đe 1.1.8 M®t hàm p : X → R là sơ chuan khi và chs khi

nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t chuan khi và chs khi

nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa tron m®t đưòng thang nào.

ChNng minh Th¾t v¾y, neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì de thay

rang hàm cõ pB cna nó nghi¾m đúng pB (−x) = pB (x), do đó vói

moi

α < 0 : pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x), cho nên pB (αx) =| α | pB (x)

vói moi α và pB là m®t sơ chuan.

Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p(x) < 1} loi vì vói x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)

+(1−α)p(y) < 1 Hơn nua B cân đoi vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) =

p (x) < 1, và B cũng là hút vì neu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) =

p (x)/λ < 1 De thay p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p(x) =

p B (x) Sau cùng, neu p là m®t chuan thì vói moi x ƒ= 0, p(x) > 0 cho nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (vói α đn lón), túc là αx ƒ= B, chúng tó B không chúa tron m®t đưòng thang nào đi qua 0 và x Q

M¾nh đe 1.1.9 Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ

chuan Γ tùy ý Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai

so, trong đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc Tô pô ay loi đ%a

phương và nh¾n làm cơ só lân c¾n cúa goc ho tat cá các t¾p có dang

loi đ%a phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang

n

ε \ V i (ε > 0, Vi ∈ B o).

i=1

p i(x) < ε}

nghĩa là các t¾p ε T V i (ε > 0, Vi ∈ B o) chính là các t¾p (1.1).

i=1 M¾t khác, X là không gian Hausdorff khi và chí khi giao cna tat cá các

t¾p (1.1) là {0}, mà đieu này lai tương đương vói: bat kỳ x ƒ= 0, ton

tai m®t t¾p (1.1) không chúa x, túc là ton tai m®t ε > 0 và m®t p ∈ Γ

Đ%nh nghĩa 1.1.10.

a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc xác đ%nh bói m®t

ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thoá mãn đieu ki¾n tách(1.2), goi là không gian đem đưoc chuan

b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là m®t không gianFrechet Như v¾y moi không gian Banach (không gian đ%nh chuan đn)đeu là không gian Frechet

c) M®t t¾p loi, cân đoi, đóng và hap thu trong m®t không gian loi đ

%a phương goi là m®t thùng M®t không gian loi đ%a phương trong đómoi thùng đeu là lân c¾n cna goc goi là m®t không gian thùng và moikhông gian Frechet là không gian thùng

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tùy ý Vói

moi α ∈ I, cho ν α : E → Eα là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian

véc tơ E vào không gian loi đ%a phương Eα Tô pô xa ánh trên E là

tô pô yeu nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa ν α là liên tuc

Tô pô xa ánh trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính η : G → E cna m®t không gian véc tơ tô pô G vào E là liên tuc neu và chí neu να ◦ η là liên tuc vói moi α ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.1.12 Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng Vói moi α ∈ I,

cho Eα là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤ β,

ton tai m®t ánh xa tuyen tính liên tuc uαβ : Eβ → E α sao cho

i) uαα là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.

ii) uαβ ◦ u βγ = uαγ , vói moi α ≤ β ≤ γ.

Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {E α , u αβ }

đưoc goi là m®t h¾ xa ánh Không gian con:

E = {{xα } ∈ Y E α : uαβ (xβ ) = xα , vói moi α ≤ β}

M¾nh đe 1.1.13 Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh

cúa m®t ho không gian đ%nh chuan.

ChNng minh Cho X là m®t không gian loi đ%a phương bat kỳ, Γ là

m®t ho sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X Ta biet là trong

m®t không gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói hocác t¾p

b% ch¾n nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p −1(0) là m®t không gian con

cna X và p xác đ%nh m®t chuan trên không gian thương Xp =

X/p −1 (0) Khi ay, goi up là ánh xa cho tương úng vói x ∈ X phan tú

x ˜ ∈ Xp (x˜ là lóp các x r ∈ X vói p(x r − x) = 0), và dna vào m¾nh

đe 1.1.9 ta thay X chính là giói han xa ánh cna các Xp đoi vói các up.Q

M¾nh đe 1.1.14 Giói han xa ánh cúa m®t ho các không gian loi

đ%a phương đay là đay.

M¾nh đe 1.1.15 Neu E là m®t không gian loi đ%a phương Hausdorff

và đay thì

E = lim proj Eˆ/ ker α

α

ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.

M¾nh đe 1.1.16 Cho E là giói han xa ánh cúa các không gian loi

đ%a phương E α đoi vói các ánh xa ν α M®t t¾p M trong E b% ch¾n khi và chs khi ν α(M ) cũng b% ch¾n.

Đ%nh nghĩa 1.1.17 Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tùy ý Vói moi

α ∈ I, cho ν α : Eα → E là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian loi đ%a

phương Eα vào không gian véc tơ E = Sν α(Eα) Tô pô quy nap trên

Đ%nh nghĩa 1.1.18 Cho không gian véc tơ E là hop cna m®t ho các

không gian loi đ%a phương {E α } đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm

và moi ánh xa bao hàm Eα ‹→ E β là liên tuc Khi đó, E đưoc trang b% bói tô pô quy nap vói các ánh xa bao hàm E α ‹→ E đưoc goi là giói han

quy nap cna các không gian con Eα và đưoc kí hi¾u bói

E = lim ind Eα

α

Ví dn 1.1.19 Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là

không gian thương Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t không gian tuyen tính con cna X0, và X = X0/M Goi v là ánh xa chính

tac tù X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tươngđương

x˜ chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a

phương manh nhat đe η liên tuc.

Đ%nh nghĩa 1.1.20 Cho E = lim ind Eα là giói han quy nap cna các

α không gian con Eα Khi đó ta nói rang

i) E là giói han quy nap ch¾t neu E α có tô pô cám sinh cna E β moi

khi Eα ⊂ E β

ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.

iii) E là giói han quy nap chính quy neu moi t¾p b% ch¾n cna E là b% chúa và b% ch¾n trong E α nào đó

iv) E là giói han quy nap chính quy Cauchy neu cho trưóc B ⊂ E

b% ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong E α và ngoài ramoi lưói {x α } ⊂ B là E-Cauchy neu và chí neu nó là E α-Cauchy

M¾nh đe 1.1.21 ([6], tr 58-59, m¾nh đe 6.4-6.6) Cho E = lim ind

E n

n

là giói han quy nap ch¾t cúa m®t dãy các không gian con E n thì

i) Moi E n có tô pô cám sinh cúa E.

ii) Neu E n là đóng trong E n+1 , vói moi n thì E = lim ind E n là giói

n

han quy nap chính quy Cauchy.

iii) Neu moi E n là Hausdorff và đay thì E là Hausdorff và đay Đ

%nh nghĩa 1.1.22. M®t không gian loi đ%a phương E là m®t (DF

)-không gian neu

a) E có m®t dãy cơ bán cna các t¾p b% ch¾n.

b) Moi hop đem đưoc b% ch¾n manh cna các t¾p con đong liên tuc

cna E là đong liên tuc.

M¾nh đe 1.1.23 ([10], tr 77, h¾ quá 2) M®t (DF )-không gian

tna đay là đay.

M¾nh đe 1.1.24 ([10], tr 78, đ%nh lý 9) Cho E là giói han quy nap cúa

m®t dãy tăng cúa (DF )-không gian En Khi đó, E là m®t (DF)-không gian và moi t¾p con b% ch¾n cúa E b% chúa trong bao đóng E cúa m®t t¾p con b% ch¾n cúa E n

1.2 Đa thNc trên không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho E là m®t không gian véc tơ trên trưòng C

M®t ánh xa L : E n → C đưoc goi là n tuyen tính trên E neu nó tuyen

tính theo tùng bien moi khi co đ%nh các bien còn lai Ký hi¾u t¾p hop

tat cá các ánh xa n tuyen tính bói La( n E)

Đ%nh nghĩa 1.2.2 M®t ánh xa tuyen tính L : E → C đưoc goi là

đoi xúng neu

L (x1, x2, , x n) = L(x σ(1) , x σ(2) , , x σ(n) ), vói moi x1, x2, , x n ∈ E và σ là phép hoán v% bat kỳ cna n so tn

nhiên đau tiên Chúng ta ký hi¾u L s (n E) là không gian véc tơ cna tat

cá các ánh xa n tuyen tính đoi xúng trên E.

Chúng ta có the liên ket m®t ánh xa n tuyen tính đoi xúng vói moi ánh xa n tuyen tính bói toàn ánh chính tac s : La( n E ) → L s (n E) đưocxác đ%nh bói công thúc

s (L)(x1, x2, , x n)

=

1

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Cho E là m®t không gian véc tơ tô pô loi đ%a

phương trên C M®t ánh xa P : E → C đưoc goi là m®t đa thúc n thuan

nhat neu ton tai m®t ánh xa n tuyen tính L : E n → C sao cho P = L◦∆,

trong đó ∆(x) = x n , x ∈ E Ký hi¾u P a( n E) là không gian véc tơcna

tat cá các đa thúc n thuan nhat trên E.

M®t đa thúc trên E là m®t tong huu han cna các đa thúc thuan nhat trên E Ta ký hi¾u Pa(E) là không gian véc tơ tat cá các đa thúc trên

E.

Ví dn 1.2.4 Giá sú L : C n × C n → C là m®t ánh xa 2 tuyen tính trên

Cn Khi đó ton tai m®t ma tr¾n A = (aij )1

L (z, w) =

1™i™ n 1™j™

n

a ij z i z j

Trong trưòng hop tong quát không có sn tương úng 1-1 giua các đa

thúc n thuan nhat và các ánh xa n tuyen tính Tuy nhiên neu chí han che trên t¾p hop các ánh xa n tuyen tính đoi xúng chúng ta thu đưoc m®t tương úng duy nhat Theo đ%nh nghĩa cna các đa thúc n thuan nhat

và toán tú đoi xúng bieu đo sau giao hoán

L a( n E) ,¸ L a s (n E)

,,, ,,, s,stV

P a( n E)Như m®t h¾ quá cna công thúc phân rã, chúng ta chúng minh đưoc ánh

xa ∧ là m®t đơn ánh Do đó chúng ta nh¾n đưoc m®t song ánh chính tac

,, ,,

giua không gian các ánh xa n tuyen tính đoi xúng và không gian các đa thúc n thuan nhat trên E.

Đ%nh lý 1.2.5 (Công thúc phân rã) Cho E là m®t không gian loi đ%a

phương trên C Khi đó, neu L ∈ L s (n E ) và x1, x2, , x n ∈ E thì

các

ε j =±1

i™j™n h¾ so cna L(x1, x2, x n) trong khai trien trên bang 1.

Neu m i > 1 vói i nào đó thì mj = 0 vói j nào đó Khi đó chúng

H¾ quá 1.2.6 Ánh xa ∧ : L s (n E ) → Pa( n E ) là m®t song ánh tuyen

tính.

ChNng minh Bói công thúc phân rã L ∈ L s (n E) đong nhat bang 0neu và chí neu

Lˆ

đong nhat bang 0 Do đó, ánh xa ∧ là tuyen tính có

hat nhân bang 0 và là đơn ánh Như v¾y, nó là m®t song ánh tuyen tính

QCho A là m®t t¾p con cna m®t không gian loi đ%a phương E và hàm

f : A → C, ta đ¾t

"f" A = sup | f (x) |.

x∈A

Đ%nh lý 1.2.7 Cho E là m®t không gian loi đ%a phương trên C và A

là m®t t¾p loi cân trong E Khi đó, ta có

"Lˆ" A ™ "L"A n

™ n! "Lˆ" A , vói moi L ∈ L a ( E)

ChNng minh Bat đang thúc thú nhat là tam thưòng vì Lˆ (A) ⊂

L (A n) Theo công thúc phân rã, ta có

n i i

∈

ˆ

Bo đe 1.2.8 Neu L ∈ L s (n E ) và P = Lˆ ∈ Pa(n E ) thì vói moi x, y ∈

"P " x+A ™

1 .n 1 +

| P (e iθ x + y) | (vì tính thuan nhat)

≥ sup | P (y) | (theo nguyên lý modul cnc đai)

Không gian véc tơ cna tat cá các đa thúc n thuan nhat liên tuc trên không gian loi đ%a phương E đưoc ký hi¾u bói P ( n E) Không gian véc

tơ tat cá các đa thúc liên tuc trên E đưoc ký hi¾u bói P (E)

M¾nh đe 1.2.10 Cho E là m®t không gian loi đ%a phương trên C

và P ∈ P a(n E ) Khi đó các m¾nh đe sau tương đương

a) P là liên tnc.

b) P liên tnc tai goc.

c) P b% ch¾n trong lân c¾n nào đó cúa điem goc.

d) P là b% ch¾n đ%a phương (nghĩa là b% ch¾n trong lân c¾n cúa moi điem).

ChNng minh Các kéo theo a) ⇒ b) ⇒ c) là tam thưòng Theo bo đe

1.2.9 ó trên ta nh¾n đưoc c) ⇔ d) Van đe còn lai là ta chúng minh

c ) ⇒ a) Cho A ∈ L s(n E ) và giá sú Aˆ = P , theo công thúc phân rã

và

c) ton tai m®t lân c¾n loi cân V cna 0 sao cho "A" V n = M < ∞ Vói

x o ∈ E tùy ý chon α > 0 sao cho αx o ∈ V Theo bo đe 1.2.8, ta có

1.3 Hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.3.1 M®t t¾p con U cna không gian loi đ%a phương

E đưoc goi là mó huu han neu U ∩ F là m®t t¾p con mó cna không gian

Euclide F vói moi không gian con huu han chieu F cna E.

Các t¾p con mó huu han cna E xác đ%nh m®t bat bien tô pô tf Các

t f lân c¾n cân l¾p thành m®t cơ só đoi vói tf lân c¾n cna 0 trong E.

Đ%nh nghĩa 1.3.2 M®t hàm f xác đ%nh trên t¾p con mó huu han

chieu U cna không gian loi đ%a phương E đưoc goi là G chính hình (Gateaux chính hình) neu han che cna f tói moi đưòng thang phúc là chính hình Nghĩa là: vói moi a ∈ U, 0 ƒ= b ∈ E sao cho a + λb ∈ U

vói λ ∈ C thì ánh xa λ → f (a + λb) là chính hình Ta ký hi¾u H G(E)

là t¾p tat cá các hàm G chính hình trên E

Đ%nh nghĩa 1.3.3 M®t ánh xa f : U → C đưoc goi là b% ch¾n đ%a

phương neu vói moi ξ ∈ U thì ton tai m®t lân c¾n V ξ cna ξ trong U sao cho f (Vξ ) là t¾p b% ch¾n trong C.

Moi quan h¾ giua ánh xa chính hình và ánh xa b% ch¾n đ%a phươngđưoc phán ánh trong ket quá sau

M¾nh đe 1.3.4 ([16], tr 25, đ%nh lý 1.2.8)Cho ánh xa f : U → C Khi đó các đieu ki¾n sau là tương đương.

i) f là chsnh hình.

ii) f là G chsnh hình và liên tnc.

iii) f là G chsnh hình và b% ch¾n đ%a phương.

Bo đe 1.3.5 Neu U là m®t t¾p con mó cúa không gian véc tơ E và

f ∈ H G(E) thì f là liên tnc khi U đưoc cho bói tô pô mó huu han.

ChNng minh De dàng thay rang tf là tô pô giói han quy nap đưoc

cho bói các ánh xa bao hàm G ‹ → E, ó đó G chay trên tat cá các

không gian

con huu han chieu cna E Do đó m®t hàm f xác đ%nh trên m®t t¾p con

t f mó cna E là liên tuc neu và chí neu han che cna nó lên moi phan huu han chieu cna U là liên tuc Nhưng các hàm nhieu bien là liên tuc nên

M¾nh đe 1.3.6 Neu U là m®t t¾p con mó huu han trong không gian

véc tơ E và f ∈ H G(E) thì vói moi ξ ∈ U ton tai duy nhat m®t dãy

đa thúc thuan nhat trên E

vói moi y trong t f lân c¾n nào đó cúa 0.

ChNng minh Co đ%nh điem ξ ∈ U Vói moi so nguyên dương m ta đ¾t

ó đó ρx đưoc chon sao cho ξ + {λx : |λ| ≤ ρx } ⊂ U Bói vì f là G chính

hình nên Pm,ξ không phu thu®c vào ρx và

f (ξ + x) = .

1

¸

f ( ξ + λx ) m+1 dλ.

là hoàn toàn xác đ%nh Bói vì han che cna f tói moi phan huu han chieu cna U là chính hình nên hàm x ›→ P m,ξ (x) là m®t đa thúc n

thuan nhat

Goi L m,ξ là ánh xa m tuyen tính đoi xúng liên ket trên E Theo đ%nh lý 1.2.5 ve công thúc phân rã, neu x1, x2, , x n ∈ E thì ta có

V là m®t t f lân c¾n cna 0 sao cho ξ + V ⊂ U Neu x ∈ V thì ξ + {λx

nhieu bien phúc, ta thay rang dãy (Pm,ξ )∞ đưoc xác đ%nh duy nhat bói

Trong quá trình chúng minh m¾nh đe trên ta cũng chúng tó đưoc rang

M¾nh đe 1.3.7 (Bat đang thúc Cauchy) Cho f ∈ H G(U ), ξ ∈ U, ρ >

0 và B là m®t t¾p con cân cúa E sao cho ξ + ρB ⊂ U thì vói moi so

"f" B

=

1

ρ m "f" ξ+ρB ρ